Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Скорость с компонентами (и, и) по отношению к телу постоянна, и можно воспользоваться теоремой Бернулли (пренебрегая силой тяжести), чтобы заменить давление р на величину рН вЂ” — р (ив + ив), первый член которой не влияет на результат интегрирования. Далее, если течение безвихревое, то имеем оы ок» и +рв= — —, Ых Ыв ' Аналогично результирующий момент нормальных напряжений (в направлении против часовой стрелки) относительно начала координат, приложенный к цилиндру, равен /гу о = — ф р (х дх + у Иу) = — — р ф — „— Я (Ыз) =- в в = — —, рЯ ф ( — „) здз.
(6.6.23) Путь интегрирования в выражениях (6.6,22) и (6.6.23) был взят по поверхности тела. Однако теорема Коши ') гласит, что если функция /(я) является аналитической в области между двумя ') См, Сор«оп Е. т., Тавоту оу Репепопв о1 в Сожр1«а Чаг!аые, Оагогб, 19ЗЬ 1а такме: Лавремтвев М.
А., Шабат Б. В., Методы теорем Зункнва компдекепого переменного, «Наука», М., вэбб.— 1«Е.1. а так как на поверхности тела как ЙиЯз = и -+ аи, так и элемент пути интегрирования бз представляют собой комплексные величины с одинаковыми аргументами, то произведение (гаги/е(г)бз будет действительно числом и его можно записать как (г«1и/Иг) бг.
Отсюда следует, что Х вЂ” гг = 2 гр ф ~ и. ) бгз. (6.6.22) а.а. двумерное оеввкхревое оотекакве цклквдра с цвркуляцпей контурами С1 и Са, то (6.6.24) так что в качестве пути интегрирования в выражениях (6.6.22) и (6.6.23) может быть выбрана любая замкнутая кривая, окружающая тело (если только, конечно, нет никаких особенностей функции кг в области между телом и выбранной замкнутой кривой). Очевидно, что полезно специально выбрать окружность большого радиуса, когда известно выражение для 1г(з) на болыпих расстояниях от тела.
Формулы (6.6.22) и (6.6.23), полученные Блаэиусом (1910) г), применимы к любому установившемуся безвихревому теченшо в жидкости, окружающей тело. В дальнейшем они понадобятся нам в случае, в котором жидкость простирается до бесконечности и имеет там постоянную скорость ( — У, — У). С этой целью воспользуемся рядом Лорана (2.10.7) для комплексного потенциала в области, расположенной вне круга, охватывающего тело, с центром в начале координат (с дополнительным слагаемым — (у — гу)з, как и в выражении (6.5.21), поскольку выражение (2.10.7) относится к течению в системе координат, неподвижной относительно жидкости на бесконечности). Тогда из выражения (6.6.22) получим Х 1У= 'р~ ( У+Л'+ 1 а ~ .) Нг, (6.6.25) где коэффициенты А1, Ат, ...
зависят от 6г, У, т и х, а также от размера, формы и, 'ориентации тела (в нашем случае параметр па = О, но мы временно сохраним его под знаком интеграла), а интеграл берется по любому замкнутому контуру С, содержащему внутри себя окружность, охватывающую тело. Интеграл можно вычислить непосредственно, выбирая контур С в виде окружности бесконечно большого радиуса или же замечая с точки зрения теории функций комплексного переменного, что подиктегральное выражение имеет полюс в начале координат; согласно любому из этих двух способов, интеграл равен произведению 2ц1 на коэффициент при з 1 в подинтегральном выражении (вычет), и поэтому Х = рглБ — рхр, У = рту + рхУ.
(6.6.26) Таким образом, сочетание поступательного движения тела и циркуляции скорости вокруг него приводит к появлению боковой силы, нормальной к вектору скорости тела (6г, Р), как было уже установлено ранее; если же результирующий объемный поток гц через поверхность тела будет ненулевым и положитель- 0 н неаавнсвмо с. А.
чаплыгиным тоже в 1910 г.— прим. лед. Гл. З. Теория беоеихрееого течеяия и ее приложения ным, то этот поток в сочетании с поступательным движением приведет к появлению силы тяги или отрицательной силы сопротивления, параллельной вектору скорости (У, т'). Аналогично для результирующего момента, действующего ка тело относительно начала координат, получим 1 Х1, .
т — оя Ах ЗАх Мо — — — —. р Я у ( — 77 ' Й' 4- — —, — — "' +... ) з Их = 2 У1 Зях хх хх с — — рЯ (2ях ( —,'" ) — 4я1Ах( — У+17)) = — ~ + 2яр (У,7 (Ах) — Г Я (А~)), (6.6.27) В отличие от силы момент зависит от формы тела. В случае цилиндра произвольной формы его граница из плоскости з преобразуется в окружность радиуса с с центром в точке ьо в плоскости ~ с помощью общего разложения (6.5А9) или (6.5.20), согласно которому з ~ при больших ( з(; коэффициент А, определяется выражением (6.5.22). В этом случае момент, действующий на цилиндр, равен ЛХо =- 2ЯР ~( — 2(Л') Я (В1) + (~7' — Р') 7 (Вх) + ~„(~%о+ УЧо) ~. (6.6.28) Для эллиптического цилиндра с полуосями а и Ь соответствующее преобразование задается формулой (6.6.7) и ~о — — О, Вх = У = — (а' — Ь').
