Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Замечательное свойство равенства (6.И.4) и его различных обобщений состоит в том, что скорость движения пузыря определяется его формой, и нет необходимости рассматривать механизм действия силы сопротивления, которая в установившемся движении уравновешивает влияние архимедовой силы на пуаырь. То, что сила сопротивления, очевидно, не зависит от числа Рейнольдса и, следовательно, что скорость диссипации механической энергии вепосредственно не зависит от вязкости, означает, что напряжения, вызываемые переносом количества движения, влияют только на течение в следе пузыря.
Пузырь, поднимающийся в вертикальной трубе Форма верхней части болыпих пузырей, поднимающихся в вертикальных трубах кругового поперечного сечения, также окааывается стационарной и не зависит от размера пузыря, если только он достаточно велик, чтобы заполнить трубу. Как показано схематически на рис. 6.11.4, в этих условиях кольцевая область трубы, содержащая воду, сужается в направлении нижней части пузыря, которая нестационарна и вмеет неправильную форму с приближенно плоским основанием. Увеличение объема пуаыря приводит к увеличению его длины без изменения формы верхней части. Предельный случай соответствует вертикальной трубе, закрытой сверху и сначала заполненной водой, которая затем стекает из нижнего конца трубы; в этом случае нерегулярная донная часть пузыря вообще не образуется.
588 зл1. Большие пузыри гила в жидкости Р и о. бд1А. Бодыиой пузырь, подииивиеиийел в вертикальной круглой трубе, ивпол- иеииой водой. Влияние вязкости на течение опять можно не учитывать (за исключением только тех случаев, когда кольцевой слой воды весьма тонок), и равенство (6.11.4) дает свяаь между постоянной скоростью б' подъема пузыря и радиусом кривизны границы его верхней части. Коэффициент а постоянен для всех пузырей, которые настолько велики, что способны аанять почти все поперечное сечение трубы, и этот коэффициент характеризует распределение скорости в окрестности критической точки передней части пузыря; однако форма пузыря геометрически не простая, и нельзя найти величину а методом, используемым для пузыря в безграничной жидкости. Наблюдения показывают, что скорость У имеет порядок 0,48 (да)пт, где а — радиус круглой трубы, содержащей пузырь. Эта скорость меньше, чем для пузыря в виде сферического сегмента (в безграничной жидкости) с радиусом сферы Л, если Л/а ) 0,52; это означает, что пузыри, которые еще не заполняют трубу, догоняют большой пузырь и сливаются с ннм.
Установлено, что в действительности дело обстоит именно так, и поток пузырей, выделяющихся в нижней части длинной вертикальной трубы, в конце концов превращается в несколько болыпих пузырей, которые ааполняют трубу и перемещаются вверх с приближенно одинаковой скоростью. На достаточном расстоянии вниз от передней части большого пузыря, который заполняет трубу, его граница становится почти цилиндрической с радиусом, например, а — И, а скорость воды приближенно вертикальна. Если влиянием вязкости можно пренебречь (это значит, что толщина слоя Ы не должна быть слишком малой), то скорость воды в системе координат, движущейся вместе Гл. С.
Теория беввихреиого течения и ев приложения с пуаырем, будет приближенно постоянной поперек узкого кольцевого канала и равна скорости на границе пузыря, которая, согласно теореме Бернулли, равна (2уя)ых, где я — расстояние вдоль оси трубы от передней части пузыря (рис. 6.И.4). Уравнение сохранения массы дает приближенное соотношение яа'(7 = я(а' — (а — о)х) (2ул)'!', из которого при я/а)) 1 следует Принимая во внимание наблюдаемое аначение параметра Пх/уа, получаем — 0,17 ( — ) (6.И.10) яаЧ7 = 2яа ((И+ — е ); (6 И.И) его приближенное решение (при х7т/уох (~ 1 и с учетом наблюдае- мого значения скорости П) таково: (6.И.12) Для воды, вытекающей из трубы радиуса 10 см, по этой формуле получается, что Фа ж 0,02.
Расширяющийся сферический пузырь Простой и важный пример течения, вызванного одним изолированным пуаырем, размеры которого изменяются, дается сферической каверной, соадаваемой подводным взрывом. В данном случае ускорения в радиальном направлении много больше ускорения силы тяжести у, так что в первом приближении мы можем им Эта оценка толщины кольцевого слоя воды не годится в тех случаях, когда величина о становится очень малой, сравнимой с толщиной пограничного слоя на стенках трубы, внутри которого завихренность не равна нулю.
На достаточном удалении вниз по потоку завихренность будет полностью диффундировать через кольцевой слой, и тогда силы вязкости, действующие на элемент слоя, компенсируют силу тяжести. Профиль скорости становится параболическим (о (( а), и, как покааано в $4. 2 для течения в слое со свободной поверхностью на вертикальной пластине, объемный поток в системе коордвнат, свяаанной со стенкой, равен (1/3)уе(зЬ на единицу ширины слоя, параллельного стенке.
Условие сохранения массы в этом случае дает уравнение Е.И. Большие пузыри гааа в жидкости пренебречь. Если скорость воды достаточно мала для того, чтобы ее можно было рассматривать как несжимаемую среду, радиальная скорость и воды (в предположении, что она зависит только от ра- диуса т) равна и=Во —,, В го (6Л1ЛЗ) где  — радиус пуаыря и В = ооВ/й. Эта скорость соответствует беавихревому течению, потенциал скорости которого С ~р= — ~ ий = — В* —.
