Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Выражение для функции тока (7.3.2) принимает вид »1) (х, у) = — 4 "~~~ к( 1п ((х — х()а+ (у — у()е). (7.3.12) Скорость движения вихря интенсивности к) равна скорости жидкости в точке (хп у)), обусловленной действием всех оетиальних вихрей, поскольку точечный вихрь самоиндуцированной скорости не имеет. Следовательно, ((Ф)) ((Ф)) для всех 7 от 1 до и, где )'(у = (х( х)) + (у( у/) ° Существует еще один инвариант, определяемый формулой (7.3.9), но его нужно видоизменить, поскольку изолированный точечный вихрь имеет бесконечную кинетическую энергию.
Поступая, как и прежде, рассмотрим полную кинетическую знергвю Т жидкости, ограниченной снаружи окружностями большого радиуса Л, а изнутри окружностями малого радиуса е с центрами в каждом точечном вихре; имеем Т+ Р ~~»' ~~»' к(к) 1п гм+ (' (',»' ке) 1пе — Р ~'~~ к() 1п В -»- О (» ( и»»)) при 1( -». аа, е-~ О. Таким образом, величина ру= — — "(»' '~' к,к) 1п г» Р 4н ( у ((е)) Гл. С. Теория беевикревото течения и ее приложения и возрастание лобового сопротивления при углах атаки, близких к 9', указывает на начало отрыва пограничного слоя от верхней поверхности профиля. При более высоких значениях а поток сры- вается с профиля.
Для профиля Жуковского момент нормальных сил относи- тельно начала координат находим по формуле (6.6.28), в которой х определяется выражением (6.7.7), коэффициент В, представляет собой комплексное число, которое в данном случае равно Хт (см. (6,519) и (6.7.11)), и $о =ссозр — Х, т~о =сз(п6, У = И'сова, У= — И"э[па. Таким образом, М, = 2ярйа ()Р з1п 2а + с' з1п 2 (а + Я вЂ” 22с соз а з1п (а + р)), (6.7.15) или в предположении, что все параметры а, р и отношение (с — Х)/Х малы по сравнению с единицей (в этом случае циркуля- ция влияет незначительно), имеем Мо 4ярЮт)Ра.
(6.7.16) Для практических целей удобнее момент относительно передней кромки профиля, приближенно определяемый равенством Мп. кр = Мо — 2Ы,. Общепринято выражать момент профиля через безразмерный коэффициент Мп. кр Сь (См)п, ко —— (Ы2)ри~т,< (Хорив), ™ (См)о — 2 ж — яа — я (а+ р) = — — — я (а+ 2р). (6.7 17) 1 2 2 Было установлено, что эта формула находится в соответствии с наблюдаемыми значениями момента.
Очевидно, что подъемную силу на профиле можно считать приложенной в точке, называемой центром давления и расположенной на некотором расстоянии от передней кромки, равном (в долях хорды) Сь 4 (и+Т(~) ' (6.7.18) Основная конструктивная опора для профиля должна быть расположена вблизи центра давления, и поэтому желательно, чтобы положение центра давления не менялось бы сильно в обычном рабочем диапазоне значений угла атаки а. В случае симметричных профилей Жуковского, для которых р = О, центр давления теоретически остается в точке, расположенной на расстоянии одной четверти хорды от передней кромки. 554 6.8. Осесимметричиое течение, вмвванное движением тела 6.8.
Оеееимметричное беэввхревое течеиве, вызванное движением тела Теория функций комплексного переменного дает мощные общие методы определения беэвихревого течения, вызванного движущимся телом в двумерном поле. К сожалению, в соответствующей трехмерной задаче нет никакого аналога теории функций комплексного переменного и приходится иметь дело с довольно ограниченным числом специальных методов. Теоретический аналиэ менее труден в частном случае беэвихревого течения, вызванного осесимметричвым твердом телом, движущимся в направлении своей оси беэ вращения, поскольку тогда все поле течения будет осесимметричным и здесь мы рассмотрим только этот случай. Общие сведения В т 2.9 отмечалось, что два фундаментальных решения уравнения Лапласа в трехмерном поле имеют вид г"Ю„и г-"-тЯ„, где г = (х(, а ߄— поверхностная сферическая функция степени п (положительное целое число), определяемая как а+1 дк (1/т) а — д д Если поле течения осесимметрично, то в выражение потенциала скорости могут входить только осесимметричные сферические функции, т.
