Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 115
Текст из файла (страница 115)
(6.5.15) Ширина полосы, как и раныпе, равна ~ и/К' !. Соответствие между некоторыми линиями в плоскостях г и ~ для этого простого и полезного преобразования показано на рис. 6.5.2 (на котором штрихи в обозначениях опущены). Указанные преобразования поля течения с внешней границей многоугольной формы сами по себе не имеют большого практического значения, поскольку эти границы редко встречаются, однако такие преобразования часто полезны как промежуточные.
Один пример подобного их применения будет дан в 3 6ЛЗ в теории некоторых интересных течений со «свободными» линиями тока. Е.В. Испольаонанце комплексного потенциала в случае двумерного течение Е / ЕЯ Е» в» !6 1ю~ ~с ~с» с, л(л ~в !Е» ~в в Я» »я» вя л С Ь С-пласннже ле л -»юнзщни» Р во. В.Ь.2. Кояеормное стображенве беспонечной полссн е плоское»в» на еерянюю полтнлсснасть », с помощью Эуннпвн З = Ь +»ки»е», тде и — действительная положвтельпая постоянная.
521 Преобразование эалскнутой лраницы в окрулсность Другой метод решения состоит в отыскании преобразования, которое отображало бы область вне данной аамкнутой кривой из плоскости в в область вне окружности в плоскости ~. Наиболее важное применение этого метода относится к течениям, вызванным твердым цилиндром, движущимся через покоящуюся на бесконечности жидкость, и он будет описан применительно к этому случаю. Так как общая цель состоит в том, чтобы получить новое более простое течение, то желательно использовать преобразование, которое превращало бы простое движение на бесконечности в плоскости г в такое же простое движение в некоторой части плоскости ~; очевидно, что задача состоит в нахожденни такой аналитической фуккции ь = Р (г), чтобы ° г при ~ г~ -»-оо, (6.5.16) так что жидкость в плоскости э также простирается в бесконечность и имеет там такое же движение, как и в плоскости 2.
Основной результат преобрааования сводится к изменению формы внутренней грэньщы и к изменению течения в ее окрестности. Полный потенциал течения в плоскости ~ должен удовлетворять условию отсутствия движения на бесконечности и условвю непроницаемости (6.5.11), выраженному в координатах $ и е) на окружности; кроме того, если течение в плоскости г циклическое, то в плоскости ~, как объяснялось вьппе, оно тоже циклическое с той же постоянной н. Успех метода зависит от выражения (6.5.11) в плоскости ь, Теперь, когда ьс = О, использование осей, связанных с телом, приводит к замене условия на внутренней граннце в плоскости х условием »р = »ро (= сопз2), а на внешней граняце — условием ьр (в) ° — (с»' — 1р) в при ( г! -+ оо. Гл.
З. Теория беввидревого течения и ее приложения Соответствующие условия в плоскости Ь таковы: на внутренней гракице в форме окружности тр = тро, а на внешней границе Кз (Ь) — (У вЂ” зр)Ь Прн ~ Ь~ — м ОО; иначе говоря, течение в плоскости й представляет собой обтекание неподвижного кругового цилиндра потоком с постоянной скоростью ( — У, — У) на бесконечности и с циркуляцией к вокруг него. Комплексный потенциал такого течения известен. При желании мы могли бы воспользоваться системой координат в плоскости й, относительно которой жидкость на бесконечности находится в состоянии покоя; в атом случае условием на внутренней границе (на окружности) было бы г — тго = Уц — Л (6.5.17) для поступательного движения со скоростью (У, У) кругового цилиндра в плоскости й.
Однако следует отметить, что два соответствующих течения с общим комплексным потенциалом обычно записываются относительно осей координат, связанных с внутренними границами, а не с неподвижной на бесконечности жидкостью. Только когда внутренняя граница представляет собой линию тока, зти течения в двух плоскостях соответствуют друг другу; соответствие нарушается, если движение относится к другой системе координат, так как однородный поток в одной плоскости соответствует течению в другой плоскости, однородному только на бесконечности. Таким образом, для любого преобразования, удовлетворяющего условию (6.5.16), течение в плоскости ь, которое соответствует обтеканию тела однородным потоком с постоянной скоростью ( — У, — У) на бесконечности в плоскости г, представляет собой обтекание преобразованного тела потоком с той же постоянной скоростью на бесконечности.
Такое рассуждение и его вывод неприменимы к вращению тела в плоскости й, так как выбор системы координат, связанный с телом, приводит к вращательному движению жидкости. Исследование течения, вызванного вращающимся цилиндром, требует применения более специальных методов 1), и ниже мы рассматриваем только поступательное двюкение. Метод определения течения, вызванного цилиндром данной формы в поступательном движении, требует, следовательно, знания а) комплексного потенциала обтекания кругового цилиндра, помещенного в поток с заданной скоростью и при заданной циркуляции скорости, и б) аналитической зависимости между г и ь, обеспечивающей отображение внешности цилиндра из плоскости г на внешность круга в плоскости ь при выполнении условия ') см., например, лэмб г., гидродикамика, Ртти, м., 1947 1а также: седов л.
