Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 126
Текст из файла (страница 126)
Подобного вида приближения можно применить и с целью учета влияния «бокового ветрав на тонкое осесимметричное тело. Предположим, что скорость движущегося тела в жидкости, покоящейся на бесконечности относительно прямоугольной системы координат, имеет компоненты (П, У, 0), иэ которых первая параллельна оси тела. Реэультнрующее беавихревое течение относительно системы координат, связанной с телом, можно рассматривать как наложение течений, создаваемых двумя равномерными потоками, одного с компонентами скорости ( — (Т, О, 0), к которому применимы полученные выше результаты, и другого — чисто поперечного потока с компонентами скорости (О, — У, 0).
Так как поперечное сечение тела только медленно изменяется вдоль оси, то течение, выэванное этим потоком вблиэи сечения х, приближенно такое же, как и в случае кругового цилиндра с площадью поперечного сечения А в потоке со скоростью У, нормальной к его обраэующим (и с нулевой циркуляцией), т. е. оно приближенно такое же, как течение, создаваемое двумерным диполем интенсивности 2УА в центре круга и с осью, направленной против направления потока со скоростью У (см.
замечания после выражения (6.4.6)). Таквм образом, наличие тела в поперечном потоке приближенно изображается распределением на оси тела диполей векторной интенсивности (О, 2УА, 0) на единицу длины. Если форма тела эадана, то теперь можно рассчитать все поле течения. Полная интенсивность диполей,иэображающих тело в поперечном потоке, имеет компоненты (О, 2УУ«, 0), где Уе, как и выше,— объем тела. Сопоставляя этот результат с равенством (6.9А), мы видим, что интенсивность диполя, который обладает также же аснмптотическвм полем течения, как осесимметричное тонкое тело, движущееся со скоростью (П, У, 0) через жидкость, покоящуюся на бесконечности, равна 4яс = Уе (У, 2У, 0).
(6.9.4) Соответствующая приближенная величина кинетической энергии жидкости, полученная из общего выражения (6.4А7), равна (1/2) рУрУ*; она совпадает, как и следовало ожидать, исходя из характера применяемого приближения, с кинетической энергией жидкости между двумя плоскостями поперечных сечений кругового цилиндра произвольного радиуса, движущегося со скоростью У в направлении нормали к его оси, причем расстояние между этими плоскостями такое, что они ограничивают цилиндр объема Уо. Тонкие тела в двух измерениях Если тело в двумерном поле симметрично относительно центральной линии и имеет малое отношение толщины к длине, то без- 574 бтх Приближенные результаты алн тонких тел вихревое течение, вызванное движением тела в направлении его центральной ливии, можно снова приближенно моделировать путем распределения источников вдоль этой линии.
Поверхность тела определяется в данном случае кривой у = ~ (1/2) уе (х), где, как и ранее, функция уе (х) считается слабо меняющейся функцией от х. Тогда проведенное вьппе рассуждение показывает, что кривая у = ~ (1/2) уе (х) будет в первом приближении линией тока в течении, создаваемом потоком, скорость которого на бесконечности имеет компоненты ( — У, О), и распределением источников на центральной линии с интенсивностью — ануе/Их на единицу ее длины. Однако, когда симметричное тело не движется в направлении своей центральной линии или когда тело несимметрично, необходим другой подход. Если касательная к контуру тела остается приближенно параллельной направлению его движения, то влияние конечной толщины тела все еще сводится к вытеснению элементов жидкости по нормали к поверхности тела беа заметного изменения их скорости относительно тела, и, следовательно, его можно, как и выше, приближенно представить распределением источников, причем функция уе (х) дает толщину тела в сечении х.
Однако нам нужно найти также некоторый способ представления того факта, что в течении относительно тела линиитока по обе его стороны не только разделены расстоянием уе (х), но и наклонены к направлению потока на бесконечности под малыми углами, сумма которых не равна нулю. Не существует никакой специальной особенности течения, локальная интенсивность которой создавала бы определенное направление линий тока, однако распределение вдоль центральной линии точечных вихрей заставляет линии тока пересекать эту линвю под ненулевым углом. В 9 2.6 мы видели, что локальная интенсивность вихревой пелены (которая в данном рассмотрения двумерного течения оаначает непрерывное распределение вихрей вдоль линии в плоскости (х, у) с завихренностью, направленной всюду по нормали к этой плоскости) равна по величине локальному скачку касательной компоненты скорости при переходе через пелену.
Это свидетельствует о том, что мы правильно выбираем вихревую пелену в качестве подходящей особенности, так как любое нарушение зеркальной снмметрии течения относительно прямой, проведенной вдоль тела, должно сопровождаться разностью между скоростями жидкости в двух соседних точках на разных сторонах тела. Эти соображения относительно способа представления наклона линий тока, совпадающих с контуром тела, посредством распределения особенностей оказываются чрезвычайно полезными в двумерной теории профиля, и поэтому мы проведем анализ применительно к этой теории. 575 Гл. 6. Тоорня боэвнхрового точоння н оо приложения Тонкие профили в двух измерениях Типичный тонкий профиль характеризуется как толщиной, так и определенной изогнутостью, подобно профилю, показанному на рис.