е. только те функции, для которых все индексы 1, у,... имеют эначение, соответствующее направлению оси симметрии. Таким обраэом, если ось я совпадает с осью симметрии течения, подходяшие сферические функции степени и имеют втщ „,1 да(1/т) (6.8 3) длв Это выражение представляет собой функцию только величины р = соэ 6 = яlг, и оно пропорционально полнному Лежандра Р„(р) (или функции Лежандра, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению Лежандра целого порядка и) в том виде, в котором он обычно определяется 1). Првменяется также другое выражение для Рк (р) через производные по р (навываемое формулой Родригеса) В частных случаях формула (6.8.2) дает Ро(р) = (, Р1 (р) =)а Рт(р) 2 (Зрв 1)' (6 8.8) '1 См. Джвверис Г., Свирлс Б., Мессам математическое Фи»ими, т.
1 — 3, «Мир», 1971 (а также: Смирнов и. И., Бурс вмсжеа матсматннк, т. 3,4.3, <Наука», М., 1997.— Р»Е.). 555 Гл. б. Теория беаеихрееого течения и ее приложения Во многих случаях осесимметричного течения в качестве независимой переменной удобно испольаовать функцию тока Стокса «р.
Как показано в $2.2, компоненты скорости в сферических координатах г и 8 таковы: др 1 д«Р и«= д. = "Ыпс дз ' Таким образом, выражения для функции тока «р, соответствующие объемным сферическим функциям, когда «р = г"Р„(р) или «р = г "-'Р„(«а), имеют вид = — га+«(1 — )«а) — ф-"-, — — г "(1 — )аа) " Р . (6.8.5) я+1 Фундаментальное решение другого вида, которое иногда может быть полезно, получается из уравнения Лапласа для потенциала скорости в цилиндрических координатах (и, и = 3гг' — х' и азимутальный угол) в предположении, что емааР(п) Функция Р удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка, которое имеет конечное при и = О решение Хе (йп) в обычных обозначениях. Путем сравнения двух возможных выражений для компонент скорости как производных от «р или «р легко найти, что дв м ешениям У Р «р = ема Хе (йп) (6.8.6) соответствуют выражения функции тока «(« = -«- «ге+а" Ха' (яп), «р = ~ ««е+"* д«(йп).
(6.8.7) Связь между решениями (6.8.6) и объемными сферическими функциями, а также использование их для построения безвихревых течений, имеющих физический смысл, читатель найдет в более исчерпывающих источниках '). Все приведенные выражения «р представляют собой решения дифференциального уравнения относительно функции тока «р, полученного для безвихревого течения.
Условие отсутствия вихрей требует, чтобы выполнялось равенство дма д (аис) — — — О после подстановки в него выражений и, и ие из (6.8.4) получим дифференциальное уравнение для функции тока «р дай 1 — ра да«р — + — — = О. даа га два П см. ламе г., гаароаииаммма, гтти. и.— л., «еиь Г1.8. Осесимметричное течение, вмазанное движением тела В цилиндрических координатах х, и аналогично находим — + — — — — =О. даф дтф 1 дф дла доа о до (6.8.9) Интересна близость по форме этих уравнений и уравнений, которым удовлетворяет функция ф, а именно 2) — + — — + — — ~ (1 — р ) — ° = О (6.8.10) дхф 2 дф 1 д Г х дф 1 дг г дг ад 1 аГа ) дхф ахф 1 дф ( —,+ — — =О, алт аае о ао (6.8 11) хотя в осесимметричном течении функции ф и хр имеют совершенно разный смысл, а также и разную раамерность. Граничные условия, которым долясна удовлетворять функция ф, когда жидкость покоится на бесконечности, состоят в том, как установлено ранее, что ф -и С = сопз1 при г -о оо и на поверхности обтекаемого тела пЧср=п П, — ) ~7ф) — «О прн г — и оо.
