Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 145
Текст из файла (страница 145)
В случае установившегося течения, когда все линии тока приходят из некоторой области, возможно из «бесконечности», где аначения Н и С для равличных линий тока известны, функции Течения, в которых все переменные не зависят от х и и = О, представляют определенный интерес в связи с движением жидкости в кольцевых каналах и трубах; такие течения можно наавать цилиндрическклзи, так как поверхностями Бернулли для них служат круговые цилиндры. Уравнение движения в радиальном направлении в случае такого установившегося течения принимает вид 7.5. установившееся осеснмметрвчяое течение с закруткой ф= — Нот, С =йпт, а поскольку в области вверх по потоку течение цилиндрическое и для него справедливо (7.5.13), то имеем Н= 1 и'+а о. Теперь условия вверх по потоку можно переписать так: (7.5.14) и эта зависимость Н и С от ф должна быть одной и той же во всем поле течения.
Таким образом, основное уравнение для поля тече- яия становится линейным азу . дав 1 аф 29т з 4нз — — — — — — — — ьь дхт ' дат с да у Ьч Его удобно переписать в несколько ином виде, используя в каче- стве зависимой переменной не саму функцию тока ф (х, и), а ее отклонение от исходной функции тока в области вверх по потоку, положив ф(х, о) = — Ноз+ог (х, а); 2 (7.5.15) итак, получаем где й = 2ЙШ Теперь на примерах решения уравнения (7.5.16) мы поясним некоторые соображения о довольно сложном взаимодействии осевого и азимутального движений.
Следует иметь в виду, что линейность уравнения (7.5.16) есть результат специального вида условий (7.5.14), наложенных на течение в области вверх по потоку. Что же касается решений уравнения (7.5.11), соответствующих иным условиям вверх по потоку, то о них мало что известно. 669 Н(т) и С(ф) в (7 5 11) будут известными и тогда во всем поле течения ф в принципе можно определить как функцию от х и и. Практически зто можно сделать только для очень простых зависимостей Н и С от ф К счастью, относительно простой случай, в котором жидкость далеко вверх по потоку имеет постоянную осевую скорость С и вращается как твердое тело с угловой скоростью И, оказывается одним из самых важных на практике.
Условия вверх по потоку задаются в виде Гл. 7. Вихревое течение эффективно невягиой жидкости Влияние изменения поперечного сечения трубы на течение закрученной жидкости Предположим, что жидкость, находящаяся в установившемся дним;енин в трубе, проходит переходный участок, соединяющий два длинных цилиндрических отрезка разных поперечных сечений; пусть на некотором расстоянии вверх по потоку от переходного участка жидкость имеет постоянную осевую скорость П и вращается как твердое тело с угловой скоростью Я.
Труба имеет осесимметричную границу, и течение всюду считается осесииметричным. Переходный участок можно рассматривать как простое увеличение или уменьшение радиуса трубы (рис. 7.5.1, а, б); два других варианта переходного участка, интересныв для приложений, показаны на рис. 7.5А, в, г. Во всех рассматриваемых случаях течение вверх и вниз по потоку от переходного участка цилиндрическое и задача состоит в определении параметров цилиндрического течения в области вниз по потоку. Уравнение (7.5.16) применимо во всем поле течения, а в интересующей нас цилиндрической области вниз по потоку, где ф и Р зависят только от а, имеем (7.5.17) Это уравнение Бесселя порядка единицы, имеющее общее решение г" = А)'1(йа) + ВУ~(йп), (7.5.18) Р=- — П * при о=Ьг. а1 — Ь1 2 Ьл Из этих условий находим П Ьг (ал1 — Ь1)У~(ЬЬг) — Ь1 (ал — ЬВ У1(ЬЬ|) 2Ь1Ьг г л (ЙЬ,) У1 (ЬЬг) — Хл (ЬЬг) Ъ'1(ЬЬ|) (7.5.19) 670 где 11 и г'1 — стандартные обозначения функций Бесселя первого и второго рода.
Постоянные А и В должны быть определены по известным значениям ф при двух значениях радиуса. Все указанные выше варианты переходных участков можно описать единообразно, если предположить, что областями цилиндрических течений вверх и вниз по потоку от переходного участка будут кольцевые области а, > (г > аг и Ь| > а > Ьг соответственно (рис.
