Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Если в качестве начала системы координат выбрать центр окружности, то граница жидкости не будет перемещаться под действием вращения жидкости как целого относительно начала коордннат, и потенциал скорости ~ имеет тот же самый вид, что и для безвихревого обтекания цилиндра однородным потоком. Обозначив через к циклическую константу потенциала скорости у, для безвихревого возмущения течения получим % к0 Гтав сов 0 2и (7.4.9) Распределение полной скорости можно легко представить с использованием функции тока 1 к Ввт сов 0 ф = — — а,ув — (7г з(п Π— — (и г + 4 2и г (7.4.10) 662 7А.
Установившееся двумерное вихревое двнженне жадности рне. 7ЛЛ, Схема линий тока в двумерном теченнв, обусловленном неподвн>кнмм круговым нклнвдроьн пОмещемнЬщ вО врлщвющУюсл жндкость; ы,а/о = !12, к/ап = О. При записи тр в безразмерном виде, очевидно, появятся два безразмерных параметра гоейИ/ и х/аУ.
На рис. 7.4.1 показана каРтина линий тока пРи щоа/1/ = 1/2 (что соответствУет слУчаю, когда расстояние центра вращения жидкости как целого от центра цилиндра составляет четыре радиуса цилиндра) и к/ат/ = О. Очевидно, что вращение всей жидкости как целого обусловливает несимметричность относительно линии О = О обтекания цилиндра, подобно тому как зто происходит в случае обтекания цилиндра с ненулевой циркуляцией при отсутствии вращения; кроме того, в данном случае существует ненулевая сила, действующая на цилиндр в направлении по нормали к линии О =- О.
Результирующую силу, действующую на внутренюою границу жидкости, можно определить с использованием выражения для давления (7.4. 6) (без учета действия силы тяжести): Р = — ~ рп ВА =- — р ) двп сьА, 1 (7.4.11) поскольку функция тока тр постоянна на внутренней границе. Используя (7.4.16), находим ненулевую компоненту силы Г в направлении оси йч 2н Рр=- — Ра ( — оз,а+с/з(пО+ — +(/зувО) з1~6110= = Ре/(Яа оэо ' х) ° 663 Гк. 7. Вихревое течение эффективно невивкей жидкости Вид соотношения (7.4.12) наводит на мысль, что должна существовать формула для силы, действующей на тело произвольной формы, аналогичная формуле Жуковского — Кутта, к которой сводится (7.4 12) при гве = О.
Мы можем проверить ату догадку, применив теорему о количестве движения подобно тому, как это зделано в $6.4. Сила, действующая на тело проиввольной формы, помещенное вместо кругового цилиндра на рис. 7.4.1, вычисляется по формуле (6.4.27) и определяется условиями в начале координат (в центре цилиндра), причем нужно учесть следующие изменения: а) величина — Ю в (6.4.27) заменяется на невоэмущенную скорость — Ю + (1/2) ехе х х, которая в данном случае непостоянна, и б) используется новое выражение (7.4.6) для давления. Предоставляем читателю в качестве упражнения убедиться в том„ что действующая на произвольное тело сила равна результирующей обычной силы величиной рУх, направленной по нормали к Ю, и силы — крохе х с, если с х/гв — первый член в ациклической (регулярной) части разложения потенциала скорости ~р по отрицательным степеням г.
Если форма тела задана, то с можно определить путем конформного отображения его границы на окружность. Как уже было отмечено, условие для потенциала скорости у на внутренней границе включает как х/, так и г», поэтому с в общем случае зависит как от этих двух величин, так и от формы тела. Жидкость, совершающая в бесконечности простой сдвив Общие простые замечания, подобные приведенным выше, можно сделать и относительно установившегося обтекания тела потоком жидкости, невоамущенная скорость которой имеет вид ( — х/ — мер, 0) в прямоугольной системе координат. Как в прежде, возмущение, обусловленное наличием тела, можно представить посредством потенциала скорости <р, ациклическая часть которого определяется единственным образом условием непротекания жидкости через каждый участок границы тела.