6.7.9, и касательная к его поверхности всюду, за исключением области вблизи передней части тела, составляет малый угол с направлением набегающего потока. Острую кормовую кромку разместим в начале координат, а переднюю кромку Ь, определяемую з точке профиля, наиболее удаленной от кормовой кромки, расположим на оси х в точке х = с (отрезок с называется хордой профиля). Гогда уравнения верхней и нижней поверхностей профиля можно написать в виде 1 у у>(х)~ 2 уо(х) 0<х<с Влияние ненулевой толщины уо(х) на поток можно учесть отдельно путем распределения источников, как уже объяснялось выше. Поэтому нам надо сейчас рассмотреть безвихревое течение, создаваемое криволинейной бесконечно тонкой дужкой у = у, (х), помещенной неподвижно в потоке, скорость которого в бесконечности имеет компоненты ( — И'соз а, И' з>па), где а — малый угол атаки профиля (рис.
6.9.2). Поток не проходит через кривую у = у> (х), и вообще на ней существует разрыв касательной компоненты скорости; это значит, что дужка в точности эквивалентна вихревой пелене, совпадающей с кривой у = у> (х), интенсивность которой Г распределена таким образом, чтобы нормальная компонента скорости обращалась в нуль при у = у> (х). С точностью до величин первого порядка малости относительно возмущения скорости (и, и), обусловленного присутствием в потоке дужки, условие непротекания через нее можно написать в виде ( о+а>р ' лр> ш ) о=-ж (*> Кроме того, мы воспользуемся тем, что (у>((( с, и предположим с целью оценки возмущения скорости (и, и), что вихревая пелена расположена на оси х в интервале 0 ( х ~ с, а не на линии у = = у, (х).
Каждый элемент бх оси х ведет себя как точечный вихрь интенсивности Г (х) бх, и приближенное соотношение, из которого можно определить Г (х) при заданной форме профиля, записывается так; г( )а лр> = — а —. (6.9.5) 2я>У л — л' оя ' о Практический недостаток такого рассмотрения заключается в том, что интенсивность особенности не определяется локальной формой профиля, а должна находиться как решение интегрального уравнения (6.9.5), связанного с профилем в целом. 576 6.9.
Прнближенные результаты для тонких тол Р я е. О.В.2. Предетввлежге Сеоионечно тонного проэили (дужки) плоеной вихревой пеленой. Нельзя ожидать, что уравнение (6.9.5) имеет единственное решение относительно Г(х), так как течение около любого тела в двумерном поле не] определено до тех пор, пока не известна циркуляция вокруг тела. В $6.7 мы видели, что в случае тел с острой кормовой кромкой, подобных профилям, влияние вязкости на поверхности профиля при установившемся движении заставляет циркуляцию принимать такое значение, при котором два потока жидкости с обеих сторон профиля плавно сходят с его кормовой кромки, не огибая ее (гипотеза Жуковского).
В этих условиях скорость жидкости этих двух потоков вблизи кормовой кромки одинакова, поэтому интенсивность вихревой пелены, заменяющей профиль, равна там нулю. Следовательно, интегральное уравнение (6.9.5) относительно Г(х) нужно решать с условием Г(х)=О при х=О. С другой стороны, нельзя применить еще какое-нибудь условие, аналогичное гипотезе Жуковского, на передней кромке, и в общем случае на острой передней кромке скорость бесконечно велика. Используемые на практике профили имеют скругленную переднюю кромку, однако у нашего тонкого профиля в виде дужки передняя кромка тоже острая, и появление бесконечной скорости на ней становится неиабежным; впрочем аналиа от этого не страдает, так как интегральное уравнение (6.9.5) содержит только малую компоненту скорости, нормальную к хорде профиля.
Вблизи острой передней кромки в точке х = с (в виде точки возврата) скорость на поверхности профиля иаменяется как (1/2)АВИ'см'(с — х) 2/в на одной стороне и как — (1/2) АВИгс27В (с — х) ггв на его другой стороне (см. т 6.5), где Ао — постоянная, а множители Иг и с '7в включены для того, чтобы сделать коэффициент Ао безразмерным; поэтому вблизи х = с предполагается, что Г (х) АВИ'сыз(с — х)" 2. В действительности можно пойти еще дальше и считать, что Г(х) — АВИ'сыа(с — х)М2-в О при х-в с, (6.9.6) так как различие скоростей на обеих сторонах профиля вблизи 577 27 — ВВ72 Гл.
6. Теория беввихревого течения и ее првложеиия передней кромки исчезает, когда из них вычитается локальное решение, соответствующее течению вокруг передней кромки (в этом можно убедиться на основе формулы (6.7.2) для скорости на поверхности плоской пластины). Решение интегрального уравнения (6.9.5) можно получить, хотя и не в замкнутом виде, представляя циркуляцню Г (х) рядом Фурье по переменной 6, свяаанной с переменной х соотношением *= 7,6(1 — 66). (6.9.7) Угол 6 ивменяется от О до я вдоль хорды профиля. Предпочтительнее работать с конечной неизвестной функцией, поэтому мы рассмотрим не Г (х), а модифицированную функцию Г (х) — АойУ ( — ) которая обладает удобным свойством обращения в нуль при х = О (6 = О) и при х = с (6 = я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