Поэтому момент относительно начала координат, действующий на цилиндр, равен Мо = — яРЬху (а' — Ь'). (6.6.29) Направление момента против часовой стрелки подтверждает вывод, сделанный ранее исходя из вида линий тока, что распределение давления по поверхности эллипса стремится развернуть его относительно центра большей осью поперек потока. 6.7. Двумерные профили Тот факт, что в двумерном безвихревом потоке на тело, вокруг которого имеется циркуляция скорости, действует боковая сила, а не сила сопротивления, используется в технике. Эта сила может быть использована, например, для поддержания самолета в воздухе или для создания определенной реакции жидкости, когда тело представляет собой лопасть вращающегося винта или тур- 538 БЛ.
Двумерные пэофаая бины. Крылья самолета и лопасти винта не являются бесконечно длинными цилиндрами, и влияния конечной длины крыла и изменений площади поперечного сечения вдоль их длины, как будет показано в гл. 7, играют важную роль в теории подъемной силы; тем не менее рассмотрение несущего крыла как бесконечно длинного цилиндра подходящего поперечного сечения, дввжущегося в направлении нормали к образующим (это сечение обычно называется профилем), существенно для предварительного исследования.
Практические требования, предъявляемые к профилям Основные требования, предъявляемые на практике к профилю, заключаются в том, что при движении через жидкость к нему должна быть приложена боковая сила, а сила сопротивления, которую нужно компенсировать какой-либо силовой установкой и которая приводит к затратам ее мощности, должна быть по возможности малой. Оба эти требования выполняются в потоке, всюду безвихревом, за исключением тонкого пограничного слоя и следа, если только вокруг профиля устанавливается циркуляция. Таким обрааом, одна задача состоит в том, чтобы избежать отрыва пограничного слоя в установившемся движении профиля. а другая — в нахождении циркуляции вокруг него. В гл.
5 показано, что отрыва пограничного слоя от поверхности тела можно избежать только тогда, когда не происходит заметного замедления жидкости непосредственно вне пограничного слоя. Положение критической точки в кормовой части тела в двумерном течении представляет собой источник затруднений; вблиаи кормовой кромки тела с конечной кривизной неизбежен отрыв потока. Естественно использовать тонкий профиль с острой кормовой кромкой в виде точки возврата и установить его приближенно параллельно направлению движения.
Фотография линий тока течения относительно ирофнля (см. фото 5.11.1,а) показывает, что при этом удается избежать отрыва. На практике трудно сделать кромки с точкой возврата, но пограничный слой и след оттесняют безвихревой поток от профиля на малое расстояние, отличное от нуля вблизи острой кромки, и внутренняя граница области безвихревого течения становится похожей на кривую с точкой возврата, даже если кормовая кромка действительного профиля представляет собой клин с малым углом раствора.
Конечно, вовсе не обязательно, чтобы в безвихревом обтекании тонкого тела с острой кормовой кромкой потоки жидкости на обеих его сторонах двигались к острой кромке и затем плавно соединялись. Это ясно из анализа двумерного безвихревого обтекания пластины с постоянной скоростью на бесконечности ( — У, — У), 539 Гл. б.
Теория беавихревото течения и ее приложения Р и с. 6.7.1. Линви тока при обтекании пластины потоком с постоянноа скороствы на беснонечнсстн при о = 26', а — течение с нулевой цвркулнцнез! б — течение, в котором цяркуляция выбрана так, что проясходит плавныа сход потока с обеих сторон кормовое кромка пластины. Скорость на кормовой кромке у = х конечна, если х= — 2хау(/зупа, (6.7,4) н тогда скорость на поверхности пластины равна И в!П(т/2+я) О 6!и т/3 (6.7.2) На рис. 6.7.2 показано изменение формы линий тока при обтекании плоской пластины (а = 26'), вызванном наложением циркуляции найденной величины.
Существует еще передняя критическая точка при и = — 2а, т. е. при х = а соз 2а, у = — О, а скорость на передней кромке (и = 0) бесконечна; однако это не должно беспокоить нас, так как жидкость на поверхности пластины вблизи передней критической точки ускоряется, а максимум 540 проведенного в 5 6.6. Вообще на поверхности пластины имеется две критические точки (см. рис. 6.6.4, б), и к'идкость обтекает две острые кромки с бесконечной скоростью на них. Бесконечные скорости исчеаают только в специальном случае х = 0 н а = О, когда скорость жидкости всюду равна ( — У, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
