Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Нам потребуется преобразование, дающее линейные соотношения между $ и л и между Ч и у для точек окружности в плоскости Ь, так как при атом круг превращается в эллипс. Кроме того, учитывая необходимость совпадения (", г при ! в~ в оо, искомое преобразование, очевидно, ') Цирнуляцня, совместимая в атом случае с установившимся течеяием, может быть плевена путем расчета пограничного слоя иа поверлнсстя циляпара (Глвуарт (1957)); оиа онааалась меныпе чем зяо'Я.
530 6.6. Двумерное беэвихревое обтекание цилиндра с пиркулянаей Р в с. Е.б.б. Семейство соаокусамх елляпсов в плсспостп т, соответствующах окружностям ( ь 1 с в плосжютй~ пра прсобравоваваа г й + ать с равлачвммп велвчвпвмп с. Штряховмма лаавама поааввпо ортогональное семейство ео4юпуспмх гппсрбол, потормс соответствуют рвяявльамм пряммм в плоспостя Г. следует аадать равенством х=ь+ —, хэ (6.6.7) где Х вЂ” действительная постоянная, поэтому л = $ (1+ -à —;-), у = т( (1 —,) .
Функция (6.6.7) преобразует окружность радиуса с с центром в начале координат из плоскости ь в эллипс хв рэ — + — =1 ав Ьт (6.6.8) в плоскости г, где с= в+Ь (аэ — Ьт)~~ (6.6.9) 531 Эллипсы различной формы с разными значениями отношения полуосей Ыа получаются путем выбора различных значений отношения с/Х.
Некоторые из этого семейства софокусных эллипсов, включая предельный случай плоской пластины (Ь = О, сй = 1), показаны на рис. 6.6.3. 11реобразование (6.6.7) можно также использовать для отображения тонких тел с заостренной кормовой частью (профилей) из плоскости х в круг на плоскости (, как будет объяснено в $ 6.7; это впервые было сделано Жуковским (1910).
Гл. 6. Теория беавидревого течения и ее приложения Комплексный потенциал, описывающий течение в плоскости ~, вокруг кругового цилиндра радиуса е с центром в начале координат, обтекаемого потоком со скоростью ( — У, — у) на бесконечности и с циркуляцией х вокруг цилиндра, нмеет вид ку (~) = — (У вЂ” й') ~ — ((7+ Л') — — — 1п —.
(6.6.10) Теперь соотношения (6.6ЛО) и (6.6.7) совместно определяют в параметрическом вуще требуемый комплексный потенциал ю (х) обтекания эллиптического цилиндра потоком с той же скоростью ( — У, — у') на бесконечности и с той же циркуляцией х вокруг цилиндре. Комплексный потенциал течения в плоскости в относительно осей координат, связанных с жидкостью на бесконечности, может быть получен путем добавления к приведенному выше комплексному потенциалу члена (У вЂ” 1У) в и, следовательно, определяется выражением пу Я) = (У вЂ” ту) — — (У+ ту') — ' — — 1п — (6.6Л1) 2я с совместно с преобразованием (6.6.7).
Рассмотрим теперь свойства течения в плоскости в. С этой целью удобно ввести полярные координаты (о, т) в плоскости ~ так, чтобы ~ = $ + гт~ = пест (6.6.12) и х=о(1+ — )сову, у=о(1 — —,) в(пг. (6.6.13) а.т г гв Кроме того, примем У) У ~- уу = ИУе — '*. (6.6.14) Тогда соотношение (6.6ЛО) принимает вид ср(ь) = — И'сект+к> — — е-цт+4 — — (!и — + уу) (6.6.15) и 2я( и соответствующий потенциал скорости и функция тока находятся по формулам ст г к ~р = — Иг (о-~- — ) сов(у-~-а)+ — т, (6.6.16) ст с к и ф = — И' (и — — ) вш (т+ а) — 1п †. (6.6.17) и ~ 2я с' Отметим, между прочим, форму членов, содержащих циркуляцию х, которая характеризует чисто циркуляционное течение г) Основанве для определеняя угла, которма скорость теле составляет с осью *, посред ством отрицательной велвчинм ( — к) ааключается в том, что в теорвн кесущкт тел, валагасмоа в следующем параграфе, более естественно счятать, что ось длинного тонкого теча наклонена под положительнмм углом и к направлению его дщпкенвя 532 6.6.
