Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 136
Текст из файла (страница 136)
6.13.6, имеет вид С, = С~, (1 + К), (6.13.24) где Соо — коаффициевт сопротивления при К = О. Эта формула может быть теоретически обоснована исходя из двух предположений. Первое из них заключается в том, что линия пересечения поверхности каверны и поверхности тела ве изменяется с изменением К; это, несомненно, справедливо для тел с выступающей острой кромкой.
Второе предположение состоит в том, что при изменении давления в каверне и при заданных ро и У скорость в любой точке на смоченной поверхности тела пропорциональна У,; это справедливо для двух концевых точек каждой линии тока на поверхности тела (одним концом является критическая точка, а другим — точка присоединения каверны, где скорость равна У,) и может быть разумным приближением для промежуточных точек. Тогда из теоремы Бернулли следует, что в каждой точке ва поверхности тела избыточное давление по отношению к давлению в каверне пропорционально У и соответственно (1 -+ К), и, аначит, сила сопротивления соответствует формуле (6.13.24). Теоретически не было построено ви одной схемы установившегося кавитационного течения с числом кавитации К ) О, которая не имела бы нереальных особенностей.
Трудность состоит в аамыкании каверны со стороны, удаленной от тела. Отметим два наиболее известных способа преодолеть эту трудность для двумерного течения (отчасти жертвуя возможным соответствием с действительностью); эти способы показаны на рис. 6.13.7 для примера течения около плоской пластины.
Первый способ, предложенный Рябушинским (1919), основав ва предположении, что все поле течения симметрично относительно поперечной плоскости и что на некотором расстоянии вниз по потоку от первой пластины существует вторая «отраженная» пластина У). Второй способ заключается в том, что свободные линии тока поворачиваются в противоположную сторону и образуют струю, движущуюся к кормовой части Ч Вместо властием ва вепотором расстоянии вава по потопу можно поместить тело п пругоа зорим тап, чтобм ва всм аававчввалвсь свобопвме лампи тона.
620 ЕЛЗ. Теория течений со свободными лпнняыи тока Р н с. 6.13.7. Две схенм теченяя около плоеной пластины с наверной пон даввеняам меныпем, чем давленяе окружающей среды (К > 0); а — схема с отраженной пластиной; б — схема с воавратной струей. пластины (это нереально, но возможно в теоретическом решении, так как струя продолжается на втором листе римановой поверхности)'). Идея, лежащая в основе использования каждого нз таких способов, заключается в том, что с их помощью предполагается возможным реально описать течение вблизи тела; на фото 6.12.5 видно, что кормовая часть каверны при положительном значении К плохо определена, и ыожно говорить о ее форме только в статистическом смысле. Некоторые фотографии каверн, присоединенных к телаы при К ) О, указывают на то, что имеется тенденция к заполнению каверны со стороны кормовой ее части вспененной массой воды н к последующему внезапному сбрасыванию вниз по потоку содержимого каверны с периодическим повторением этого процесса.
Наконец отметим, что когда линия, по которой свободная поверхность тока отходит от тела, не фиксируется выступающей острой кромкой, возникают новые вопросы. Неясно даже в принципе, каким образом определить точки отрыва на теле с гладкой границей, хотя некоторые ограничения ее положения очевидны. Можно легко заметить, исходя из равенств (6.13.14), что кривизна ЮНг свободной линии тока, срывающейся с края плоской пластины в двумерном течении, изменяется как 6 м вблизи 6 = О, и действительно имеется общее математическое свойство границ каверны (во всяком случае, в двух измерениях), заключающееся в том, что кривизна может быть бесконечной в точке присоединения к твердой границе независимо от того, прямолинейная эта граница или криволинейная.
Знак кривизны в точке присоединения может быть отрицательным или положительным в зависимости от числа кавитации (свободная граница направлена к жидкости выпуклостью в случаях, изображенных на рис. 6.13.2 и 6.13.7, и вогяутостью — в случае рис. 6.13.4). Свободные линии тока обязательно отходят от твердой границы з) схема течения на рнс. 6.16.7, б была предложена д.
А. эеросом )1966). известны я другнс схемы навнтапяонных течений прн Л Ф 6. Однако реальному навнтапнонному течению с вязнем следом аа кавеРной соответствует замыкание наверни на ненсторое полубеснонечное тело вытеснения, йорма нсторого определяегся условием совпадения давленяй нв его поверхности в пстянпяальном потоке и вдоль следа в реальном потоне.— Пр . Рб.
621 Гл. 6. Теорвя беввахреэого течеавя н ее пряложевня по касательной, поскольку иначе скорость в точке отхода должна быть равна нулю или бесконечности, так что свободные линии тока, которые не пересекают новерхвость тела, можно построить лишь для некоторых сочетаний числа кавитации и положения точки отхода. Унражневвя к главе б 1. Двумерный поток невязкой жидкости огравнчев с одной стороны плоской стенкой, нэ которой в жидкость но вормалн к стенке вмступает товкав пластааа конечной длнкы.
