Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 133

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 133)

Когда твердое тело заданной формы помещено в установившийся поток жидкости и каверны отсутствуют, безраамерная форма поля течения полностью определяется числом Рейнольдса. Если теперь допускается стационарная каверна значительного размера как некоторое новое свойство поля течения, то постоянное давление в каверне р, выступает в качестве нового фиаического параметра. Влияние стационарной каверны сводится к предотвращению появления в воде области, в которой давление было бы ниже давления пара, и если предполагается, что это действительно так, то вода везде находится в сжатом состоянии, аа исключением границы каверны. В этих обстоятельствах одновременное возрастание давления в каверне и во всей массе жидкости не оказывает никакого влияния на поле течения, а это свидетельствует о том, что существенным является не абсолютное давление, а перепад давлений.

Приближенно постоянное давление Рм которое существовало бы в окрестности каверны при отсутствии тела, создающего каверну, т. е. внешнее давление для каверны, вновь служит удобным исходным давлением, поэтому беаразмерное число, характериаующее стационарную каверну, есть число кавитации Гл. 6. Теория беаояхревого течения я ее приложения не регулируется, и, по-видимому, оно близко к давлению пара. Помимо подтверждения ожидаемого подобия формы каверн, полученных при одинаковых значениях К, этн фотографии показывают, что, по-видимому, имеется характерное различие в свободных границах каверн, наполненных паром н воздухом.

Вода вблизи границы паровой каверны находится в состоянии начальной стадии кавитации, причем шероховатость и непрерывное колебание границы, вероятно, способствуют «кипению» на ней. Кроме того, существуют обстоятельства, при которых наполненная воздухом каверна возникает естественным путем при давлении, значительно большем давления пара, например, когда снаряд входит в воду через поверхность раздела воздуха и воды. Если твердая сфера падает илн выстреливается вертикально в воду (фото 6.12.6), то образуется каверна, временно присоединенная к поверхности сферы. Если скорость сферы достаточно велика, каверна затем отделяется от поверхности и продолжает двигаться вперед вместе со сферой, причем давление в каверне продолжает оставаться больше давления пара.

Однако при этом не следует ожидать блиакого сходства движения с установившимся течением около неподвижной сферы при определенном аначении числа кавитации, так как свободная сфера замедляется, давление в незозмущенной воде изменяется с изменением глубины и каверна, присоединенная к сфере, непрерывно теряет воздух за счет его уноса через границу каверны. Двнзмика процесса поступления воздуха в каверну в начале ее образования, по-видимому, влияет на замыкание каверны и на полный объем воздуха, который продолжает двигаться вместе со сферой. Из наблюдений следует, что в случае тела заданной формы, помещенного в равномерный поток жидкости, форма стационарной каверны определяется в основном числом кавитацни. Однако каверна близка к стационарной только тогда, когда она наполнена воздухом и образована за телом с острой кромкой, и даже в этом случае, как видно на фото 6 12.5, а, кормовая часть каверны не имеет четко определенной формы.

Для всех каверн, заполненных паром, и для каверн, заполненных паром или воздухом за телами без острой кромки, на практике имеет смысл лишь средняя по времени форма каверны. При отсутствии острой кромки тела, которая определяет и стабилизирует как отрыв пограничного слоя, так и присоединение каверны, может происходить взаимодействие пограничного слоя и каверны, как показано на интересных фотографиях 6 12.7. Вполне может быть, что граница каверны обычно совпадает с оторвавшимся пограничным слоем.

Оставляя в стороне неустойчивость и нестационарность, а также влияние пограничного слоя, которые могут проявляться в определенных условиях, определение формы стационарной каверны в потоке за телом при данном аначении числа кавитации К пред- 6.13. Теория течений со свободными линиями тока ставляет само по себе интересную задачу теории безвихревого течения, которая будет рассматриваться в следующем параграфе. 6.!3.

Теория течений со свободными лкниями тока, установившиеся струи я каверны Ниже мы изучим ряд задач, в которых установившееся течение при болыпих числах Рейнольдса ограничено частично твердыми стенками и частично свободными линиями тока неизвестной формы, на которых давление постоянно и имеет заданную величину. Такие течения большей частью можно разделить на екезатопленныез струи, т. е. струи жидкости конечных поперечных раамеров (по нормали к направлению основного течения), окруженные газом, и на газовые каверны конечных поперечных рааыеров, окруженные жидкостью; к струйным задачам относятся также задачи о движении тел вдоль свободной поверхности жидкости, которая первоначально находилась в состоянии покоя под действием силы тяжести.

