Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Вихревое течение аффективно невяакоа жидкости .другой путь. Рассмотрим кинетическую энергию жидкости в слое единичной толщины, занимающем конечную площадь Ан ограниченную замкнутой кривой с линейным элементом бх: Т = -;, р ) (и + р ) НА = —, р ) ( и — — и — ) е(А = 2,) 'х ду дв ) А1 А! А1 1 Г 1 — р ) Чхо НА — —, р у ф~ .
Ых. А1 Первый из двух последних интегралов сходится при Ае - оо. Второй не сходится, но его асимптотический вид легко определить с использованием (7.3.3). Выбирая в качестве ограничивающей кривой окружность радиуса В с центром в начале координат, находюц что при В -1- оо Т вЂ” ~ р ) $о>ИА — 4 р1вВ ( ) юНА) -~- 0 (7.3.8) (интегралы берутся по всей плоскости). Отсюда следует, что при некотором фиксированном большом значении В величина И'= Р 1 фон= г1 = — — ) ~ ю(х у) ю (х', у') 1п ((х — х)'+ (у — у)') е(А(х у) йА (х',у) (7.3.9) равна той части кинетической энергии жидкости, которая зависит от того, каким образом распределена заданная полная завнхренность жидкости.
Поскольку над жидкостью не совершается никакой работы и потерь энергии аа счет диссипации не происходит, следует ожидать, что величина тт' не зависит от времени; этот вывод можно подтвердить непосредственным вычислением. Итак, мы нашли, что интеграл ~ю е(А и величины Х, У, Р я тт', определенные выше, постоянны прн движении жидкости. Движение элементов жидкости пронсходвт с постоянной завихренностью относительно фиксированного центра, с постоянной дисперсией завихренности относительно того же центра и с постоянным значением интеграла (7.3.9). Этн вполне строгие условия, которые должны выполняться при всех изменениях распределения завихренности, позволяют качественно предсказать развитие движения жидкости при некоторых простых начальных распределениях аавихренности.
650 Гл. 7. Ввхревое течение вффевтнвно невяаной жядностн Рве. у.ад. Несввнегрвчная составлявшая расвределення аавнаревнсстд в случае, яогда на яруговсе ядро востояввоа ааввдреввоств о, наложено воевушевле <г = 4>. Если распределение завихренности лишь приближенно симметрично относительно некоторого центра, то, по-видимому, «несимметричнаяв часть завихренности будет вместе с жидкостью двигаться вокруг центра симметрии; при этом она, вообще говоря, может изменять свою форму.
Этот процесс мы можем подробно исследовать для случая, когда завихренность имеет постоянную величину оуо в области, ограниченной в некоторый момент кривой г = а+ ессявО, (7.3.17) и равна нулю всюду вне этой области; здесь в — целое число, а с (( а. Это распределение завихренности можно считать наложением распределения с постоянной величиной ого внутри окружности радиуса г = а и слоя завихренности вдоль окружности с вихревой плотностью огее соз гО, как показано на рис.
7.3.2. Первое распределение создает чисто вращательное движение, которое заставляет выпуклости и впадины границы вращаться вокруг центра окружности с угловой скоростью (1/2) оуо. Второе распределение деформирует границу области завихренности, создавая в каждой точке О окружности радиальную компоненту скорости, определяемую интегралом (в смысле главного значения) — "О' стй — '(О' — 0) ЫО' 4 е~ 2 или, так как з(в 20' сФд — О' сгО' 2п, ЧЬ. Двумерное течение неограниченной жкдкоотв равную ( — 1/2) еае э(п гй. Однако эта радиальная компонента скорости на границе в точности равна той скорости, которая необходима для того, чтобы граница вида (7.3.17) вращалась как твердое тело вокруг центра с угловой скоростью ( — 1/2) ао/г. Эти два движения вместе создают, таквм образом, вращение всего распределения эавихренности как твердого тела с угловой ско- ростью 1 е — 1 'ое 2 е (7.3.18) аь (е+ Ь)е о (что находится в соответствии с приведенным выше результатом при а — Ь (( а).
В пределе при Ь/а - О область ненулевой завихренности становится вихревым слоем, расположенным на отрезке оси х с вихревой плотностью 2Ь'ое 11 ее ) (7.3.19) этот слой также вращается без изменения формы. Если эавихренность в одних областях жидкости положительна а в других отрицательна, причем ~ ю ИА = О, то, очевидно, могут существовать установившиеся движения относительно поступательно двюкущихся осей координат.
Как было установлено выше, движение, вызванное двумя точечными вихрями с интенсивностями х и — х, будет установившимся относительно осей, которые перемещаются со скоростью х/2пд в направлении нормали к прямой, соединяющей вихри. На рис. 7.3.3 показаны линии тока этого установившегося течения. Представляется вероятным, что эавихренность, сконцентрированная в каждом точечном вихре, может быть распределена внутри областей с границами, приближенно повторяющими аамкнутые линии тока на рис.
7.3.3; такое распространение эавихренности не нарушает условий установившегося движения. 655 так что поле течения будет установившимся относительно осей, вращающихся с этой (постоянной) угловой скоростью. Вообще всегда, когда в односвяэной области имеется завихренность одного знака, а вне ее она равна нулю, распределение завихренности стремится вращаться как твердое тело. Прямыв методы для определения стационарных относительно вращающихся осей распределений эавихренности не известны, хотя решения для некоторых специальных случаев получены.
