Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 152
Текст из файла (страница 152)
7.7.2). Поток, приближающийся к хребту, имеет, по предположению, нулевую относительную завихренность и постоянную скорость с компонентами (У, У), а сила Кориолиса будет уравновешиваться постоянным градиентом давления. В точке над гребнем, где толщина слоя равна Н, относительная завихренность оа определяется равенством 7.7.
Движение жидкости в тонком слое иа вращающемся шаре Р но. 7.7Л. Отклоняющее действме горного хребта на однородный патом с компонентами скорости П и р откосатснвно вращающейся системы «оордпнат. à — горный хребет; ыоперечнае сечение хребта заштриховано. Компонента и скорости определяется из уравнения сохранения массы иН = ННо. Влияние воавышающегося хребта, таким образом, выражается в отклонении набегающего однородного потока в правую сторону (в северном полушарии) от направления движения. В области вниз по потоку от хребта компонента скорости вдоль оси х вновь становится равной ее невоамущенному значению, а компонента вдоль оси у принимает постоянное значение У вЂ” (~оА/Но), где А= ~ (Но — Н)Ых ° е — площадь поперечного сечения хребта.
Следовательно, тангенс реаультирующего угла отклонения потока по часовой стрелке равен с7 НоЯло) Ух+ Ух — У(1ол!Но) Для хребта средней высоты 2 км и ширины 50 км при Но = 10 км мы имеем 1А!Но — 1 и!сев, т. е. отклоняющее влияние даже такого большого хребта можно считать несущественным при рассмотрении атмосферных движений, однако для океанических течений, где скорости намного меньше атмосферных, оно будет значительным. 703 Гл.
7. Вихревое течение эффективно иевяэкой жидкости Влияние на поток возвышения (изолированного горного образования), имеющего конечную площадь в горизонтальной плоскости, можно учесть, рассматривая его как область с отрицательной завихренностью (в северном полушарии); величина завихренности со в любой точке этой области определяется в случае однородного набегающего потока соотношением (7.7.15). (Следует заметить, что число Россби течения не должно быть слишком малым, поскольку тогда поток будет просто обтекать «столб Тейлораэ над горой!) Дополнительное течение, обусловленное наличием этой горы, представляет собой установившееся циркуляционное движение по часовой стрелке; циркуляция по любому замкнутому контуру, охватывающему гору, равна Ю Ц соНхду=- Йа ~~ (Н вЂ” На) Входу; (7.7.17) О Ю последний интеграл — это объем горы, возвышающейся над основанием, над которым течет слои жидкости толщиной Но.
Влияние горы на скорость воадуха или воды едва ли можно обнаружить на практике, однако сила Кориолиса, связанная с указанным антицнклоннческнм циркуляционным движением, выаывает повышение давления над горой (как в северном, так и в южном полушариях); в атмосферных течениях этот эффект иногда наблюдается. Предположим теперь, что горизонтальная протяженность х рассматриваемого поля течения такова, что отношение со/х сравнимо по величине с НН, хотя х. все еще много меньше Л. Как было выяснено ранее, по-прежнему можно считать, что жидкость движется в плоском слое, и использовать для описания движения прямоугольные координаты (х, у) и соответствующие вм компоненты скорости (и, и). Однако мы теперь должны предусмотреть изменение параметра Кориолиса в зависимости от широты; для этого мы можем воспользоваться приближенным линейным соотношением (7.7.И), направив ось у на север.
Одновременный учет влияния топографии основания н переменности параметра Корно- лиса усложняет нашу задачу, однако мы можем выявить основные новые черты явления, перейдя к обсуждению упрощенного течения над длинным горным хребтом. Здесь снова удобно рассматривать набегающий поток с постоянной скоростью, скажем Но, и зто вынуждает нас выбрать направление движения вдоль широты. т. е. параллельным оси л. Относительная завнхренность оа элемента жидкости в точке (х, у) над хребтом, где толщина слоя равна Н, определяется из уравнения та+ рр+ м та+ рва (7.7ЛЗ) Н На где уа — значение координаты у того же элемента жидкости при достижении им хребта. 704 7.7. Двкжевве жндкостн в тонком слов на вращающемся пире Р н о.
7л.з, панна тока нра остенвннв отувеньнв, нанравленноа с севера ва юг, одно- роднмм аанаднмм ветром (и, сдингк Теперь скорость уже не будет одинаковой во всех точках прямой, параллельной хребту, и нам придется рассматривать все поле течения. Чтобы получить упрощенное представление о поле такого течения, рассмотрим «хребет» в форме ступеньки или скачкообразное изменение толщины слоя Н от значения Но до Не вдоль лгеридиана х = 0 (рис.
7.7.3). На этой ступеньке компоненты скорости изменяются разрывно от (Уо, 0) до (У„О), где Уе = = егсНогНо а относительная завихренность изменяется от 0 до (А -Ы В области х ) 0 толщина слоя постоянна, так что дв до — + — =О, дх дд и мы можем ввести функцию тока ер. Течение в этой области установившееся, и, следовательно, величина (7'+ ю) зависит только от функции тока ф Но при х = 0 (двигаясь из области х ) 0) мы имеем ер = У,р и Н Не у б )+в= — (7о+ В) = — ~Ь+ — ф), и Но причем это соотношение между (7' + ю) и ер должно выполняться во всей области х ) О.