н. ° Плоские задачи гндродинамкки и азродинамнйн, «Наткав, М., 1999.— РздЛ. 522 6.5. Использование комплексного потенциала в случае двумерного течения на бесконечности (6.5.16). Что касается пункта а), то необходимо только вспомнить результаты, полученные в $2.10. Из выражеяия потенциала скорости (2.10.12) однозначная часть потенциала скорости ~р течения в плоскости Ь, вызванного круговым цилиццром радиуса с, помещенным в поток с постоянной скоростью ( — 7У, — Р) на бесконечности и нмеюп2ям центр в точке Ье (обобщение, которое потребуется позже), равна Влияние циркуляции сводится к прибавлению к потенциалу скорости ~р члена (см, (2,10.15)) (к/2я) ауссем ((Ч вЂ” це)/($ — $о)1. Соответствующий комплексный потенциал (аналитическая функ- ция от ~), действительная часть которого равна у, имеет вид и2 (1) = — — ((/ — /Р) (1 — ~е) — ((/+ гр) — — ! и — ~о (6 5 18) (при ф = 0 на внутренней границе). Что касается пункта б), то детали расчета зависят от формы цилиндра, хотя можно сделать одно общее замечание об указанном отображении.
Поскольку зависимость между г и ь аналитическая всюду в области на плоскости ь нне круга радиуса с и удовлетворяет условию (6.5.16) на больших расстояниях от начала координат, то можно представить г как функцию от ь э виде ряда Лорана г=Ь+ 2' — „", и — —.! (6.5.19) з=2 справедлввый для достаточно больших аначений ~ г ~, коэффициенты которого В'„(п ) 2) отличаются от коэффициентов Вз', з котором комплексные коэффициенты Вп Вг,... зависят от формы цилиндра.
Опуская постоянный член Ве, мы выбираем начало координат в плоскости Ь так, что при наложении одной плоскости на другую с совпадением бесконечно удаленных точек оно совпадает с началом координат в плоскости г; при этом положение центра круга в плоскости ь не произвольно. Ряд (6.5 19) можно обратить и получить ряд в, ~ в;, (6.5.20) Гл. Е, Теория беввихревего течеиия и ее яр ияежеяия это — общее выражение, принимаемое аналитической функцией ь = Р (г) при достаточно болыпих значениях г. Комплексный потенциал ю (г) обтекания данного цилиндра в плоскости г получается путем подстановки функции ь = Р (г) в выражение для ю(г) (6.5.18), и оказывается, что на достаточно болыпих расстояниях от цилиндра функцию ю (г) можно представить в виде (ср.
(2.10.7)) ОФ и (г) = — (У вЂ” И') г — — '" 1в — *+ ~~>' — ", (6.5.21) 2л с хв в е где Ае=(У вЂ” су)~е, А,=В,(У вЂ” гр) — се(У+й')+ — „. (6.5.22) Примеры приложений этого метода конформного отображения для определения течения, вызванного движущимися телами, будут приведены в следующих двух параграфах. Теорема об окрузсяоети Знание аналитической функции, преобразующей область вне замкнутой кривой данной формы в область вне круга, полезно дополнить одним общим результатом, важным в случаях, когда в жидкости вне аамкнутой границы имеются особенности течения. Этот результат, известный как теорема об окружности (Милн- Томсон (1940)), касается комплексного потенциала, представляющего движение жидкости безграничной протяженности при наличии одной внутренней границы в виде окружности.
Предположим сначала, что в отсутствие кругового цилиндра существует течение с комплексным потенциалом ю = 1(г) и что функция /(г) ве имеет особенностей в области ~г~ <а, где а — действительная длина. Если теперь внести в жидкость неподвижный круговой цилиндр радиуса а с центром в начале координат, то течение изменится; каждой особенности функции ~ (г) соответствует ее отражение (инверсия) относительно окружности, так что суммарное течение, вызванное особенностью и ее отражением, сохраняет окружность ~ г 1 = а как линию тока. Общее выражение для присоединенной системы особенностей получим с учетом того, что на окружности о.о.
Испольеоееиие комплексного потенциале и случае двумерного течения (черточкой отмечена комплексно-сопряженная величина), поэтому И.)+ П.*Сг) (6.5.23) должна быть действительной величиной на окружности ~ г~ = а. Следовательно, комплексный потенциал в виде (6.5.23) имеет среди линий тока окружность ! з~ = а; его особенности вне этой окружности те же, что и функции ~ (з), так как если точка з лежит вне круга 1 г~) а, то точка аЧз располагается внутри этого круга, где функция ~ (з) по предположению особенностей не имеет. Следовательно, дополнительный член ~ (аей) в сумме (6.5.23) полностью отражает изменение комплексного потенциала, вызванное наличием в потоке кругового цилнндра. Следует напомнить, что рассматриваемые комплексные потенциалы как при наличии, так и при отсутствии кругового цилиндра относятся к течению в такой системе координат, в которой цилиндр неподвижен.
Простейшее из возможных приложение теоремы об окружности относится к неподвижному круговому цилиндру, помещенному в поток, скорость которого на бесконечности имеет компоненты ( — П, — У). В отсутствие цилиндра комплексный потенциал имеет вид — (У вЂ” гр) з, и теорема об окружности показывает, что при наличии цилиндра де в (г) = — (У вЂ” Л") г — (У+ Й') —, что нам уже известно. Другой простой случай, который иначе изучается не так просто, представляет собой течение, обусловленное точечным вихрем ннтенсивности х в точке з = ге, с комплексным потенциалом — (гх/2я) 1п (з — зе).
При наличии в этом потоке кругового цилиндра радиуса а ( ~ зе~ комплексный потенциал принимает вид В этом случае присоединенная система состоит из точечного вихря интенсивности х в начале координат и точечного вихря интенсивности — х в точке з = лазе, инверсной по отношению к положению исходного вихря. Если внутренняя граница жидкости не имеет формы окружности, то предварительное конформное отображение области, внешней по отношению к этой границе, на внешность круга дает новую задачу о течении с внутренней границей в виде окружности с новой системой особенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
