Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 155
Текст из файла (страница 155)
У (7.8.5) Иногда оказывается полезным заменить переменную з на 0 следующим образом: з = — зсоэ0. На концах крыла 0 = 0 и 0 = и циркуляция К равна нулю, так что мы можем ее представить в виде ряда Фурье К (О) = У ~ Вп эш и9; «=1 более того, так как циркуляция симметрична относительно 0 = = п!2, то коэффициенты В„при четных и обращаются в нуль. Из (7.8.2) для 0 ( О, ( я находим П Г ~~~~~ пВп соз пВ Г7 ~~, пВп з!в пВ, (е,) = — — ~ ИВ= —— 4иа ~ соз 0 — соз 01 4а з1в Ва здесь была использована величина определенного интеграла, найденная в $6.9.
Коэффициенты В„можно теперь найти численным путем иэ (7.8.3), воспользовавшись стандартными приближенными методами. Соотношения (7.8.4) и (7.8.5) для компонент сил, действующих на крыло, становятся теперь такими: Ь = — рУззлВо 1 а Р~ э РУ 4 я а иВ (7.8.7) 718 7.8. Вихревая система крыла са»юлета Эти различные формы записи для Ь и В; приводят к интересному результату: для заданной полной подъемной силы крыла заданного размаха индуктивное сопротивление имеет мивималькую величину, если распределение циркуляции таково, что В„= 0 для я>1, т.
е. если ае ~ !/з К=(/В,з(пО=УВ, ~1 — — ) (7.8.8) что вполне соответствует выражению (7.8.1). Представленная сооткошевием (7.8.9) «зллиптическая нагрузка» крыла может быть реализована различными способами: посредством подходящих распределений по размаху крыла хорды профиля, его формы и угла атаки. Простой способ, имеющий еще то преимущество, что нагрузка остается эллиптической при изменении угла атаки, состоит в том, что величины а, а и р выбираются постоянными по всему размаху, а крыло берется зллиптической формы в плане, т. е. с:=се (1 — — „) (Очевидно, что обвод крыла может быть составлен из двух половин зллипсов с разными малыми осями.) В нашем случае эллиптического крыла из сравяевия (7.8.3) и (7.8.8) заключаем, что В =(ы+Р),"".)'/,', .
(7.8.10) Таким образом, «скос потока», обусловленный вихревой пеленой, создает для всего крыла аффективный угол атаки (относительно положения крыла с нулевой подъемной силой), величина которого в (1 + (асс/8г)) раз меньше его кажущегося значения; подъемная сила крыла также уменьшается во столько же раз относительно того значения, которое опа имела бы, если бы каждое сечевие крыла действовало как изолированный двумерный профиль.
Поскольку а 2я и поскольку необходимое условие справедливости нашего анализа есть се/а ((1, то указанный выше мноекитель, па который измепяется угол атаки вследствие скоса потока, будет мало отличаться от единицы. Это служит иллюстрацией того факта, что теория несущей линии существенно связана с малым возмущением картины течения ка крыле бесконечного 719 Соответствующая ивдуцированная скорость р равна постоянной величине — 7/В,/4« по всему размаху крыла, а индуктивное сопротивление равно 4 ~ зя ' Уе ' (7.8.9) Гл. 7. Вихревое течение аффективно невиакой жидкости размаха. Имеются также теории «несущей поверхности», в которых учитываются распределения вертикальной силы на крыле как по разьтаху, так и по хорде крыла '); при этом обычно используются идеи, изложенные в данном параграфе, и теория тонкого профиля нз $ 6,9.
В рассматриваемых здесь условиях можно развить процесс последовательных приближений для определения распределения силы, действующей на крыло большого относительного размаха; приведенная выше теория несущей линии представляет собой первое приближение в атом процессе (в качестве «нулевого» приближения служит теория двумерного обтекания крыла бесконечного размаха) '). В соответствии с процедурой последовательных приближений заметим, что поскольку член и (х)/1/ играет роль возмущающего в выражении (7.8.3), то его можно оценить с той точностью, которую дает теория несущей линии; для этого нужно использовать невозмущенное значение циркуляции К (е) в интервале (7.8.2). Иначе говоря, с приближением теории несущей линии согласуется аппроксимация решения уравнений (7.8.2) и (7.8.3) квадратурой К(3) = Ко(з) ~3 г ако(") ех' (7.8.11) где Ко(г) = ~ ас(/(а+()).
1 В случае эллиптического в плане крыла и при постоянных по размаху значениях а, а и р это эквивалентно заключению, что выражение (7.8 10) и связанные с ним соотношения справедливы только с точностью до первого порядка величины асс/8а Спутник еихрееая система далеко за крылам ') Относвтельпо «тих теорий можно прочитать в кинге: тэна!нм В. (е«.), 1псощрхе««1ме Аетоеупащ)с«, Ох!он) Юи)тощ!)у Ртеж, 1960 )а также: Белодерковсквй С. М„тонкая несущая поверхность в доавуковом потоке хааа, «Наука», М., 1960.— Р«ВЛ. «) См. Ван-Дайн М., Методы воамущеинй е механике жидкости, М., «Мнр», ! 96'1. 720 Проведенный выше анализ основан на предположении, что вблизи крыла, точнее на расстоянии порядка размаха, спутные вихри имеют прямолинейную форму и параллельны направлению полета крыла, т, е.
