Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 138
Текст из файла (страница 138)
Если два потока одной и той же жидкости прилегают друг к другу, то на поверхности раздела поверхностное натяжение равно нулю и давление должно быть непрерывным при переходе через зту поверхность, т. е. (р, — р,)„„= 0. (7.1.16) В каждой из двух областей жидкости давление определяется выражением (см. (6.2,5)) р=сонз1 — р1 — +ау+ — д ) . ! де 1 1 де 2 Подставляя соответствующие выражения для р, и ре в (7.1.16) и снова предполагая, что в обеих областях жидкость одна и та 630 7.1.
Введение же, т. е. плотность р непрерывна при у = Ч, мы находим прибли- женное соотношение — — — ) + — У ( — + — ) =- соиМ. (7.1.17) ( дсрс дчсс с 1 с дсрс дср, с дс дс рд.=о 2 1 дв дв)в о Полученные линейные уравнения можно решить, если смещение вихревой пелены Ч представить посредством интеграла Фурье по х и х. Из (7.1.14) и (7.1.15) очевидно, что частная синусоидальная зависимость величины Ч от х и х влечет за собой аналогичную зависимость срс и срэ от х и э. Следовательно, возмУщение Должно быть суперпозицией независимых компонент Фурье вида Ч срс срэ запись в комплексной форме удобна с той точки зрения, что не все переменные величины имеют одну и ту же фазу.
Здесь 7 и а— компоненты векторного волнового числа в плоскости (х, х), абсо- лютная величина которого равна й = (тс+ ав)ссц Ч =- А срс —— В„е ~в хессе"+йс, вв срэ=Вэе " (7.1.18) где А, Вс и Во — функции, зависящие лишь от времени; в (7.1.18) используются только действительные части соответствующих выражений. После подстановки (7.1.18) в (7,1.14) и (7.1.15) получаем НА 1 — йВ = —,— — саУА, й 2 сСА йВэ = — + — сасс'А. й 2 (7А.19) Из (7.1.17), во-первых, видно, что постоянная в правой части может быть отличной от нуля только в том случае, когда компоненты Фурье не зависят от х и х (а также и от у), и этой постоянной мы можем пренебречь, а во-вторых, с учетом (7.1.19) находим доА 1 — = — аЧУеА. сйе 4 631 соответствующие возмущения изменяются по синусоидальному закону с длиной волны 2ясй в направлении, образующем угол агой(7/а) с осью х в плоскости (э, х).
Величины срс и срэ Удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. они зависят от у как ехр(~йу). С учетом условия, что возмущение исчезает вдали от вихревой пелены по обе стороны от нее, мы находим Гл. 7. Вихревое течение эффективно иевяэкой жидкости Отсюда следует А со' о= )- — ас/ 1 2 (7.1.20) — ьВ~ эВт = А. (7.1.21) о — (1/2) 1а(/ о .+ (1/2) /ан Положительный корень о соответствует экспоненциальному возрастанию возмущения; теоретическое существование этого возрастания указывает на неустойчивость вихревой пелены к любому периодическому возмущению по х и з, для которого а чь О.
Как можно заметить, выражения для т), у~ и ~рт содержат величину с/ только в комбинации с а. Чтобы выяснить причину этого, разложим вектор скорости в каждом из двух невозмущенных потоков на составляющие, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна векторному волновому числу (7, а) в плоскости (х, х); соответствующим образом разложим на составляющие н завихренность пелены. Та компонента завихренности невозмущенной пелены, которая параллельна векторному волновому числу, соответствует составляющей скорости потока, параллельной гребням волны возмущения, и не взаямодействует с возмущением; иначе говоря, для любых малых амплитуд деформации синусоидальная деформация однородной вихревой пелены, при которой гребня возмущенной пелены остаются параллельными скоростям потоков по обе стороны пелены, дает в результате установившуюся картину течения (это можно сравнить с результатами, полученными в $2.6 для вихревой пелены с постоянной напряженностью).
Компонента завихренности невозмущенной пелены, нормальная векторному волновому числу, а следовательно, параллельная гребням волны, будет порождать вихревую пелену с плотностью завихренностя ас//Й; эта компонента соответствует потокам, текущим поперек гребней волны возмущения, и только она одна обусловливает взаимодействие вихревой пелены с волной возмущения и усиление колебаний.
Из приведенных замечаний следует, что задача упростится, если мы перейдем к новым координатам в плоскости невозмущенной вихревой пелены, которые определим следующим образом: Йх' = ах + 7з, Йх' = — ух + аз; (7.1.22) 632 новая ось х' параллельна векторному волновому числу, а ось з нормальна ему. Вектор возмущения скорости всюду лежит в плоскости (х', у), и скачок компоненты скорости в этой плоскости при переходе через невозмущенную пелену имеет величину ас//Й, которую обозначим, например, У'. Механизм неустойчивости вихревой пелены можно понять, используя изменение распределения завихренностя и соответствующее влияние этого изменения на распределение скорости.
