Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 134
Текст из файла (страница 134)
жуновеним, иоторый решил много новых аадач. Рее.). 608 ОАЗ. Теория течений се свободными линиями тока так что з обоих случаях область течения отобразится на верхнюю полуплоскость Х. Таким способом можно получить соотношение между Й и т, из которого путем интегрирования находится зависимость и от з. Метод будет объяснен в применении к задаче, связанной со струей, и к задаче, связанной с каверной. Двумерная струя, вытекающая пв отверстия Ы»» У й = 1п ( У вЂ” ~ = 1п — + Ю.
ви 1 (6Л3.2) Ковформвое отображение полубесконечвой полосы на верхнюю полуплоскость осуществляется преобразованием (6.5.14). Приспосабливая зто преобразование к заданным условиям положения, ширины и ориентации полосы в плоскости Я (при которых в преобразовании (6.5.14) должно быть К' = 1 и хе —— — — (1(2) я(), получаем Л =1зй и; выбор остальных постоянных в преобразовании (6.5Л4) (а именно Ь = — с = 1) произведен так, чтобы в плоскости Л точкам В н В' соответствовали значения Х = =р 1. Теперь надо найти зависимость между и н е.
так, чтобы она отображала внутренность бесконечной полосы из плоскости ю на верхнюю полуплоскость Х с соответствием точек А, В, С и А', В', С', показанным в двух плоскостях 609 »в — евт» Как отмечалось в 3 6.3, желательно знать степень сужения (козффициент сжатия) струи жидкости, вытекающей из насадка; теорема о количестве движения пригодна для атой цели только для одной или двух специальных форм насадков. Теория течений со свободными линиями тока может дать дополнительную информацию з некоторых двумерных случаях (хотя они, конечно, имеют меньшее практическое значение).
Предположим сначала, что насадком служит просто отверстие в плоской стенке малой толщины и что стенка — это часть большого сосуда с жидкостью. Скорость жидкости на свободных линиях тока, отрывающихся от краев отверстия, постоянна и равна с(; зта же скорость достигается внутри струи вниз по потоку па достаточноы удалении от отверстия, где (без учета силы тяжести) линии тока прямолинейны и параллельны (рис. 6ЛЗЛ).
Две линии тока, ограничивающие поле течения, ва которых»р = Т- »рм обозначены через АВС и А'В'С', где А, А, С, С' — точки «на бесконечности»; на рис. 6.13Л показаны соответствующие прямолинейные границы в плоскостях й и и, где Й определяется теперь несколько более удобно: Гл. 6. Теория беивидревото течения и ее првложения 1у 1 Л -илсеянве Р и с. и.!зл. конформные преоерааования, ясполвауемые для определения двумерной струя, аытенанп1ей иа отверстия в плоеной стелле. рис. 6Л3.1, причем значение 1р в точках В и В' для удобства выбрано равным нулю.
Общий вид искомого преобразования определяется функцией (6.5Л5); выбирая в нем подходящие посто- явные (К' = — (1/2) яф1, 5 = О, з~ = ур1), имеем Л= 1е лн112фс> (6.13.4) Итак, поле течения отображено на верхнюю полуплоскость Х двумя способами, результаты которых должны совпадать, так что 1е-лну(тф~) уз)1Ц вЂ” 1 (Ц 1.1 ~Ь 1 лн~ лн 0 ~й Отсюда находим У вЂ” '= — й ~ (1 — У)п"; (6Л3.5) отрицательный корень можно отбросить, поскольку У(с12Яер) -и 1 ПРИ 1Р— оо, Х вЂ” О.
ПОСЛЕДУЮЩЕЕ ИНтЕГРИРОВаНИЕ (С ИСПОЛЬЗОВанием (6.13.4)) дает — (г — з,) =1(Х вЂ” 1) — (1 — Хв)'1~+агСЬ(1 — Лв)~1~, (6.13.6) зфс где з, — постоянная, и, поскольку Х = 1 в точке В, в которой з = Ы (2с( равно ширине отверстия), получаем ге = 111. 610 3.13. Теория течений со сноооиимми ливнями тока После подстаповки Л из (6.13.4) в (6.13.6) находится искомая связь между и и з.
На свободяой ливии тока ВС имеем еР = Ф1 Ч = сгз и = 10 и в силу (6.13.3) и (6 13.4) получаем Л= — з1пЕ=е- одзе>, (6 13.7) где и озвачает расстояние вдоль свободной ливии тока от точки В. Тогда уравнение (в параметрической форме) этой свободной ливии тока определяется фуккцией (6.13.6): „( ггйс 66 — .6), у= 1 — +(1+61пВ), (6.13.6) 2161 а асимптотическая полуширипа струи равна ь=)1 у(6)=( —. 3161 яУ На рис.
6.13.1 покааана точная форма свободных линий тока. Связь между нг и з при 6- оо ставовится линейной. Это означает, что, как и предполагалось, ва достаточном удалении вниз по потоку скорость жидкости постоянка, так что ер1 = ЬУ, и поэтому (6.13.9) Эту велкчипу коэффициента сжатия, близкую к получаемой аксперимептальпо, следует сравнить с величиками, приведенными ка рис. 6.3.2 для круглых касадков с различными формами границ вблизи отверстия. Аналогичный расчет формы свободных ливий тока можно сделать для струи, вытекающей из двумерного насадка Борда, подобного насадку, показанному па рис. 6.3.2, б, и из отверстия, образованного двумя наклоненными плоскими стенками (одпа из которых может быть бескокечвой).
