Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 148
Текст из файла (страница 148)
В промежуточном случае, когда (//Ьй порядка единицы, следует ожидать появления интересных смешанных эффектов, предварительное представление о которых можно было составить из обсуждения в 3 7.5 установившегося осесимметричного течения с закруткой. Установившееся течение при малом числе Россби Как было впервые отмечено Праудменом (1916), преобладающее влияние сил Кориолиса при с//И2 ((1 в установившемся 682 7.6.
сикдкке системы, врвщвющкеся квк целое течении относительно вращающихся осей координат приводит к удивительным последствиям. В таком течении частица жидкости все время движется вдоль определенной линии тока, никогда не изменяя направления двиттсения на обратное.
Поскольку большие силы Кориолнса препятствуют любому смещению элементов жидкости, приводящему к ненулевому значению расхоткдення в поперечной плоскости, то отсюда следует, что в пределе при с//Ь»с -+ О формы линий тока должны соответствовать нулевому расхождению в поперечной плоскости.
Можно вывести этот результат формально, заметив, что если дп/дд = О и членом и Ч и можно пренебречь по сравнению с силой Кориолиса, то уравнение движения (7.6.1) запишется в виде 2й х и = — — т/Р Р (7.6.2) т. е. ( дР дР дР ~ (О 21)кт 2Яо) в системе координат, показанной на рис. 7.6.1. Исключив отсюда давление р, получим, что в установившемся течении во вращающейся системе координат де дш — + — =О, дд дв (7.6.3) н в соответствии с уравнением сохранения массы ди — =- О. дс (7.6.4) 683 11еожиданное свойство этих приближенных уравнений, справедливых при ///АР (< 1, состоит в том, что движение в поперечной плоскости (илн в плоскости (у, х)) не связано с движением параллельно оси вращения. Кроме того, течение совершенно не зависит от координаты х.
Результат Праудмена иногда формулируется как утверждение, что «медленные» установившиеся движения относительно вращающихся осей координат должны быть двумерными. Поскольку в атой книге »ты используем термин «двумерное течение» для выражения того факта, что вектор скорости всюду лежит в некоторой плоскости, здесь более всего уместно сказать, что установившиеся движения при малых числах Россби должны представлять собой наложение двумерного (т.
е. плоского) движения в поперечной плоскости и некоторого осевого движения, которое не зависит от координаты х. Величина компоненты скорости п, параллельной осн вращения, очевидно, определяется граничными условиями. Часто случается, что каждая линия в жидкости, параллельная оси вращения, встречает в какой-либо точке неподвитт<ную границу; в таких Гл.
7. Вихревое течение эффективно невнэкой жидкости случаях из полученных выше соотношений следует, что всюду должно быть и = О и остается только двумерное двилгепне. На фото 7.6.2 и 7.6.3 (выполненных Дж. Тейлором за много лет до того, как вопрос о вращающихся жидкостях привлек общее внимание')) показано течение воды во вращающемся открытом плоском, сосуде, которое под действием сил Кориолиса в рассматриваемых условиях действительно становится двумерным. На фото 7.6.2 мы видим, что капля окрашенной жидкости вытянулась в тонкую пленку под действием «медленного» движения, пало венного на вращающуюся жидкость; две фотографии, сделанные камерой, помещенной на оси вращения сосуда, показывают, что эта пленка краски всюду параллельна оси вращения, а компонента скорости в поперечной плоскости не зависит от х.
Еще более удивительна картина течения, полученная путем введения полоски краски в точке А на фото 7.6.3. Движение относительно вращающихся осей координат создавалось здесь медленным перемещением невысокого кругового цилиндра Е по дну сосуда. Глубина воды в сосуде была 4 дюйма, а высота цилиндра — 1 дюйм; в отсутствие вращения вода обходила бы как боковую, так и верхнюю поверхности движущегося цилиндра. Однако, если краску выпустить в точке А, расположенной на 1,5 дюйма выше цилиндра и непосредственно перед ним (фото 7.6.3, а), то она разделяется в точке В, как будто бы она встретилась с продолжением цилиндра вверх, и обходит этот воображаемый цилиндр двумя отдельными пленками; видно, что одна из них (на стороне .0) даже отрывается от воображаемого цилиндра и формирует вихри ').
На фото 7.6.3, б краска была выпущена в точке над цилиндром и собралась в виде единого пятна, движущегося вместе с цилиндром. Создается впечатление, что течение в области вне цилиндра и вы)пе него приближенно такое же, как если бы цилиндр простирался от дна сосуда до поверхности воды, и что в области над цилиндром существует цилиндрический столб воды, движущийся вместе с цилиндром. Таким образом, рассматриваемое движение двумерно в том смысле, что оно согласуется с поступательным перемещением цилиндра далее тогда, когда высота его составляет четвертую часть глубины воды. Если я<идкость не ограничена неподвижными границами, пересекающими линии, параллельные оси вращения, то значение осевой компоненты скорости жидкости обычно определяется условиями на, внутренней границе.
