Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 153
Текст из файла (страница 153)
Для таких волн в жидкости (покоящейся в их отсутствии) имеем функцию тока Ф вЂ” ехр (2 (Йх + (у — ах)), (7.7.22) где (Й, 1) — волновой вектор в плоскости (х, у), а — круговая частота. Соответствующая относительная завихренность равна <о = — тУвф = (Й*+ 12) ф (7,7.23) а = — ()Й/(Йв + 12). (7.7.25) Это соответствует существованию поперечных волн, для которых скорость жидкости всюду параллельна гребням волн, т, е. составляет прямой угол с волновым вектором (Й, 1). Фазовая скорость, с которой гребни перемещаются в направлении волнового вектора, равна о 62 (ав+М)ыз (22 1 0)322 (7.7 26) 708 и, таким обрааом, скорость изменения абсолютной завихренности элемента жидкости есть — -= — — — +(Йв+1) Ш =Гф( — ()Й вЂ” О'(Йв+Р)). (7.7.24) Отсюда видно, что уравнение для завихренности (7.7.8) будет удовлетворено, если 7.7. Даижение жидкости е тонком слое на иращающемся шаре Следует отметить, что волновое движение имеет установившийся характер в системе координат, перемещающейся со скоростью (и//с, 0), т.
е. движущейся в аападном направлении со скоростью р/(/са + (а), которая не зависит от направления волнового вектора. Кроме того, на жидкость можэт быть наложено любое количество синусоидальных волн с одинаковым волновым числом, равным (йе + (а)мз, поскольку уравнения (7.7.23) и (7.7.24) справедливы для системы таких волн, а отдельные вклады в правую часть уравнения (7.7.24) от различных волн обращаются в нуль, если а имеет величину (7.7.25). Следовательно, система наложенных синусоидальных волн с одним и тем же значением волнового числа формирует установившееся движение относительно системы координат, движущейся в западном направлении со скоростью р/(/са + (а).
Существуют и другие движения, обладающие этим свойством. Если ваять функцию тока в виде $ (х+ сс, у), то получим уравнение Р (/+ю) и дй дю дю дю д( — (Ь+ею) д (св, ф) Р~ И да+ дС да ду да д(И,У) оба члена в правой части этого уравнения обращаются в нуль, если ш — = — Чаф = й/с. (7.7.27) Рассмотрим решение этого уравнения тР = е"'э ( Аа./я ( —,з ) + ВаУа ( —,з ) ~, где Х„и у„— функции Бесселя первого и второго рода, га = = (х + с8)е + уа; это решение описывает некоторое центрированное течение, скорость которого на больших расстояниях от центра уменьшается как и е/а; решения подобного вида при различных значениях постоянных и, А„ и В„ могут быть наложены одно на другое; ненулевые значения постоянных В„ позволяют решать задачи с внутренней границей, внутри которой толщина слоя жидкости непостоянна.
Другим решением уравнения (7.7.27) будет ф=(у+я) ~Аз;н (*+'О() +В . (*а м)Р ) где а, А и  — постоянные; это решение в системе координат, движущейся со скоростью с в западном направлении, дает установившееся течение в области вниз по потоку от ступеньки вдоль меридиана на дне слоя жидкости. 709 Гд. 7. Вихревое течение эффективно невязкой жидкости Общее свойство всех этих точных решений состоит в том, что течение жидкости в восточном направлении со скоростью (/, на которое налагаются движения с характерным масштабом длины (т//())т/т, может находиться в установившемся состоянии; об атом свидетельствуют наблюдаемые отклонения восточного течения попеременно то в северном, то в южном направлениях.
Можно быть уверенным, что это свойство важно для геофизических приложений, особенно для течений в атмосфере. Как установили метеорологи, направление ветра на большой высоте над поверхностью Земли в средних широтах в основном восточное, а линии тока, опоясывающие зелтной шар, обнаруживают крупномасштабные почти стационарные периодические отклонения от этого направления. Эти наблюдаемые волны (или меандры) могут быть вызваны горными цепями, которые играют роль препятствий на пути ветра, подобно тому как ступенька на дне слоя жидкости служила причиной возникновения волн в области вниз по потоку т). Согласно данным нашего анализа, число волн при однократном обходе земного шара на широте 45' составляет около (рЛт/т/)т!в или (Л//У)нт, т.