Днукеряое беаввхреное обтекавве цвлвндра б цвркуляцвев р в е. Б.бл. ляпая тока прн обтеканнк еллнптнчеекого цилиндра потоком е постоянной екороетыо на беенонечноетн прн а = !5' я е нелепой циркуляцией аокруг цнлнндра; (о) Ыо = 0,58, е/А = 1,80; (б) Ь/е = О. е/Х = !. вокруг цилиндра с круговыми линиями тока в плоскости Ь. Соответствующие линии тока в плоскости з представляют собой семейство софокусных эллипсов, некоторые из которых приведены на рис. 6.6.3; любой из этих эллнлсов может представлять внутреннюю границу. В сопряженном поле течения, для которого члены, содержащие циркуляцию к в формулах (6.6.56) и (6.6.57), следует поменять местами (и оба они имеют положительные знаки), эллипсы на рис.
6.6.3 становятся эквипотенциальными линиями, а линии тока превращаются в ортогональные к ним гиперболы, изображенные штриховыми линиями. Любую из этих гипербол можно рассматривать как границу, н если выбрать предельную гиперболу с т = О, то получится картина безвихревого течения через щель в плоской стенке. Теперь просто рассчитать линии тока и другие параметры течения, исходя из формул (6.6.!6) и (6.6 17) и используя (/ и т в качестве параметрических координат. Форма линий тока зависит от отношения Ыа полуосей эллиптической границы, от направления движения тела, характеризуемого углом (б, и от относительной величины циркуляции, определяемой отношением к/(сй/).
Рассмотрим сначала случай, когда циркуляция равна нулю. Линии тока для обтекания одного сравнительно толстого эллипса и предельной плоской пластины (в обоих случаях (5 = 45') показаны на рис. 6.6.4, Линия тока, которая разделяет части потока, проходящие по различным сторонам от цилиндра, пересекает цилиндр, на контуре которого и = с, и на ней (р = О.
Ветви этой разделяющей линии тока вверх и вниз по потоку определяются условиями т = — а, и = л — а и представляют собой гиперболы, ортогональные к эллиптической границе и софокусные с ней; эти ветви асимптотически приближаются к прямой 533 Гл. 6. Теория безвихревого течения и ее приложения Уу = ух; кроме того, они одинаковы для всего семейства эллиптических границ, представленного на рис. 6.6.3 (для данного а), так как они зависят только от разности аг — Ьг (или от Х). Кинетическая энергия (на единицу длины цилиндра) жидкости в системе координат, неподвиткной по отношению к я<ндкости на бесконечности, при к .= 0 может быть вычислена различными способами; простейший путь состоит в использовании формулы Т= — — р1~<рп'7<р<(А=- — 2 р~ (<р — — ) <(о.
(6.6.18) 1 1 д<р . Выражения <р и ф, которые следует подставить в подинтегральное выражение, равны действительной и мнимой частям выражения (6.6.11). В результате прямого вычисления находим Т = —, кр (агре + Ь~У'). (6.6Л9) Следовательно, для эллиптического цилиндра с большой осью, параллельной оси х, = х, и малой осью, параллельной оси хг = у, тензор <г<я введенный в $6.4 и определяемый равенством (6.4.15), имеет компоненты агг = а/Ь, а<г == аг< — — О.
(6.6.20) ап =Ь/а, Данные о скорости на достаточном удалении от движущегося цилиндра и о реакции жидкости на его ускорение тоже содержатся в выражении (6.4.19), как объяснялось в $ 6.4. Полезная дополнительная информация получается из распределения скорости на границе цилиндра в плоскости г, которое (воззращаясь к системе координат, неподвижной относительно цилиндра) определяется формулой «в ~3~ < — 2<И< в<л (т+ <г) — <я)2я< (и — 1о)<рея = — ' ) — ° .