1 На поверхности тела нормальная компонента скорости и, записанная в виде производной от функции тока ар, должна быть равна и П. Это последнее условие может быть представлено в удобной аналитической форме, если заметить, что во второй системе координат, движущейся с постоянной скоростью, равной скорости П в рассматриваемый момент времени, тело неподвижно (возмоя<но, только мгновенно), и линия пересечения поверхности тела н осевой плоскости представляет собой линию тока, на которой функция тока ф постоянна и может быть принята равной нулю.
Поля скоростей относительно этих двух систем координат отличаются лишь на постоянную скорость П, параллельную оси тела, и две Ч См. оиражения для оператора р'Е а сферических или Нилиидрнческих ноординатах а приложении 2. где Ю вЂ” мгновенная скорость тела, параллельная его оси симметрии. Когда тело занимает односвязную область пространства, этим граничным условиям может удовлетворять одно-единственное распределение скорости безвихревого течения жидкости. Нужно также определить граничные условия для функции тока ф, чтобы использовать их в тех случаях, когда в качестве основного уравнения движения берется уравнение (6.8.8) или (6.8.9).
Очевидно, что если жидкость покоится на бесконечности, то внешнее граничное условие, согласно (6.8.4), имеет вид Гл. 6. Теория беввихревого течения и ее приложения соответствующие функции тока отличаются на член г/вУгоз1по6 или на ЧвРао. Следовательно, внутреннее граничное условие на поверхности тела, которому должна удовлетворять функция ф в системе координат, фиксированной в жидкости на бесконечности, имеет вид ф = — Угв з1по 6 или ф = — Уао. 2 2 (6.8.12) Метод построения полей течения подсказывается формой условия (6.8.12).
Коли мы заменим в условии (6.8.12) функцию ф любой функцией от г и 8 (или от к и а), удовлетворяющей дифференциальному уравнению (6.8.8) (или (6.8.9)), а также внешнему граничному условию, то получим соотношение между г и 6, определяющее меридианные кривые семейства поверхностей, каждая из которых, будучи твердой, могла бы создавать течение с принятой функцией тока при двюкении со скоростью У параллельно своей оси. Однако не все решения уравнения (6.8.8), используемые таким обрааом, дают замкнутые поверхности, которые можно рассматривать как твердые тела.
Двиасуиоаяся сфера В простом случае сферы радиуса а, движущейся со скоростью ч) в направлении 6 = О, внутренним граничным условием является — Р=ч) п=Усоз6 лри г=а. дт дг Очевидно, что зто условие может выполняться для всех 6, если <р пропорционально осесимметричной сферической функции или полиному Лежандра первого порядка (см. (6.8.2) и (6.8.3)), и что решение е дав 2 го (6.8 13) 1 о о(х — хо) 2 )х — хо 8 (6,8.14) Функция тока ф, соответствующая потенциалу скорости (6.8.13), определяется выражением 558 удовлетворяет внутреннему и внешнему граничным условиям и согласуется с решением, найденным в т 2.9 другим путем.
Это решение применимо в момент времени, когда центр сферы находится в начале коордвнат, а в любой другой момент, когда сфера находится в точке хо, 6.8. Оееенмметричное течение, вмененное движением тела р-И ДВВИи бо оо Р и е. В.бгм Линии тона в осевой нлоеноети беввитревого обтекании неподвижной сфере в погоне е ноетоннной енороетыо нв беенонечноети. Это выражение совпадает с функцией тока диполя источников, расположенного в начале координат и ютеющего ось, параллельную направлению 0 = 0 (см. (2.5.5)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
