Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Жидкие системы, врвщвющиеся квк целее где через й теперь обозначена величина вектора полной угловой скорости жидкости. Угловая частота волн равна 2Я а 2йсоз6 = — ' а где й и а — вектор угловой скорости и волновой вектор; вектор а направлен вдоль оси х в соответствии с соотношением (7.6.13). Иавестно, что вектор групповой скорости простой гармонической плоской волны равен градиенту частоты по направлению а и, следовательно, имеет вид 2<7 2<2 аа 2 — — — = — а х (й х а). а ав а' (7.6Л4) Таким образом, энергия колебаний распространяется в направлении, нормальном к а и лежащем в плоскости векторов а и И, т.
е. в направлении оси у в нашем случае, как это видно из того факта, что, согласно (7.6.13), средние значения величин ри, ри, рив равны соответственно О, рйА'а"' з(п 6, О. Следует отметить, что если векторы а и й не параллельны, то на жмдкость будут действовать не только силы Кориолиса, но и градиенты давления, которые несколько изменят простой механизм волнообразования. Все рассмотренные выше осесимметрнчные и плоские волны во вращающейся жидкости относятся к так называемым инерционным волнам. 691 44* Течение, обусловленное движением тела вдоль оси вращения Определение течения, обусловленного установившимся поступательным движением твердого тела параллельно оси вращения неограниченной жидкости, представляет собой трудную задачу, и до сих пор не имеется отчетливого представления о всех аспектах такого течения. Здесь мы ограничимся демонстрацией некоторых свойств этого течения в случае движения осеснмметричного тела. Число Россби <//ай, образованное по скорости тела и одному из его линейных размеров, очевидно, выражает относительную важность эффектов поступательного диня<ения тела и вращения жидкости.
В пределе при <//ай — со мы можем ожидать, что распределение (безразмерной) скорости стремится к тому, которое имеется при поступательном движении твердого тела в жидкости, покоящейся на бесконечности. В другом крайнем случае, при <//ай- О, вполне можно полагать, что силы инерции малы по сравнению с силами Кориолиса (это обычно бывает тогда, когда скорость жидкости относительно вращающихся осей координат Гл.
7, Вихрявое течеиие эффективно повязкой яижкоотя всюду мала по сравнению с величиной аьх); в этом случае мы можем сразу заключить, что в пределе дивергенция в поперечной плоскости должна быть всюду равна нулю. Как уже отмечалось в данном параграфе, зто приводит к требованию, чтобы осевая компонента и скорости не зависела от х; в свою очередь это возможно только тогда, когда вместе с телом переносится столб жидкости, покоящийся относительно тела и содержащийся внутри цилиндра, который имеет обрааующие, касающиеся тела и параллельные оси х.
Хотя возможность существования такого поля течения кажется весьма удивительной, наблюдение показывает, что в общем такая картина течения возникает. Однако остаются неясными подробности течения в цилиндрическом слое сдвига, а также вопрос о том, каким образом формируется этот столб;кндкости после начала движения тела. Прн малых, но ненулевых значениях числа Россбн У/аП движущийся столб жидкости, вероятно, видоизменяется, однако почти полное незнание его свойств затрудняет выяснение характера этих видоизменений. Наблюдения за течением прн движении шара радиуса а (Тейлор (1922)) ипри движении тела со сферической (радиуса а) носовой и конической кормовой частью (Лонг (1953)) показали, что если (//ай меньше 0,2 или 0,3, то столб жидкости действительно проталкивается движущимся телом.
Предлон'енный Тейлором эксперимент с шаром для демонстрации изменения поля течения при указанных значениях У/ай очень прост. К дну высокой банки с водой привязывается на нитке легкий шар (например, шарик для игры в настольный теннис), раскрашенный полосками, чтобы можно было наблюдать его вращение; банка с водой приводится в равномерное вращение относительно осн симметрии. Пока шарик не движется в осевом направлении. он, конечно, вращается вместе с окружающей жидкостью. Однако если оп освобождается и всплывает со скоростью Г/, такой, что число Россби У/аИ превышает 0,3, то, как обнаружил Тейлор, шарик уже не вращается вместе с жидкостью.
Прекращение вращения шарика следует ожидать в том случае, когда жидкость вынуждена непрерывно обтекать перемещающийся шарик; прн этом любая жидкая окру'кность вблизи его поверхности сначала имеет малый радиус и, следовательно, малую циркуляцию, так как на более ранней стадии движения все точки этой окружности располагались вблизи оси вращения; с приближением к поверхности шарика азимутальная скорость жидкости стремится к нулю. а наличие вязкости в реальной жидкости гарантирует, что в установившемся движении шарик также будет иметь нулевую скорость вращения.