7.5.2). Линии тока, на которых значения ф равны (1/2) Пал, и (1/2) Па,' в цилиндрической области вверх по потоку, отстоят от оси симметрии соответственно на расстояниях о = Ь, и о = Ьг в области вниз по потоку; таким образом, решение (7.5.18) должно удовлетворять граничным условиям Р== —,П ' ' при а=Ь,, г ь, 7.5. Установнншеесн осеснмнетрнчное течение с закруткой Р н с.
У,бд. Раалнчнме варвантн серелодое ог одного цнлнндрлчсского тсчення н дру- гому. Р не. У.бен Общий случад нерелода от одного цнчнндрячссного течения н другому а выражение для В получается из написанного путем замены лг на Уг и У, на лг. Осевая скорость в цилиндрической области вниз по потоку, согласно (7.5.15) и (7.5.18), равна о о =су+ — „л,у (Аоуг(йо)+ВОУг(йо))= =О+ АИе(йо)+ВйУо(йо); (7.5,20) здесь были использованы известные соотношения между функциями Бесселя Хе и Х„а также между Уе и Уг. Азимутальная скорость равна нг= — = — т =(со+йАХ,(йо)+йВУг(йо).
(7.5.21) Наиболее интересный переходной участок — это простое изменение радиуса трубы, показанное на рис. 7.5.1, а, б. Полагая ад — — О, Ье — 0 и записывая а, Ь вместо а„йг, а также используя предельные значения Х, (х)-~-0, хУУ (х)-г- — 2/я при х-г О, 671 Гл. 7. Вихревое течепие эффективно кевяэкон жидкости 1,0 -Огг Р ис.
7.$.Э. Фтвидии Вяеселя пеРвого Рода. мы находим 7 аэ — Ье .4 2(/ ы (ь так что 1 ~ '/гаа/е Ио) + ~ ьт ) /, (аь) (7.5.22) (7.5 23) Когда ЬЬ ((1, две последние формулы приводятся к виду и аэ ~и ае г/ ы ° по ьт ' они описывают изменения, которые происходят в трубке малого поперечного сечения, представляющей собой одновременно трубку тока и вихревую трубку с однородным распределением скорости и завихренности.
При более высоких значениях ЬЬ характер изменения распределений и и кг по и можно выяснить, исходя из графика функций Хе (з) и Х, (з) на рис. 7.5.3. Если ЬЬ ( 2,40 (т. е. меньше первого нуля функции Хе (х)), то отклонения величин и/(/ и кг/Ип от единицы всюду в цилиндрической области вниз по потоку имеют тот же знак, что и (а — Ь) (т. е. и и и/и увеличиваются при сужении трубы и уменьшаются при ее расширении), и монотонно изменяются поперек сечения трубы, достигая наибольшего значения в его центре. На оси трубы в области вниа по потоку имеем 672 равенство и/(/ и и>/1)о на оси трубы указывает на то, что ось трубы расположена внутри трубки тока и одновременно вихревой трубки малого поперечного сечения. При изменении ЬЬ от О до 2,4 множитель (1/2)/РЬ/,/7(/гд) в (7.5.24) изменяется от 1,0 до 2,32, так что 7.5.
установившееся осесимметричиое течеиие с ааирутиой Р и с. 7.5.4. Превращение пряиоаииейвой вихревой линии в спправьиую при прохожПеиии сужеиип трубм. у-онхревая нить. изменения величин и/4/ и 4р/Йо на оси переходного участка могут отличаться от находимых при постоянных значениях осевой скорости и осевой завихренности по всему поперечному сечению множителем, не большим 2,32.
Вблизи внешней границы трубы относительные изменения величин и/с/ и 4р/ьса должны быть меньше чем ((а/Ь)т — 1), чтобы обеспечить правильные значения полного осевого потока массы и полного осевого момента количества движения. Качественную картину этих изменений и и 4р при изменении радиуса трубы в переходном участке можно объяснить путем рассмотрения формы вихревых линий. В цилиндрической области вверх по потоку вихревые линии суть прямые, параллельные оси симметрии, которые вращаются относительно этой оси вместе с жидкостью.