(6 6 21) =( †) «4 «в о=е е<т — (Хг)ег) е Когда х = О, на цилиндре имеются критические точки при и = — <г и и = я — а, расположенные на разделяющей линии тока. Они же являются точками максимального давления в установившемся течении, и их положение (см. рис. 6.6.4) дает возможность предположить, что существует пара сил, действующая на цилиндр и стремящаяся развернуть его длинной осью поперек потока; момент этой пары гюжно было бы вычислить, исходя иэ формулы (6.6.21) и теоремы Бернулли, однако позже в этом параграфе будет указан более общий метод.
Когда к Ф О, в семействе линий тока больше нет никакой симметрии и перемещение точек минимума и максимума скорости на границе относительно их положения при к = 0 не будет одним и тем же на верхней и нижней поверхностях цилиндра. Следовательно, в то время как при х = 0 полная сила, приложенная 534 6.6. Двумерное безнвхроноо обтекание цнлвндра о цнркуляцной к телу в установившемся течении, обязательно равна нулю иа-за симметрии линий тока относительно начала координат, она будет отлична от нуля, когда циркуляция скорости ненулевая. Силу, действующую на цилиндр, можно рассчитать и непосредственно, зная скорость на поверхности цилиндра, как зто было сделано для кругового цилиндра, хотя нам уже известно из общего обсуждения в $6.4, что сила имеет величину рнИ', а ее направление составляет угол 90', измеряемый в сторону циркуляции, с направлением вектора скорости цилиндра (у, у).
Общее влияние возрастания циркуляции на две критические точки на поверхности цилиндра сводится к сближению их на той стороне цилиндра, на которой добавки к скорости жидкости (относительно цилиндра) от потока на бесконечности и от циркуляции имеют противоположные знаки. Значение к, для которого две критические точки совпадают, должно обращать правую часть равенства (6.6.21) в нуль при минимуме з(п (о+ а) = — 1, и тогда к = 4псИ".
При больших значениях х две совпадающие критические точки сходят с поверхности цилиндра, в результате чего около цилиндра остается объем жидкости, которая в установившемся течении непрерывно циркулирует вокруг него так же, как и в случае кругового цилиндра. Плоская пластина, получающаяся при Ь = 0 или с = Х =Чза, представляет собой вырожденный случай семейства эллипсов, поскольку скорость бесконечна (см. (6.6.21)) в общем случае на ее обеих кромках, определяемых значениями о = 0 (х = а, у = 0) и о = и (х = — а, у =- 0), что и следовало ожидать на основании результатов, полученных ранее для обтекания выступающего в поток угла.
Свойства течения вокруг плоской пластины будут обсуждены в следующем параграфе в связи с профилями, имеющими заостренную кормовую часть. Может вызвать удивление, что цри х Ф 0 распределение давления на плоской пластине в установившемся движении дает результирующую силу, которая не перпендикулярна пластине. Объяснение связано с тем фактом, что бесконечно низкое давление, которое возникает на острых кромках (за исключением того случая, когда с кромкой совпадает критическая точка — см. $6.7), приводит к появлению ненулевой компоненты силы, параллельной пластине, как уже было показано в $6.5. Сила и момента, действующие на цилиндр в установившемся поступательном движении Сила и момент, действующие на (единицу длины) движущегося цилиндра произвольного поперечного сечения, могут быть определены методами теории функций комплексного переменного, и хотя результаты, касающиеся результирующей силы, действую- 535 Гл.
Е. Теория бевнихреного теченая и ее приложения щей на твердое тело, известны из $6.4, мы обратимся к этому вопросу еще раз, учитывая его важность и интерес, проявляемый к нему в специальных методах исследования двумерных течений. Мы будем рассматривать только установившееся поступательное движение тела; когда скорость тела переменна, к получаемым ниже выражениям следует добавлять силы н моменты, возникающие вследствие реакции жидкости на ускорение. Обозначим компоненты силы, действующей на тело через (Х, У), и приступим к построению комплексной величины Х вЂ” 1У = — ф р (бар + 1' Их) = — 1 ф р Й, в в где  — замкнутая кривая интегрирования, совпадающая с поверхностью тела, а черточкой отмечена комплексно-сопряженная величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