е. приблиаительно 26/(т/)пз, где а/ выражено в м/сек. Поскольку средняя скорость восточного ветра заключена обычно в пределах от 10 до 30 м/сек, то согласно нашим расчетам число волн должно быть в пределах от 5 до 8; эти значения согласуются с наблюдаемой глобальной картиной ветра. Обсуждение крупномасштабных свойств движения в атмосфере и океане не может быть полным без учета влияния изменений плотности жидкости; однако эта задача не будет здесь обсуждаться. 7.8. Вихревая система крыла самолета Общие свойства пространственного обтекания тел при наличии подъемной силы Если в двумерном безвихревом течении, обусловленном поступательным движением тела в покоящейся жидкости, циркуляция вокруг тела отлична от нуля, то на тело действует поперечная сила ($ 6.4). Мы видели ($6.7), что если двумерный профиль— тонкое тело с закругленной передней частью и острой кормовой кромкой — находится в установившемся движении в жидкости под небольшим углом атаки, то влияние вязкости на возникающее течение при балыком числе Рейнольдса приводит к образованию циркуляции вокруг профиля; ее величина в точности равна тому значению, которое требуется, чтобы переместить кормовую критическую точку на острую кромку профиля и исключить отрыв пограничного слоя на верхней и нижней частях профиля (гнпотеза ') Нагревание иаи охзанжеяис воздуха при прохонжении им гранады мсныу сушей н морем также может прнводять к возяякновению крупномасштабных сткпоиеннй ветра от основного вОсточного направненнв.
710 7.8. Вихревая система крыла самолета Н. Е. Жуковского). Зто сочетание двух факторов — наличия поперечной силы, величину которой можно предсказать, и отсутствия отрыва пограничного слоя (что обеспечивает относительно небольшую силу сопротивления) — нашло многочисленные практические приложения в аэронавтике. Обсуждение в З 6.7 свойств профилей и соответствующих полей течений было ограничено двумерными аадачами. Теперь мы перейдем к более реалистическому случаю пространственных течений, возникающих при установившемся поступательном движении тела конечных размеров, на которое действует боковая, или подъемная, сила.
Удобно воспользоваться терминологией теории крыльев — тонких тел, специально сконструированных для получения большой подъемной силы при малой силе сопротивления (а определенном положении их относительно направления движения); однако многие идеи и рассуждения качественно применимы и к течениям, которые возникают при поступательном движении произвольного тела, имеющего не более чем одну плоскость симметрии в направлении движения. Напомним один результат иэ $6.4, состоящий в том, что если течение, вызванное установившимся поступательным движением трехмерного тела, всюду безвихревое, то равны нулю как сила сопротивления, так и поперечная сила, действующая на тело. Таким образом, в рассматриваемых адесь условиях существование завихренности в жидкости неизбежно.
Для хорошообтекаемого тела с острой кормовой кромкой и при безотрывном обтекании эавихренность, возникающая на поверхности тела, сносится вниз по потоку в тонком следе (или пелене), толщина которого определяется вязкостью жидкости. Поперек этой вихревой пелены давление иаменяется непрерывно, а поскольку постоянная Бернулли одна и та же во всей области безвихревого течения, то заключаем, что одинакова и величина скорости (относительно тела) в смежных точках по обе стороны от пелены. Таким образом, делаем вывод, что для двумерного течения вихревая пелена представляет собой тонкий след, содержащий завихренность обоих знаков, результирующее влияние которой на поле течения уменьшается с увеличением числа Рейнольдса, а толщина пелены стремится к нулю.
Для трехмерного же течения имеется возможность изменения направления вектора скорости в пелене, что свяаано с наличием в ней компоненты эавихренности, параллельной направленито потока. Следовательно, нам необходимо изучить связь между существованием компоненты завихренности в направлении потока на поверхности тока, простирающейся вниз по потоку от задней кромки трехмерного тела, и возникновением поперечной силы, действующей на это тело.
Зта связь очевидна из рассмотрений общей формы линий тока при установившемся обтекании плоского крыла с положительным 711 Гл. 7. Вихревое течение аффективно невяаиой жидкости Р и е. 7.8А. Воанилновенве аавихреняоети вина по потопу от врыла вследствие подеаоываниа жвдноети на концах врыла е нижней оторопи повышенного давлеяия на верхнюю. Завяхревноеть в опутвоы потопе имеет цирвуляцию яа участке ОА против часовой отрепан отяоеительно направленая течения, а иа учаетве О — по чаловой отрелве. углом атаки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
