Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Однако можно сказать, что скорость, с которой тело сообщает жидкости количество движения, равна — 6 и, следовательно, что г-я компонента полной величины количества движения, переданной жидкости при иамененни скорости тела от нуля до О, равна Р = — ~ 6~ й = РУ,дмУ~ = р (4яс~ — К~У~). (6.4.29) Неважно, передается ли это количество движения жидкости постепенно или сразу, и величину Р можно назвать импульсом жидкосгни, означающим импульс, который тело должно сообщить жтпг кости для того, чтобы создать из состояния покоя безвихревое течение, обусловленное поступательным движением тела со скоростью а). Гл. б. Теория беявпхревого течения и ее пряложеяпя Сила, действующая ка тело при ускорекии жидкости Некоторые из предшествующих формул можно обобщить с учетом ускорения жидкости, через которую движется тело.
Пусть масса жидкости, которая окружает тело, имеет постоянное ускорение г относительно инерциальной системы отсчета. Тогда удобно выбрать движущиеся оси координат так, чтобы скорость жидкости на достаточном удалении от тела (или, что равносильно, скорость жидкости в отсутствие тела) была равна нулю и оставалась все время такой. Уравнение движения жидкости относительно этих ускоренно движущихся осей координат должно включать постоянную массовую силу инерции — $ на единицу массы. Следовательно, возникает дополнительный добавок — рг х к давлению и дополнительный добавок ррог (эффективная сила плавучести, аналогичная силе, возникающей при действии ка жидкость силы тяжести) к полной силе, действующей ка тело.
Если теперь предположить, что тело совершает поступательное движение с ускорением Й (г) по отношению к инерциальной системе координат, то картина линий тока будет зависеть только от мгновенной скорости движения тела относительно жидкости на бесконечности (и также от циркуляции скорости вокруг тела в случае двумерного поля скоростей), однако результирующая сила, действующая на тело, будет зависеть еще и от ускорения жидкости. Во-первых, ускорение тела по отношению к жидкости на бесконечности равно П вЂ” г, так что реакция ускорения (6.4.28) принимает вид — р)' иц (П~ — 6). Во-вторых, существует новый, упомянутый выше добавок рггог. Таким образом, оставляя в стороне боковую силу, обусловленную циркуляцией скорости, и силу плавучести, связанную с силой тяжести, мы получим следующее выражение д-компоненты силы, действующей ка тело: — рр ицСг+ р~'сЛ (иц+ бц).
Применение атой формулы в случае сферы, взвешенной в жидко- сти, дано в $6.8. Упражпсмве Покажите, что пхя тела прп поступательном и вращательном двпжсппях (я = 0) Рг ==- дГ~дЦ Ог =. дГ~дРч где Сс — момсвт количества двпжовпя жидкости отпосптельво точки тела, скорость которой равна Б, а остальные обозвачонпя ух с бмлп поясвсвы в тексте. 508 6.5. Исяользовввве комялексиого потенциала в случае двумерного течеяия 6.5. Испольаоваиие комплексного потенциала в случае двумерного безвихревого течения В 3 2.7 отмечалось, что потенциал скорости ~р и функция тока тр в двумерном безвихревом течении несжимаемой жидкости обладают некоторыми замечательными свойствами сопряженности.
Эти свойства сводятся к утверждению, что комплексный потенциал тв = ~р + (тр представляет собой аналитическую функцию от г = = х + (у в области плоскости переменной г, аанятой потоком жидкости, что лт имеет единственную производную по г в каждой точке атой области. И, наоборот, любая аналитическая функция от г может рассматриваться как комплексный потенциал некоторого поля течения. Таким образом, путем простого выбора различных функций кт (г) мы получаем возможные виды функций р и тр, хотя вполне может случиться так, что не все поля течений, которым соответствуют зтн функции, интересны с физической точки зрения. Более прямой путь определення безвихревого поля течения связан с методом конформного отображения функций комплексного переменного.
В данном параграфе мы поясним зти прямые и непрямые методы, а также другие применения комплексного потенциала. Предварительно полезно отметить вид комплексного потенциала ю для нескольких простых безвихревых течений с уже известными функциями ф и тр. Равномерное течение со скоростью (У, )т'): и = (У вЂ” (У) г. Простой источник интенсивности т в точке ге ($2.5): ю =* — 1п (г — ге). 2п Диполь источников в точке ге интенсивности р с осью, параллельной оси х, лт —— Н 2я (в — ве) Такой же диполь с осью, параллельной оси у, Точечный вихрь в точке ге интенсивности я Я 2.6): !х кт = — —,1п (г — го). 2я 509 Гя.