о В (6.11Л4) г Для давления в воде мы можем написать (см. (6.2.5)) Р— РО де в' 2ВВ~+ В'В 1 В'В' р до 2 г 2 го где ро — постоянное давление вдали от пузыря. Следовательно, если по результатам взрыва давление рь внутри пузыря известно как функция времени 8, то радиус пузыря удовлетворяет дифференциальному уравнению ВВ+ 3 Во Рь — Ро 2 = р (6Л1.16) Это уравнение можно интерпретировать как уравнение энергии. Полная кинетическая энергия воды равна —,„р ) 4и'пт' о(т = 2прВоВо, а скорость, с которой эта энергия изменяется, равна величине работы, совершаемой нормальной силой на границе пузыря и на жидкой сферической поверхности «в бесконечностио, т.
е. 4лВорь — 1(ш (4лтори) = (рь — ро) 4яВоВ. г а Таким образом, 591 д (ВаВо) Рь — Ро ВоВ (6.11.17) что повторяет уравнение (6Л1.16). Взрыв, который производится в большой массе воды, порождает болыпое количество гааа под высоким давлением, По мере того как этот газовый пузырь расширяется и приводит окружающую его воду в радиальное движение, давление в газе уменьшается приближенно по адиабатическому закону, который, вообше Гл. Е. Теория оеовилревого течения и ее првложения говоря, зависит от состава продуктов взрыва, но обычно дает обратную пропорциональность давленая высокой степени радиуса пузыря. На более поздних стадиях процесса расширения пуаыря он превосходит свой равновесный радиус, давление гааа в нем падает аначительно ниже ро, и тогда пузырь по существу можно считать пустым.
Внешнее давление ро постоянно, так что дифференциальное уравнение (6.И.17) можно один раз проинтегрировать и найти ВоВо 2 Ро (Во Во) З р (6.И.18) где  — максимальный радиус пузыря, когда он прекращает расширение и начинает сжиматься. Далее, зависимость между временем г и радиусом В эффективно пустого пузыря в жидкости, в которой на бесконечности поддерживается постоянное равномерное давление ро ) О, определяется квадратурой где ~ — момент времени, при котором В = В . Написанная формула справедлива как для положительных, так и для отрицательных значений разности ~ — Г, причево движение в фазе сжатия г) ~ является простым обращением движения пузыря в фазе расширения.
Если не происходит потерь энергии Е, освобождаемой при варыве в окружающую воду путем теплового излучения или теплопроводностн, то энергию Е можно приравнять полной работе, совершаемой над жидкостью в бесконечности вплоть до момента времени ~ , когда кинетическая энергия равна нулю,и определить Е= з проВ (6.1 1.20) В ~~ Ро рх 592 Мы еще воспольауемся этвми соотношениями в $6 12, рассматривая друтое явление, Установлено, что соотношения (6.И.19) и (6.И.20) согласуются с наблюдаемыми радиусами пуаырей, которые расширились аа пределы их равновесного радиуса, если только, согласно предположению, влияние силы тяжести незначительно.
Уравнение (6.И.16) показывает, что в отсутствие силы тяжести радиальные ускорения на границе пузыря максимального радиуса имеют порядок ро/рВ; поскольку же сферический газовый пузырь поднвмается в воде с начальным ускорением 2я (1 6.8), то, очевидно, условие незначительного влияния силы тяжести сводится к неравенству 632. Кавитации в жидкости которое для взрыва в океане можно интерпретировать как требование, чтобы максимальный радиус пузыря был мал по сравнению с глубиной взрыва. Если это условие не удовлетворяется, то перемещение пузыря вверх происходит одновременно с несимметричным радиальным расширением, причем скорость подъема центра пузыря в фазе сжатия больше, чем в фазе расширения (Тейлор (1963)).
6.12. Кавитация в жидкости По мере того как объем данной массы газа увеличивается, его давление уменьшается; однако оно остается положительным, каким бы большим пе стал объем. Для капельных жидкостей это не так вследствие совершенно различной формы их уравнений состояняя.
Жидкости имеют очень малый коэффициент сжимаемости, и большие изменения давления сопровождаются малыми изменениями их удельного объема. В частности, удельный объем типичной капельной жидкости при положительных давлениях, близких к нулю, отличается от ее удельного объема при атмосферном давлении меньше чем иа 0,01%.
Таким образом, уравнение Ч.п = 0 строго выполняется в широком диапааоне изменения положительного давления. Возникает вопрос: что происходит, когда динамические условия в движущейся жидкости таковы, что в некоторых местах появляются отрицательные давления7 Возможность появления отрицательных давлений в несжимаемой жидкости очевидна, например, из теоремы Бернулли для установившегося течения (см. (6.3.1)); давление на линии тока становится отрицательным там, где скорость превосходит величину (2Н + 2я х)мв. Ответ, который имеет важные практические последствия для гидравлических машин и для движения под водой, состоит в том, что капельная жидкость, которая специально не обработана, не может выдерживать растяивения и стремится к образованию областей, заполняемых паром (каверн), которые расширяются и снижают отрицательное давление.
Тем самым непрерывность жидкости нарушается, и для описания течения требуется определить положение и движение границ каверны. Процесс образования и последующего развития таких каверн составляет основу явления,называемого казшлалией. Испытания жидкостей в состоянии покоя показывают,что тенденция к образованию каверн, когда давление снижается до нуля, связана с непременным наличием ядер кавитации, которые, как полагают, представляют собой микроскопические включения нерастворенного газа; некоторое количество паров жидкости должно присутствовать в этих включениях, однако газ, обычно воздух, по-вндимому, играет более существенную роль в образовании каверны. Трудно сказать вполне определенно, какилв образолв включения газа могут долгое время сохраняться в жидкости при 593 вв — вввв Гя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