Течевае жвдкоств безвнхревое н однородно вдела от стенка. Используя преобразовавне Кристоффеля — Шварца, определите комплексный потевцнал течения н проверьте, что реэультярующея сила, действующая со егоровы жидкости яа стенку, равна с протявоположвым знаком подсасывающей силе на острой кромке пластавы. 2. Твердый сосуд в форме эллнпсонда с полуосями а, Ь, с вращаетсв с угловой скоростью й относительно ося, проходящей через его центр, я жидкость, содержащаяся в нем, находятся в состоявяя беавнхревого дзажеаня.
Покажите, что потенцаал скорости теченвя равен сумме трех членов вида азу (ез — Ьз)Г(ее+ Ье), где 3, ть ь — компоненты вектоРа й в напРазлеваях главных осей эллшгсоада, я что каждая частица жидкости движется относательао сосуда по поверхвостя эллнпсовда, подобного сосуду. 3. а) Жидкость в вндееяэыкаэдважется под действием силы тяжести по наклонной плоскости, погружаясь в более легкую жидкость, которая ва достаточном удалении от плоскости находится в состояанк покоя. Течеяве двумерное н установившееся в системе коордават, двяжущейся вместе с языком. Покажите, что если влияние вязкости пренебреяшмо мало, то кеса- тельная к поверхности раздела между Гшеуыяжкдкостямя в передней точке языка составляет с плоскостью угол 60 .
б) Прогрессаввая волна стационарной формы с прямыма гребняма ва свободной поверхвостя тяжелой воды большой глубины движется с наибольшей возможаой (до опрокидывания) амплитудой. Движение воды под поверхностью безвнхревое. Известно, что прн этих условнях вода вблпзп гребня имеет форму клина с вершиной ва гребне н с двумя гранями, свмметрячнымп относвтельно вертикали. Покажите, что угол между гранями этого клина равен 120'. 4.
Две одинаковые, во направленные в протнвоположвые стороны круглые струи воды в воздухе самметрячао соударяются н образуют слой воды, распространяющийся в радвальяых направлениях в плоскости симметрии. Какие фкзяческве факторы огранячявают направленное наружу двяженяе в споет' Получите оценку радиуса круговой внешней границы слоя (Тейлор (1959)). ВИХРЕВОЕ ТЕЧЕНИЕ ЭФФЕКТИВНО НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 7Л. Введение В этой главе мы продолжим исследование течения однородной несжимаемой жидкости при условиях, когда непосредственным влиянием вяакости можно пренебречь. Что касается завихренно- сти, то мы будем считать ее отличнойот нуля по крайней мере в не- которой части жидкости. В силу этого предположения теперь уже невозможно построить столь развитую теорию и проанализиро- вать столь многочисленные характерные поля течений, как это было сделано для полностью безвихревого течения, так как, вооб- ще говоря, мы больше не располагаем линейными уравнениями движения.
Напомним кинематнческнй результат из 5 2.4, согласно кото- рому скорость несжимаемой жидкости, индуцированная распреде- лением завнхренности ю(х), равна п (х) = ч (х) — — ~ з Л' (х'), (7.1.1) где ч — безвихревой (солевоидальный) вектор, з = х — х', а интеграл берется по всему объему жидкости (или по несколько большему объему, если ю в ~ 0 на границе жидкости, см. $2.4). Если распределение завнхревности известно, то безвихревая часть ч(х) будет определена в общем случае граничными условиями, наложенными на скорость н; иначе говоря, мы можем считать, что граничные условия для п удовлетворяются путем введения некото- рого воображаемого распределения аавихревности ва границе при скорости ч, равной нулю.
Вступительные замечания 3 6.1 относительно роли теории течения невязкой жидкости остаются в силе и для этой главы. Основные уравнения, полученные в $6.1, применимы также и адесь; это уравнение сохранения массы, Ч в =О, и уравнение движения, содержащее в качестве массовой силы, действующей на жидкость, только силу тяжести, — = а — — 3ур.
Ви 1 Р~ (7.1.2) В этом уравнении я и р — постоянные величины. Нам придется, кроме того, использовать соотношение (6.2.3), которое представ- Ги. 7. Вихревое течение аффективно вевнакой жидкости ляет собой просто другую запись уравнения движения. Стоящая з квадратных скобках в (6.2.3) величина была обозначена через Н при выводе теоремы Бернулли для установившегося течения (см. (3.5.16)); это обозначение удобно и при более общих условиях; итак, положим дк и Х вЂ” — =ЧН, да (7.1.3) где Н= — 7а+ — — я х 1 р р (7.1.4) а да = и в. В этой главе мы не будем касаться течений жидкости со свободной поверхностью и поэтому, как обычно, освободимся в (7.1.2) и (7.1.4) от члена, содержащего силу тяжести, включив его в давление; таким образом, виже будем считать р модифицированным давлением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