Как и ранее, поле течения можно легко определить, если тело имеет форму кругового цилиндра радиуса а. Поместим центр окружности в начало координат; тогда условием для потенциала скорости у на внутренней границе будет (д~р/дг), = (е/ + егьа з1п О) соз О. Два члена в правой части этого условия могут быть согласованы с частными решениями для <р, и мы находим к8 /7ае сев 8 иеае в1н 20 (7.4 13) 2и г 4гв 664 7.4. Установившееся двумерное вихревое движение жидкости Р и с.
7.4.2. Ливии тона двумерного течения, обусловленного неподенжныи круговым цилиндром, помепгеннмм в прсогое двумерное течение сдвяга; инг/и = 1, н/йгг= о (Тапи (!949)). Соответственно получаем функцию тока полного течения 9 ' 9 Х 1)пв в)п 8 шопа сов 26 ф = — — 19 ге з1пп Π— 1)г з(п Π— — 1п г+ 2 2п г 4гт (7.4.14) На рис. 7.4.2 показаны линии тока течения для частного случая при о)оа/сг" = 1, к/а47 = О, соответствующего довольно сильному течению сдвига. Как и следовало ожидать, разность функций тока (7.4.14) и (7.4.10) представляет обтекание кругового цилиндра, помещенного в потенциальное чисто деформационное течение.
И снова легко ааметить, что наличие завихренности в рассматриваемой жидкости служит причиной возникновения ненулевой силы, действующей на круговой цилиндр. Компонента этой силы в направлении оси х равна нулю, поскольку поле течения симметрично относительно оси у, Компонента в направлении оси у определяется путем непосредственной оценки интеграла в соотношении (7.4.11) и равна г, ' г ~ ( т )' и гав-рлп 'чт ).
1т419) 665 Гп. 7. Вихревое течение аффективно невязкой жидкости Здесь снова можно обобщить соотношение (7.4.15) ка случай цилиндра произвольного поперечного сечекия и найти Р, = О, Рг = р ( — 2яю ск + сук), (7А.16) где вектор с с колгпопептами (са, сг), как и ранее, представляет собой коэффициент первой круговой гармоники в разлон<епии ациклической части потенциала скорости гр. То обстоятельство, что компонента Р„раппа нулю, представляется верным и из энергетических соображений; в самом деле, если тело находится в установившемся движении откосительио осей координат, движущихся со скоростью ( — (7, О), то любое ненулевое сопротивление движению тела было бы равиосильпо выполнению телом работы яад жидкостью, и, следовательно, изменению кинетической энергии жидкости. И опять посредством кокформного отображения плоскости течения можно при заданной форме тела кайти вектор с (как было показано Таяном (1943) для профиля Жуковского). Произвольное певозмущеппое движение, в котором компоненты скорости линейно зависят от х и у, имеет постоянную завихренность, однако рассмотренные выше два частных случая— вращение жидкости как целого и простой сдвиг — служат, по-видимому, наиболее важными примерами.
Формулы, подобные (7.4.12), представляют известный интерес при рассмотрении течения в турбомашипах, а формулы, подобные (7.4 15), могут окаэаться полеввыми при изучении поведения тел, перемещающихся в текущей жидкости. Количественные результаты, интересные с прикладной точки зрения, можно получить непосредственно только для тел обтекаемой формы, иа поверхности которых пе происходит отрыва пограничного слоя. Если тело имеет острую кормовую кромку, подобно кромке крыла самолета, то циркуляцию х по контуру тела в установившемся течеиии следует определять с испольновакием гипотезы Жуковского (у 6.7), как и в случае беавихревого течения.
Упражыеыие В одном двумерыом течении центр кругового цнлкыдра радиуса а движется в покоящейся на бесконечности жидкости по круговой траектории радиуса й и цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью — (1Ф) гоз, а циркуляция вокруг ыего равна нулю. В другом течении жидкость на бесконечностц вращается как твердое тело с угловой скоростью (1/2)ме, а цилиндр радиуса а пеподвижеы и его цеытр отстоит на расстояние Я от центра вращения жидкости; циркуляция по окружности цилиндра равна яазюе. Покажите, что действующая на цилиндр сыла в обоих случаях направлена ог цеытра вращения, а велычина этой сыны в первом течении равна половине силы во втором течении.