Рассмот- выражения лля некоторых векторных дифференциальных величии Вектор градиента скалярной функции У есть яга»(Г (= »»У) = ( — — + — — в-+ — — ) Р. » а д Ь д е д ( й» азь» йз дтьз йз дЬ Градиент по направлению и получается с помощью оператора и»», который может действовать как на скалярную величину, так и на векторную. Чтобы найти компоненты вектора п»7Р, где Г = Г»а+ Рзь + Гзс +ф (и» а6 пз дв-)1+Ь( )+с(»й» где п„пз, и,— компоненты вектора и вдоль а, Ь, с. Операторы диггрггнции и ротора действуют только на векторные величины, и а дР Ь дР е аР Йт Р( = тт Р) = —.
— + — ° — + — —, — й, а6» й, ' а6, йз ' дбз ' а дР Ь дР е дР го(Г(= — Ч х Г) = — Х вЂ” + — Х вЂ” + — Х вЂ”. й» д$» йз д$з йз абз Воспользовавшись полученными выше выражениями для производных от а, Ь и с, находим ~ а(й йзр») а(й й»рз) а(й»йзрз) ~ й»йзйз 1 а$» + а6, + абз это выражение можно рассматривать как результат применения формулы Остроградского — Гаусса к малому параллелепипеду, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, соответствующих приращениям 6$„бааз, бааз. Аналогично находим выраженяе а ~ д(»»згз) д(йз»тз) ) Ь ( д(й»г») а(йзгз) ) »» хР й,й, айз ~з азй, абз а6» или А~Ь Ьзс д д д$~ дйз Ьзрз "зГз Ь»а д д~~ й»Е» 733 мы должны знать зависимость функций Г„Гз, Гз и единичных векторов а, Ь, с от координат.
Как следует из выписанных выше соотношений, Рз I дй» дйз Ъ и ЧР=а (п»рГ»+ — (п» вЂ” — лв — ) + й,й, 1 а4 а6» ) Гл. 7. Вихревое течение эффективно невнэкой жидкости составляющую вдоль оси з'. Теперь, когда мы установили, что вблизи точек, подобных А, имеется некоторое накопление положительной завихреяпости, должно существовать соответствующее распределение иэдуцироваикой скорости, которое стремится повернуть жидкость вокруг точки А в направлении против часовой стрелки и, следовательно, увеличить авшлитуду сияусоидального смещения вихревой пелены. Ббльшая амплитуда смещения вызывает более быстрое накоплеиие завихреяяости вблизи точек типа точки А, и, таким образом, колебаиия в целом ускоряются.
Особой чертой сияусоидальяого возмущения вихревой пелены является то, что два процесса — накопление завихреяпости вблизи точек, подобных А, и поворот прилегающих участков пелены — происходят одяовремеяно и приводят к экспояеяциальному росту возмущеяия во времени без изменения его пространственной формы.
Теперь мы можем выяснить смысл отрицательного значения корня в (7А.20). Предположим, что кам удалось в некоторый начальный момент времени создать возмущеяие воляообразяой вихревой пелены в таком виде, что точки, подобные точкам С яа рис. 7А.З, стали центрами пакоплеиия завихрепности (при подходящем ее сияусоидальяом распределении); тогда последующее движение будет стремиться (а) повернуть участки пелены вблизи точки С в направлении против часовой стрелки относительно С и (б) усилить завихрекность вблизи точек, подобных точкам А, как и выше, способствуя, таким образом, экспояеяциальяому уменьшению возмущения.
Однако начальные условия такого вида в действительности маловероятны, поэтому отрицательными зяачеяиями корня для о в рассмотреяной и в подобных задачах устойчивости можно пренебречь. Проведенный акализ показывает, что скорость возрастания сипусоидальяого возмущеяия, определяемая как о ((п А)/А = о', равна х/в аУ. Таким образом, в случае возмущения более общего вида компоненты Фурье с ббльшим волновым числом (а среди иих с равным модулем волнового числа и с векторным волковым числом, параллельным двум певозмущеяяым потокам) будут увеличиваться быстрее и в результате станут основными компонентами возлеущепия.
Более точное изучение показывает, что, хотя развитая теория дает точное описание устойчивости переходного слоя толщияы И между двумя однородными потоками по отношению к синусоидальиому возмущению с длиной волны, большой по сравнению с Ы, возмущения с длиной волны, меяьшей величины порядка д, яе возрастают; кроме того, для некоторой длины волны также порядка й скорость возрастания возмущений максимальна. В этоы более реальном случае следует ожидать, что начальное возмущение произвольного вида превратится путем усиления отдельных компоиект Фурье в почти сияусоидальяое возмущеяие с длиной волны, 634 7.2.
Течение неогрвничепией жидкости близкой к той, скорость возрастания которой максимальна; конечно, зти выводы справедливы лишь в том случае, когда величина возмущения настолько мала, что применимы линейные уравнения. Видимые на фото 5.(0.5 большие и примерно периодические колебания потока появились в результате усиления малого возмущения, а длина волны колебаний, по-видимовгу, имеет тот гке порядок, что и толп(ина переходного слоя, сходящего с острой кромки. Рассвготренный выше аналиа неустойчивости нетрудно распространить на случай вихревой пелены, отделяющей два потока жидкостей с различными плотностями, при наличии силы тяжести и поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей.
Соответствующие результаты находят применение в таких задачах, кан возникновение волн на свободной поверхности жидкости при наличии над ней потока газа. Упражнение 11спользуя (7.1.5], поквжите, что для осесимметричнего течения с «ввкруткойв где (л, и, ф) — Пплпндркческие коердинвты, в (и, в, ю) — соответствующие компоненты скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