Когда вихревая линия проходит через переходный участок, она смещается радиально внутрь или наружу (в зависимости от сужения или расширения трубы), а азимутальная скорость частиц жидкости на вихревой линии изменяется по закону о4р = сопз2. Таки54 образом, если вихревая линия смещается при прохождении переходного участка внутрь (сы. рис. 7.5.4), то частицы вихревой линии движутся вокруг оси симметрии быстрее, чем они двигались в цилиндрической области вверх по потоку; в результате этого вихревая линия деформируется в спираль с положительным значением азимутальной компоненты аавихренности (при условии, что вверх по потоку осевая скорость была положительной), Вто приводит к отрицательному значению производной ди/дп в цилиндрической области вниз по потоку, так что при сужении трубы максимальное значение скорости достигается на ее оси, как это и было установлено из (7.5.22) (при условии, что йЬ и 3,83, т.
е. меньше первого нуля функции Ху (г)). Аналогично можно убедиться, что при расширении трубы на ее оси получается наименьшая скорость. 673 42 — 0822 Гл. 7. Пвхревое теченве эФфективно невяэкой жалкости Интересная особенность формул (7,5.22) и (7.5.23) связана с появлением отрицательных значений и и и> при определенных комбинациях величин /еЬ и а/Ь вЂ” грубо говоря, при достаточно сильной начальной закрутке жидкости. В случае перехода к большему радиусу трубы (а ~ Ь) увеличение /сЬ от нулевого значения приводит к отрицательным значениял~ и и ю в первую очередь на оси трубы; в случае сужения трубы компонента и становится отрицательной сначала на внешней границе при достижении величиной ЬЬ некоторого значения, превосходящего 2,40.
Однако практические ситуации, в которых возникает обратное осевое течение, вряд ли могут быть описаны уравнением (7.5.16), так как оно выведено в предположении, что все линии тона приходят к переходному участку из области, где имеется специфическая зависимость Н и С от ф; поэтому трудно себе представить, чтобы точно такая же зависимость выполнялась для возвратных линий тока, приходящих из области больших положительных значений х вниз по потоку.
Таким образом, агу формулу следует считать практически пригодной только для течений с и > 0 во всей цилиндрической области вниз по потоку от переходного участка. Следует также отметить, что происходит нечто странное, когда величина ЬЬ достигает значения 3,83, при котором Х~ (/сЬ) =- 0: для любых значений отношения а/Ь величины и н ю/а в области вниз по потоку становятся неопределенно большими. Более глубокий анализ позволяет выяснить связь атой особенности с нарушением нашего предположения о том, что течение вниз по потоку от переходного участка снова становится цилиндрическим. По-видимому, при таком большом значении /сЬ возможно существование некоторого осесимметричного волнового движения жидкости, а влияние изменения поперечного сечения трубы приводит к возникновению цуга волн в области вниз по потоку (подобно тому, как в потоке воды в открытом канале возникает цуг поверхностных волн при определенной скорости течения, если канал перекрыть некоторым препятствием).
В следующем параграфе мы кратко рассмотрим такие осесимметричные волны во вращающейся яеидкости. Вариант переходного участка, представленный на рис. 7.5.1, в, не дает чего-либо нового, за исключением того, что коэффициент В в выражении (7.5.18) для него будет отличен от нуля. При отсутствии внутренней границы жидкости в области вниз по потоку (рис. 7.5.1, в) коэффициент В также отличен от нуля (и отрицателен), и поэтому в области вниз по потоку при о — 0 обе величины и и ю становятся бесконечно большими и положительными; таким обрааом, переходный участок в этом случае создает вблизи оси сильную, направленную вперед струю быстро вращающейся жидкости.
674 7.5. Устаковившееск осесимметричвое течение е закруткой Влияние иаменения внешней скорости на изолированный вихрь Особенно интересное осесимметричное закрученное течение связано с так называемым свободным или изолированным вихрем, т. е. с вихревой трубкой, помещенной в безвихревой поток. При рассмотрении издали вихрь такого типа представляется просто вихревой нитью (5.2.6), определяемой только величиной циркуляции по любому охватывающему ее замкнутому контуру; однако при более внимательном рассмотрении оказывается, что этот вихрь имеет структуру с некоторым распределением завпхренности внутри вихревой трубки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