Представляет особый интерес течение, образующееся при поступательном перемещении твердого тела со скоростью У параллельно оси вращения в жидкости, которая простирается неограниченно в этом паправлении. Такое г) см. статью дю. тейлора в сборнике науна и человечество 1971-1972, зна- ние», М., 379-387. -Прим, ргд. а) Другие аамечательнме фотографий этого велении всспропэвеленм в Пвтироеапной на стр. 880 нииге Гринспена.
684 7.6. Яилкке системы, вращающиеся как целое течение при с//Ис -э 0 будет удовлетворять всем указанным выше условиям только тогда, когда жидкость внутри соответствующего цилиндра, охватывающего данное тело, движется параллельно оси вращения вместе с телом, а компонента скорости в поперечной плоскости всюду равна нулю. И в самом деле, эксперименты подтверждают, что тело, движущееся параллельно оси вращения, проталкивает впереди себя столб жидкости, хоти позади тела картина не полностью отвечает описанной выше простой теории.
К этим экспериментам мы еще вернемся в конце параграфа. В тех случаях, когда тело движется либо параллельно оси вращения, либо перпендикулярно ей, изложенная выше теория течения при малом числе Россби приводит к выводу о существовании около тела так называемого «столба Тейлора» из жидкости, параллельного оси вращения и движущегося вместе с телом.
На гранвце итого столба имеются слои сдвига, где завихренность жидкости велика. Следует ожидать, что в этих слоях приближенное линейное уравнение (7.6.2) уже не будет пригодным; отметим также, что поле течения в целом нельзя считать достаточно изученным. Рвснростнранение волн во вращающейся жидкости Мы видели, что любые перемещения частиц жидкости, находящейся во вращении, которые приводят к ненулевому значению расхождения (дивергенции) в поперечной плоскости, сопровождаются появлением сил Кориолиса, стремящихся свести к нулю зто расхождение. Поскольку в невязкой жидкости нет диссипации энергии, отсюда следует, что перемещения жидкости такого вида, вызванные в ней в некоторый начальный асомент, могут привести к возникновению колебаний. Ыожет случиться, что во вращающейся жидкости будет распространяться цуг волн с различными фазами, соответствуюшнми положительным и отрицательным значениям расхождения в поперечной плоскости.
Такую возможность мы можем проанализировать, воспользовавшись решениями уравнений, описывающих движения относительно вращающейся как твердое тело жидкости; эти решения должны быть периодическими по времени и по некоторым координатам. Рассмотрим сначала простое осесимметрнчное волновое движение, распространяющееся в направлении оси вращения. Относительно вращающихся осей координат зто волновое движение является течением, наложенным на стационарно движущуюся жидкость; таким образом, для простой гармонической волны все параметры течения изменяются по синусондальному закону во времени с угловой частотой, скажем, р (периодом 2я/р) и по осевой координате с волновым числом, скажем, а (длиной волны 2н/а).
Уравнением, описывающим движение относительно вращающихся осей коор- Гл. 7. Вкхрееое течение эффективно нееязкой жидкости динат, служит уравнение (7.6.1) в осесимметричной форме; следуя обычному подходу при изучении волновых движений, мы рассмотрим величины отклонений от невозмущенного состояния и сохраним в атом уравнении члены первого порядка малости. Однако нам не нужно проводить подробные выкладки, так как мы можем использовать результаты из предыдущего параграфа. Ыы видели, что для любого уствновившееося осесимметричного течения, в котором функции С (ф) и Н (ф) зависят от функции тока тр точно так же, как и в течении с постоянной осевой скоростью (7 и постоянной угловой скоростью Й, функция тока ф удовлетворяет уравнениям (7.5.15) и (7.5.16); из этого следует, что любое решение уравнения (7.5.16), периодическое по х, можно считать представляющим некоторую прогрессивную волну с произвольной амплитудой, которая распространяется в жидкости с фазовой скоростью (7; в отсутствие волнового движения жидкость вращается как твердое тело.
Таким образом, нам нужно исследовать установившееся течение, описываемое функцией тока (7.5.15), где функция Р (х, а) удовлетворяет уравнению (7.5.16) и в случае простой гармонической волны с волновым числом а имеет вид Р (х, о) = 6 (и) з)п (ах + з), е = сопзФ. Уравнение для 0 (и) ас т ж (7.6.5) где и = 2йlН, имеет тот же вид, что и уравнение (7.5.17). Подходящим решением этого уравнения будет 6 (а) = АХ1 (()ст — ае)'lз о), где А — произвольная постоянная; имеется еще одно возможное решение, содержащее функцию Бесселя второго рода, которое мы не рассматриваем, поскольку оно дает особенность в распределении скорости на оси симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