Для некоторых малых значений У/ай Тейлор наблюдал, что поднимающийся шарик лродолзсает вращаться вместе с жидкостью, чего и следовало ожидать, если впереди поднимающегося шарика проталкивается столб (вращающейся) жидкости. 692 Гн. т. Вихревое течение эффективно невнзкоа жидкости г) Если нижняя граница слоя в точности горизонтальна, то скорость жидкости в слое должна быть горизонтальной в силу предположений б) и в). Мы допускаем некоторое влияние формы земной поверхности, но только вводим предполои«ение, что толщина атмосферы или глубиыа океана, скажем Н, медленно изменяется с изменением положения на поверхности, так что изменение Н на расстояниях порядка Н по горизонтали пренебрежимо мало.
Единственное проявление этого медленного ивменения толщины Н слоя состоит в наложении ненулевой дивергеиции в горизонтальной плоскости, когда жидкость движется по наклонному основанию. Рассматривая сохранение массы жидкого вертикального цилиндра малого поперечного сечения, мы найдем, что дивергенция в горизонтальной плоскости равна со знаком минус скорости растяжения цилиндра по вертикали и равна (7.7Л) И В« 1 др — 2()и гйп О = — — —, р дг' ( ) Юи « 1 др — ) — М с О=- — — —, И )З В рг де ' 1ви « 1 др ° Ш г« ~ — ) + 21«ие соз О = —— рг»1о8 де ' (7.7.2) (7.7.3) (7.7.4) Во всем остальном обсуждении вертикальной компоыентой скорости жидкости и изменением скорости в слое можно пренебрегать.
Этот вид приближения известен в теории поверхностных волн на тяжелой воде как приближение «мелкой воды» (с учетом изменений толщины Н в атом последнем случае как за счет формы дна, так и смещения свободной поверхности). Теперь выпишем уравнения движения слоя жидкости ыа вращающемся шаре, учитывая все введенные предположения. Ясно, что наиболее удобна сферическая система координат (г. О, гр), которая жестко связана с шаром;начало системы координат поместим в центр шара, внешнюю сферическую границу слоя зададим условием г = Н; положим О = О в направленви северного полюса (так что (я/2 — О) — обычный угол широты), а направление, в котором угол гр увеличивается при постоянных г и О, будет восточыым (см.
рис. 7.7.»). Соответствующими компонентами скорости будут (и„ ив, и ), а компонентами вектора угловой скорости Земли — (х«соз О, — 12 з1п О, 0). Уравнение движения однородной невязкой жидкости относительно вращающихся осей координат было дано выше в векторной форме (7.6.1), а соответствующая система скалярных уравнений в сферических координатах без учета радиальных компонент скорости и ускорения такова: 7.7.
Движение жидкости н тонном слое на нрашаницемси шаре Р и с. 7ЛХ. Геостроаичесние системы цинлонов в северном и юн;ном нолушарнлх, Завихренность относительно аемной поверхности имеет тот же знак, что и у = 2П соз Э. а давление в центре каждой системы низкое. 7 — северный полюс: в — силы кориалиса, действующие в нанравлении от центра области. Общие выражения для компонент ускорения через компоненты скорости (и„, иб, и ) приведены в приложении 2. В этих уравнениях, как и в (7.6.1), через р обозначено модифицированное давление, посредством которого могут быть учтены эффекты силы тяжести и центробежной силы, возникающей при вращении системы координат.
Из уравнения (7.7.2) следует, что вертикальный градиент модифицированного давления всюду уравновешивается вертикальной компонентой силы Кориолиса. Однако поскольку толщина слоя жидкости мала по сравнению с горизонтальным масштабом длины рассматриваемого течения, то полное изменение давления р в слое относительно невелико, и его, подобно компонентам скорости иб и ии, можно считать в уравнениях (7.7.3) и (7.7.4) постоянным в этом слое.
Более важное влияние вращения Земли состоит в образовании вклада в горизонтальную компоненту силы, действующей на частицу жидкости; этот вклад направлен по нормали к мгновенной скорости частицы, причем направление таково, что частица стремится двигаться вправо от мгновенного направления своего движения в северном полушарии (где соз 6 ) ~ О) и влево в южном полушарии (где соз 6 ~ О). В уравнениях (7.7.3) и (7.7.4) разумно считать г постоянным и равным 17. Тогда получаем основные уравнения движения в нашей модели атмосферы или океана: з ! (7.7.5) Пие ирис См Э 1 др И Я + 7ио = — . — (7.7 6) рва цЕ да ' 697 Гл. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