(Обратяте внимание ыа то, что если в первом случае попользовать вращающуюся систему координат, то согаасыо результатам из 1 4.1 распредекеыия относительноа скорости в обоих течениях будут одинаковыми.) 666 7.5. Установившееся осеснмметрнчное течение с закруткой 7.5.
Установившееся осесимметричное течение с закруткой Рассмотрим осесимметричное течение в цилиндрических координатах (л, а, у) с соответствующими компонентами скорости (и, г, ш) и заданными компонентами завихренностн (в„, в, в ): 1 д (аш) дш дс дн вх = — —, вс = — —, ве — — — —. (7.5.$) а да ' дх ' е дх да Уравнение сохранения массы будет выполнено, если компоненты скорости и и н записать в виде 1 д~р 1 д~р и= — —, и= —— а да ' а дх где чт (х, д) — функция тока; тогда азимутальная компонента завнхренности будет равна в = — — — +— 1 е дтй дтф 1 д~р 1 а тдхт дат а да)' (7.5.3) (7.5.2) Следует отметить, что компоненты завнхренности в„и вс получаются иа аш точно таким же образом, как и компоненты скорости и и и получаются из ф Из векторного уравнения движения (7.1.3) получаем трн скалярных уравнения до дН иве ювс дС=дхз (7.5.4) дс дН ино — ив де да (7.5.5) дм ив,— рв — — =О дФ (7.5.6) где Н в случае осесимметрнчного течения зависит только от х и и.
Уравнение (7.5.6) можно переписать в виде ) =О. 771 (7.5.7) 667 Теперь оно выражает постоянство циркуляции по жидкому контуру в форме окружности, имеющей центр на оси симметрии н лежащей в плоскости, нормальной к ней. Задачи об осесимметричном аакрученном течении обычно содержат интересные и трудные вопросы, касающиеся взаимодействия окружной (азимутальной) компоненты скорости и и движения в осевой плоскости с компонентами скорости и и р. Если движение рстановидихееся, то каждая частица жидкости движется вдоль линии тока по поверхности, образованной вращением кривой Ф = сопит, лежащей в осевой плоскости, относитель- Гл.
7. Вихревое течение вффентивно невязноа жадности но оси свмметрии течения. Тогда ив теоремы Бернулли и из (7.5.7) следует — (из+ из + иР) -~- и = Н (ф), Р аю=С(ф), (7.5.8) где Н и С вЂ” произвольные функции от ~~. Теперь два из выражений (7.5.1) принимают вид <>в= и —, дС др (7.5.9) дС юо= р— дф показывающий, что компоненты векторов в и то в осевой плоскости параллельны, а поверхности Бернулли суть поверхности вращения, на которых функция тока зд постоянна.
Любое из уравнений (7.5.4) или (7.5.5) можно использовать для получения выражения о>, в зависимости от Н и С. Из (7.5.4) при ди/д1 = 0 находим е о+ ~ (7510) а аи ое йр д* аз д~р йр ' то же самое получается из (7.5.5). (Если поток не вакручен, то величина ю /а зависит только от ф, что согласуется с (7.1.7).) Из (7.5.3) и (7.5.10) получаем уравнение относительно ф: — + — — — = а' — — С вЂ”. дар дттв 1 дф, дн дс дхз доз а да др ~Ад (7.5.11) 1 др из Сз р да а аз (7.5.12) так что имеем Н= 2 (и'+шз)+ ) аз па= ~ и + ) —,з д,„па. (7.5.13) з Г Сз 1 Г С дС Уравнение (7.5.11) сводится, таким образом, к тождеству; любое распределение и и ш, или, что равносильно, Н и С, в зависимоств от и соответствует некоторому возможному установившемуся цилиндрическому течению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