Ыожно показать, как впервые было отмечено Кирхгофом, что область однородной аавихренности, ограниченная эллипсом ле/ае гг у'/д'= = 1, вращается без изменения формы с угловой скоростью Гя. 7. Вихревое течение эффективно кевявкой жидкости Р н с. 7.ЗЛ. Линн» тона установившегося течения относнтенвно пары точечных вихрей с интенснвнсстани и, = н н и, = — н. Известен один частный случай установившегося движения с распределением завихренности указанного вида; если предположить, что внутри области ненулевой завихренности где й — постоянная, то для функции тока ер в полярных коорди- натах получается уравнение — + — — + — = — йаф.
двф 1 дф 1 дтф дга г дг гв дев (7.3.20) Будем искать решение этого уравнения, которое сращивается с функцией тока внешнего безвихревого течения; попытаемся найти функцию тока вида зрп 6, как для безвихревого обтекания кругового цилиндра. Тогда общее решение уравнения (7.3.20) запишется следующим образом: (7.3.21) Р = С.Г, (й ) з1п В; при У, (йа) =- 0 оно дает круговую линию тока г = а. Если теперь положить У = — — СйУ; (йа) = — — Сто (йа), (7.3.22) то скорость на этой линии тока, согласно (7.3.21), будет иметь то же самое значение 2У зш 6, что и при обтекании кругового цилиндра радиуса а однородным потоком со скоростью У на бесконечности в направлении 6 = к. На рис. 7.3.4 показаны линии тока в области г < а для этого установившегося течения в частном случае йа = 3,83 (это наименьшее возможное значение йа).
Прн ббльших значениях йа 656 7.3. Двумерное течение неограниченной жидкоств Р в с. 7.3Л. Ллилл тока в областв г Ы с длл уставолвлюегоса течеллл, обуслоелеввегс еавлхреввостью, вродорвловальвой,у» (аг) л!в е к ы л, ае =3,33>. и одлородвыв осто- вов с додхоюввей скоростью лл беслолечйостл. величины ю и ьр изменяют знак один или несколько раз, если двигаться вдоль радиуса до границы области безвихревого течения. Рассматривая отдельно области внутри и вне окружности радиуса г = а или воспользовавшись формулой (7.3.7), можно определить вмпульс жидкости относительно осей, связанных с жидкостью на бесконечности; он представляет собой вектор, имеющий направление вдоль положительной оси х и величину 2паарУ. Упражнения 1.
Покажете методом конформвого преобразования нлоскоств течения, что траектория точечного вихря в области между двумя пересекающимися прямолинейяыми границами определялся кривой ге!и вб = сопег, где г, 9 — полярные координатм, а границы жидкости Задаются условиями 0=0иб=я!в. 2. Точечные вихри одинаковой интенсивности к расположены вдоль бесконечной прямой на равных расстояниях с друг от друга; имеется еще один аналогичный ряд точечных вихрей напряженности — к, параллельный первому ряду и отстоящий от вето ва расстояние Ь.
Покажите, что скорость, с которой все евхри движутся вдоль рядов, равна к яЬ и яЬ вЂ” сг)ь — или — В)7— 2л о 2а а в зависимости от того, расположены вихри в рядах друг против друга или сдвинуты ва (172) а. (Такую «вихревую дорожку» можно испольаоеать для приближенного представления в некотором интервале чисел Рейнольдса следа аа телом, движущимся е жидкости; см. фото 4,12.6 и 5.11.4.) 657 ег — оауг Гл. 7. Вихревое течение аффективно иевявкой жидкости 7.4.
Установившееся двумерное вихревое движение жидкости В двумерном течении уравнение сохранения массы будет выполнено тождественно, если компоненты скорости и, и записать с помощью функции тока ф. Тогда величина вектора завихренностн, который всюду нормален плоскости (х, у) течения, будет определяться выражением ди ди ! деф, деф дх ду ' ( дхе дуе ) ' Как было установлено (см. (7.1.6)), в двумерном течении завихренность каждого злемента жидкости постоянна; в случае установившегося движения траектории частиц совпадают с линиями тока. Следовательно, завихренность ю имеет одно и то же значение во всех точках линии тока и ее, очевидно, можно записать как функцию только ф, скажем, ю = 7'(ф).
Таким образом, имеем уравнение д ° + дув дтф дтф (7.4,1) которое определяет распределение скорости в установившемся течении, как только функция 7'($) задана. Величина Н постоянна вдоль линии тока и, следовательно, таки'е зависит только от ф. Теперь (7.1.8) можно переписать в виде дН п хе= — туф; дф (7.4.2) отсюда получаем одно скалярное соотношение — ","„= -ю= -~(р) (7.4.3) Величину Н можно определить путем интегрирования, если известна функция Г', после чего получается явное выражение для давления. Итак, если распределение завихренности по рааличным ляниям тока известно, то математическая часть решения задачи об установившемся двумерном течении ясна (хотя аналитическое определение ф из уравнения (7.4.1) может оказаться нелегким делом).
Распределение взвихренности может быть задано произвольным, если мы ограничиваемся теорией невязкой жидкости. На практике 658 3. Покажите, что если учесть влияние вяакости в рвссмотренных в 1 7.3 полях течения, то величина полной эввкхренностп ) ыдА и коорлинвты центра вевихреиностп останутся постоянными, в величине 77т будет раста со скоростью де (Π— дисперсия распределения аевпхренности). 7.4. Установившееся двумерное вихревое движение яндкости которое известно из теории поперечных колебаний упругой мембраны с закрепленной границей в плоскости (х, у) и с э() в качестве прогиба мембраны; решение итого уравнения получено для различных границ мембраны, на которых ч() постоянна,— круговой, прямоугольной, треугольной; однако остается неиавестным, при каких условиях могут существовать и существуют ли вообще соответствующие поля течений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