З. Теорнн беввнхревого течення н ее приложения Вихревой диполь в точке хв интенсивности Х с осью, параллельной оси х, 1Л И= хя (* — хе) Течение, вызванное круговым цилиндром радиуса а, движущимся со скоростью (О, г') и циркуляцией к вокруг него, центр которого в данный момент времени находится в точке гв (з 2АО): т ех (У+1У) ю = — — 1п (г — хв)— 2я х хе Произвольное течение вне круга с центром в точке гв, который охватывает все границы в жидкости, покоящейся на бесконечности (ряд Лорана, з 2АО): ю =:„'" 1п (х — хе)+ ~ А„(х — г,) ".
в=в Течение вблизи критической точки, расположенной в начале координат ($2.7): 1 ю =- —, йгх. 2 Поля течений, получаемые при специальном амбаре функции иг(г) Простейшей математической формой комплексного потенциала в можно считать функцию (6.5А) в (г) = Аг", в которой А и и — действительные постоянные. Если г, 8 — по- лярные координаты в плоскости г, то х = ге'е и <р = Аг" соз пб, ф = Аг" зш пй. (6.5.2) Любое математическое решение для безвихревого течения представляет физический интерес в зависимости от того, удовлетворяет ли оно граничным условиям, которые могут встречаться на практике. Самое распространенное граничное условие состоит в том.
что объемный поток через каждый элемент заданной поверхности равен нулю; оно возникает по той причине, что либо существует определенная симметрия при переходе через поверхность (когда, например, две одинаковые струи воды сталкиваются в плоскости симметрии), либо же заданная поверхность служит границей твердого тела (в атом случае еще нужно проверять, является ли распре- 510 б.о. Испольаованне комплексного потенциала в случае двумерного течении Л $ л 1 Р и с. б.бл.
Бееввяревсе течеиве в области мювду двумя прямолинейными твердыни гранвцами. пересеиаюювмися под углом п/и. д=! — ~=-~иА ~ ге ' (6.5.3) 511 деление скоростей безвихревого течения таким, что в реальной жидкости оно не вызывает отрыва пограничного слоя от поверхности тела). На неподвижной граннце с нулевым потоком нормальная компонента скорости равна нулю (условие непротекания); в рассматриваемом двумерном течении граница представляет собой кривую в плоскости (х, у). Это условие непротекания удовлетворяется на каждой линии тока течения, поэтому можно рассматривать любую линию из семейства линий тока, определяемого выражением (6.5.2), как неподвижную границу с нулевым потоком через нее.
На практике часто встречаются границы простой геометрической формы, а из них наиболее распространены плоские границы. Поэтому среди семейств линий тока нам нужно обращать особое внимание на любые прямые. Величина гр в (6.5.2) при 0 = — 0 и 0 = я~п постоянна и равна нулю для всех г. Поэтому выражения (6.5.1) и (6.5.2) соответствуют безвихревому течению в области между двумя прямыми границами, пересекающимися под углом я/л. При различных показателях п получаются частные случаи, причем некоторые из них имеют интересные свойства (рис. 6.5.1). Заметное изменение в характере течения вблизи точки пересечения границ наблюдается при переходе п через единицу, поскольку Гя.
З. Теория беавихревото течения и ее ирияожеиия Ри= ) РпУ~ где интеграл берется по части кривой, определяемой уравнением .г- . 8 т фете 8 фо = А у г зап —,, т. е. у = 2 ~ — ) сгй —, 2' ' ' 1А) 2' е которая расположена между 6 = з и 6 = 2я — з; здесь зш = фе/А)/ В. ЗаменЯЯ давление Р на Ро — Рдф/дà — г/аРое (см. (6.2.5) в пренебрежении силой тяжести), змеем 2я-в ИА йо 8 Ае . 8 т й~ 8 Р = ( (р — р — „— эа — — р — э(п — ) ~— сэс — 16 е отсюда при фе-а-О имеем Р,-~ — ярА . т 4 (6.5А) Предельное значение Р не зависит от радиуса окружности В и представляет собой подсасывающую силу, сконцентрированную на острой кромке и направленную параллельно пластине. Эта ненулевая сила на острой кромке не имеет прямого практического значения, так как реальная жидкость в установившемся движении будет отрываться от кромки, и очень низкие давления вблизи 512 и при г — ~ 0 величина д стремится к нулю, к ! А ~ или к бесконечности в зависимости от того, каково и: больше, равно или меньше единицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