Мы будем предполагать, что вверх по потоку авданы такие условия, что течение всюду безвихревое, за исключением пограничных областей, с обычными оговорками относительно применимости полученных реаультатов. В некоторых из этих задач общие свойства полей теченнй можно установить путем наблюдения, дополненного применением интегральной теоремы о количестве движения, как в 3 6.3, однако в других задачах, особенно в задачах с кавернами, характер течения может быть вообще не очевиден и, во всяком случае, для получения количественных сведений требуются подробные расчеты. Тот факт, что форма свободных границ неизвестна, делает математическую задачу весьма трудной, исключая двумерные течения, в которых твердые границы состоят из прямолинейных отрезков 1).

Использование болыпих электронно-вычислительных машин дает возможность получить много численных решений, во всяком случае для аадач двумерных и осеснмметричных течений. Как уже упоминалось в 3 5.19, интерес к течениям этого типа стимулировался ранее представлением о свободных линиях тока в модели широкого следа аа плохообтекаемым телом, погруженным в равномерный поток (без каверн) при больших числах Рейнольдса.

Действительно, скорость в следе вблизи плохообтекаемого тела вообще меньше, чем в невозмущенном потоке, хотя предположение о том, что давление в следе постоянно, представляет собой слишком сильное упрощение, н, во всяком случае, неустойчивость вихревой пелены, составляющей границу следа, приводит к вихревому дви- 1) Подробнмй обзор современной теории течений со свободными границами имеетев в книгах: Бирнсов Г., Сарантонелло Э., Струи, следы и каверны, «Мир», М., 1961; Гуревич М. К., теории струй идеаазной жидкости, Физматтиз, М., 1961 (а такие в книге: Седов Л.

И., Плоские задачи гидродинамики н азродинаивкв, «Наука», М., 1966.— реб.й Гл. 6. Теория безвпхревого течения н ее приложения жению и смешению жидкости на обеих сторонах этой границы ужо на малых расстояниях от тела. Приложение теории свободной линии тока к случаям, в которых поверхность тока имеет на одной стороне жидкость, а на другой стороне газ, не вызывает таких возражений, так как любое движение, которое развивается в газе, оказывает пренебрежимо малое влияние на течение жидкости, и поверхность раздела жидкости и газа обычно бывает динамически устойчивой. Будем считать, что статическое давление в области, представляющей практический интерес, приближенно однородно и, согласко теореме Бернулли, скорость жидкости на свободной линии тока по величине постоянна; очевидно, что это предположение будет правильным в том случае, когда бй(( Г/в, где й — масштаб протяженности рассматриваемой области в вертикальном направлении, а Г/ — характерная скорость жидкости в этой области.

Опишем предложенный Кирхгофом (1869) метод решения, который применим к двумерным течениям с кусочно-прямолинейными границами и в котором используется комплексный потенциал скорости (з 2.7, 6.5). С этой теорией свободных линий тока связано также имя Гельмгольца (1868), так как он первым решил задачу со свободными линиями тока. Основная идея метода состоит во введении новой комплексной переменной 8) П = 1и (Йг//гн/) = 1п (и — ) р) ' = 1п д ) -ь.

80, где, как и раньше, г = х+ )у, и1 = тр + гф, а о и 8 — соответственно модуль и аргумент (относительно осн х) вектора скорости (и, и). Эта переменная И обладает простыми свойствами, заключающимися в товц что ее действительная часть постоянна иа каждой свободной линии тока, а ее мнимая часть постоянна на каждом прямолинейном участке твердой границы. Поэтому вся граница жидкости в плоскости 11 изображается в виде фигуры с прямолинейными сторонами. Кроме того, в плоскости и) граница н<идкости изображается в виде простой фигуры с прямолинейными параллельными сторонавти, а именно двумя прямыми линиями, параллельными действительной оси, которые соответствуют двум граничным линиям тока.

Далее, из теоремы Кристоффеля — Шварца (3 6.5) следует, что всегда можно найти конформное отображение внутренней или внешней части многоугольника на полуплоскость. Следовательно, можно найти соотношения ыея<ду переменной й и новой комплексной переменной )ь, а также между /р и /ь, ') идея кирхгоеа еоотояла в применении в начеотве переменной производной бз/бм; иепользование более удобной переменной )л Мз/бм) было предложено немного поаже планмом ()884) (и незавиеимо в ! 890 г. н. е.

Характеристики

Список файлов книги