образуют плоскую вихревую пелену. В действительности ивдуцированная самими спутными вихрями скорость вызывает некоторое поперечное перемещение вихревых ливий. Отношение вертикальной компоненты индуцированной скорости к скорости набегающего потока, как видно из формул (7.8.2) и (7.8.4), должно быть порядка Ирх/969, или Сьс/6, где 7.8. Вихревая система крыла самолета Сь — козффициент подъемной силы крыла, определяемый как Ь (1/2) р(/в )С (Площадь крыла) ' Следовательно, если Сьс/в (< 1, то вихри будут распространяться вниз по потоку от концов крыла, оставаясь приближенно прямолинейными. Однако в момент времени 1, соответствующий расстоянию И вниз по потоку от крыла, индуцированное поле скорости должно передвинуть вихревые линии в поперечном направлении на расстояние иг; таким образом, первоначальная плоская вихревая пелена будет заметно искажена при значениях 1 порядка г/и, т.
е. на расстоянии порядка в(//)), или лв/сС, Когда первоначально плоская вихревая пелена за крылом большого относительного размаха начинает деформироваться под злияниеы индуцированного ею поля скорости, зто деформирование происходит весьма специфическим путем. Поскольку изменение формы вихревой пелены на расстоянии вниз по потоку, сравнимом с размахом крыла, невелико, то формы ее поперечных сечений на различных расстояниях с( вниз по потоку от крыла будут приближенно теми же самыми, что и в случае двумерного поля течения в различные интервалы времени 1 в поперечном сечении первоначально прямолинейной вихревой пелены, причем ге =- с/В (Влиянием присоединенной завихренности крыла мы пренебрегаем, так как она может оказывать воздействие на свободные вихри только вблизи крыла.) Эту двумерную задачу можно решить численно, если напряженность вихревой пелены задана как функция координаты вдоль размаха крыла.
На рис. 7.8.5 показаны результаты таких вычислений для вихревой пелены за крылом с зллнптнческим распределением циркуляции (7.8.8). Напряженность вихря (циркуляция) на единицу длины вихревой пелены равна (7.8Л2) бх (аа хе) Мв н отсюда видно, что она концентрируется вблизи двух ее концов. Для целей численного расчета непрерывное распределение напряженности было заменено точечными вихрями одинаковой напряженности, которые были подходящим образом размещены на прямой, представляющей вихревую пелену. Поскольку пелена плоская, у-компонента индуцированной скорости направлена вниз и постоянна по сечению пелены, как зто уже было отмечено для случая зллнптнческн нагруженного крыла 2).
Однако, как ') как было установлено ранее, нндудированная скорость долнгна быть постоянной вля крыла, имеющего полубесконечные присоединенные вихри; ясно, что ага скорость будет постоянна и для пелены вдели ст крыла (есля она еще сстаегся плесков), но ее величяна будет в два рава болыпе. 721 ав-свуз Гл. 7. Вихревое течение эффективно невязкой жидкости (о,и/5'=о 1 1 ! ! ! ! ! ! ! ) ). ' ( )1. ).)..1 4.,г Г т Т Г '! Т Т Т т ! !ДО)б! Г=-Ф=-Ф=.4==э=-З =-Р- З= Л= т-ч'Ч 1 ! ! ! ! ! ! ! ! 1 1 1 ! ! ! !ОР5(! 1 ! )вы д-два 4- вал †-два †к-х д Г -т — т — 'Г-.ч — ~'-~-"т-"т"-т- 1 !. — х — А — ь — л х †.!..!. — х — ь — 3 1 1 1 1 1ОР591 ' ' ФЦ 1-Д-а-Ь-1 в †.Ь вЂ” Л вЂ” Х-Жг) — .) — ) — 4 -1 ( з) ~" ! г-+-+-+-+ — +-+-+ — ь-+--( ! ' ! ! ! ! Р н с. 7ЯЛ.
Расчетные положеяия группы яз десяти одвиаковых точечных вихрей, расположенных пря 1= О вдоль прямой линии такам образом, чтобы прнблвженио представать позозину звхревой пелены еллаптачесиа вагружеавого нрыла (ем. (7.8.18)) штриховые лиана получены аналитическим путем для течеаия вблязи края вихревой пелены (помеченного точной>, где численное интегрирование етзиоватся яезозможннм (Вестуогер (1888)).
видно из (7.8.2) и (7.8.12), в концевых точках есть особенности, и поэтому в них вертикальная компонента индуцированной скорости изменяется скачкообразно до бесконечно большого положительного значения (которое при численных расчетах может быть воспроизведено, конечно, лишь приближенно). Оба конца вихревой пелены вследствие этого перемещаются вверх, н это новое распределение завихренности приводит к дальнейшей деформации пелены, которая свертывается около этих концов. Конец вихревой пелены продолжает оставаться особенностью и всегда перемещается под прямым углом к направлению местной касатель- 722 ь-+-+ — +-+-х-+ †+ †(--еич !Оно! 1 !И1 '-Ф-+-"-+-'--+-+-''УФ 1 1 1 1 ! 1~1 ьюй=й=.а~=йжй,~ чьжз Л-4 ! ! ! ! ! ! ! ! о ог о4 до о,б (о "г/л ! ! ! ! ! ! !-Ь вЂ” Т вЂ” Т- — -+-+-, Г -Т ~( г-+ †+ в-т-т-+-+ — +-+~~ ! ! =.ж;Л гд — ! — ы-з 1 ! ! ! ! ! ! Ь .1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