Для струи, вытекающей яз отверстия между двумя симметричными полубескоиечиыми плоскими стенками, образующими угол 2а, коэффициевт сужения равен ~1+~ 1. 6 6~-~ о Методы теории комплексного переменного пригодны также для определения течения, вызванного двумеряымя соударяющимися струями 1). 1> См., напрамер, Милн-томсон Л. М., теоретичесная гинронинамикв «Мар», М., 1666 1а также книги, ткаввннме'в примечании нв стр.
667.— ре6.1. 611 39» Гл. б. Теория беапяхревого течеякя к ее яряложояяя Двумерное обтекание пластины с каверной под давлением окружающей среды Можно снова рассмотреть целый ряд течений, однако с целью иллюстрации общего метода мы изучим подробно только простой случай пластины, установленной по нормали к потоку бесконечной протяженности. Будем считать, что давление в каверне, которое в теории безвнхревого течения может быть выбрано произвольно, равно давлению з невозмущенном потоке '). При атом скорость жидкости на свободных линиях тока, ограничивающих каверну, равна У вЂ” постоянной скорости течения далеко перед пластиной.
Воспользуемся снова определением (6ЛЗ.2) и примем ф = 0 на центральной линии тока, которая разделяется в крнтвческой точке О (в которой зададим зр = 0) на две свободные линии тока. Соответствие между различными точками на линии тока ф = — 0 в плоскостях з, то и И показано на рис. 6Л3.2. Область течения занимает всю плоскость ю с разрезом вдоль положительной части действительной оси. Как и раньше, необходимо отыскать преобразования, отображающие области течения как из плоскости ю, так и из плоскости И на верхнюю полуплоскость плоскости Л. Полу- бесконечная полоса в плоскости И имеет те же ширину, положение и ориентацию, что и выше, на ркс.
6.13Л, поэтому функция Л=уэЬИ опять дает подходящую связь между И и Л, причем положения точек В, В' на плоскости по-прежнему определяются значениями Л = ~ 1. Связь между ити Л можно отыскать, заметив сначала, что область течения занимает верхнюю половину плоскости итз/з (см. рнс. 6.13.2) и что затем необходимо выполнить инверсию и изменить анак, чтобы добиться совпадения соответствующих точек на двух действятельных осях; таким образом, л= — ("~ )'", (6Л3.10) где к — постоянная, подлежащая определению путем установления соответствия между положениями точки В в двух плоскостях. Итак, искомая связь между ит и И имеет вид у ЬГу т !/з , з т Вз 1 сто т Л= — ( — ) =зэЬИ= — (У вЂ” — — — ) вж ~ тх) Отсюда ~ — —— — 1 ( — ) ~ (1 — — ), (6ЛЗЛ1) причем отрвцательный корень можно отбросить, так как (йод)— = 0 в точке О, где то = О.
Интегрирование дифференциального УУ Позже з атем паратраое мм оассмотомп более обжав случай. 612 6.13. Теория течений со свободными линиями тока Ряс. б.12.2. Конаорыные преобрааоаакпя, нспольауемые для определеняя обтекания плоской пластины с каверной нод даелелнен окружающей среды. уравнения (6 13.11) дает + — "'- — 1п ~( ьи ) +(йб 1) ) (613.121 где гс — постоянная, которая должна быть равна нулю, чтобы при 1р = О было г = О. Теперь мы можеи определить постоянную й, учитывая, что в точке В, где )ь = — 1, 2=1Ь, — =1 йУ в результате Л= —, (1'.13.13) где 2Ь вЂ” ширина пластины. Теперь может быть определена форыа свободных линий тока. Поскольку ур = ЬУ в точке В, то ва свободной линии тока ВС 613 бдз.
Теория течений со свободными ливиями тока для приближения потока к двумерному), расположена нормально к потоку при большом числе Рейнольдса, то при отсутствии каверны коэффициент сопротивления равен приблизительно двум, т. е. больше чем в два раза превосходит расчетный. Причины того, что теория свободных лвний тока в этом случае неприменима, в общих чертах уже излагались; точнее говоря, увеличение коэффициента лобового сопротивления течения без каверны происходит вследствиепоявления значительного разрежения (по отношению к давлению окружающей среды) в следе сразу за пластиной. Двул)ерное течение за плоской пластиной шириной 2Ь, которая наклонена под произвольным углом а к потоку и за которой имеется каверна с давлением окружающей среды, можно рассчитать почти тем же способолу (Рэлей (1876)). Установлено, что свободные линии тока на границах такой каверны асимптотически приближаются к параболе Ю'= .'..'".'+— (6.13.19) а сила, действующая на пластину, равна 2яв!вв а яв!и а+4 (6.13.20) )) —,, =ППш ( — ) Р04 „, ! 4л ) иа гремине каверны (6.13.21) Общий метод определения двумерного течения за телом с криволинейной границей произвольного вида с присоединенной к нему каверной под давлением окружающей среды был разработан ЛевиЧивитой (1907), и можно показать, что каверна асимптотически имеет форыу параболы и что сопротивление связано с параметром асимптотической параболы той же самой зависимостью (6.13.21) 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