Следовательно, в этой области — ~)о+ — ер) — = 1о и + (ту Р ф' (7'7'202 Н,— Н, а Н, ( и, ) — Н, где р' = (2Не/02Но. 45-се 72 705 Га. 7. Внхрееое течение эффективно неииакой жидкости Наш выбор упрощающих предположений привел к линейному уравненвю для ф Одно из решений, которое содержит линейную зависимость ф от у, требуемую условиями при х = О, имеет вид ф=(у+а) р(х)+ ~/о о '+()у~~ра, где а — постоянная, а и'(х) удовлетворяет уравнению —,, +рар=О.
ораГ (7.7.20) Чтобы получить заданные компоненты скорости и функцию тока при л = О, нужно положить Р(о)+ 6/р = ~т„Р(о) =о и а =/оФ. Полное решение для ф теперь можно выписать в явном виде: На рис. 7.7.3 показаны линии тока для случая Н, = 0,91Н, и У, ) О. Различные линии тока отличаются по форме только за счет изменения масштаба в направлении у вследствие различия значений параметра Кориолиса на разных линиях тока. Если ( фу//о ~ (( 1 и рй (( 1, то решение (7.7.21) дает компоненты скорости, найденные вьппе (см.
(7.7.16)) для потока через хребет при постоянном параметре /. Новая особенность решения (7.7.21) состоит в его периодичности по х при действительных значениях р, т. е. при У„) О. Влияние топографии дна в етом простом примере заключается лишь в образовании ненулевой относительной завихренности при х = 0 и, следовательно, в отклонении потока в южном направлении; волновой характер линий тока в области вниз по потоку от ступеньки обусловлен непостоянством параметра Кориолиса. Как длина волны в направлении оси х, так и отклонение линии тока по оси у не являются малыми величинами. Длина волны равна что составляет около 1 600 км на широте 45' при Уо = 1 и/сек и Но — Но (( Н,.
Отклонение в южном направлении линии тока, проходящей через начало координат, составляет 2/о Но — Нь О Но — Н1т — — — = 2Н сала 8о (, Р 2Н,— И, (зн,— И, /' Для линии тока, начинающейся на широте 45', зто расстояние соответствует диапазону широт 2(Но — Н,)/(2Но — Н,) радиан (и при Но = 0,91 Но оно равно 1050 км или 9,5' широты). 706 7.7. Деижеиие жидкости в топком слов ка вращающемся шаре Можно также определить функцию тока течения в области вниз по потоку, возникающего в том случае, когда на пути потока в восточном направлении есть вторая ступенька вдоль меридиана, понижающая основание до уровня, соответствующего первоначальной толщине слоя жидкости Не.
Это поле течения зависит от скорости, с которой жидкость подходит ко второи ступеньке, и, таким образом, аависит от расстояния между ступеньками. Для потока, подходящего к ступеньке в западном направлении, скорости Уе и У, отрицательны и р' ( О (это справедливо в обоих полушариях). Согласно полученному выше решению, координата у вдоль линии тока в области х ( О зависит теперь от х по экспоненциальному закону.
Ниже мы обсудим физическую причину этого коренного отличия между влиянием ступенек на течения в восточном и аападном направлениях. Планетарные волны Рассмотренное вьппе «течение в р-ялоскости» обладает интересными волновыми свойствами, которые мы сейчас изучим более внимательно. Существование волн свяаано с непостоянством параметра Кориолиса, поэтому не составляет особого труда выяснить общий механизм их возникновения. Когда элемент жидкостидвижется под некоторым углом к параллели, т, е. направление его движения образует некоторый угол с осью х на диаграмме, подобной рис.
7.7.3, величина параметра Кориолиса 7' непрерывно изменяется в зависимости от координаты элемента жидкости. Если скорость элемента жидкости имеет компоненту в северном направлении, то параметр 7 увеличивается и величина силы Кориолиса, действующей на элемент, возрастает. Следовательно, траектория элемента жидкости повернется вправо относительно направления его движения. Если первоначальное направление движения элемента жидкости соответствует северо-восточному квадранту, то указанный поворот траектории постепенно изменит направление движения и оно будет соответствовать юго-восточному квадранту; в результате элемент жидкости будет находиться под действием уменьшающихся значений параметра 7' и его направление движения будет изменяться в противоположную сторону — траектория повернется налево.
Таким образом, если направленное на восток течение по какой-либо причине изменило направление, то на него будет действовать сила, стремящаяся восстановить первоначальное направление движения. Этот восстанавливающий эффект был только что обнаружен при решении задачи о восточном течении, пересекающем ступеньку, которая тянется с севера на юг, хотя решение было основано на анализе завихренности, а не количества движения жидкости н сил, действующих на нее. Существование в р-плоскости восстанавли- 707 Гя. 7. Вихревое течение эффективно вевявкой жидкости вающей силы, которая обеспечивает колебания восточного течения при обтекании фиксированного препятствия, впервые было отмечено Россби (1939) и поэтому соответствующее волновое движение обычно называют волнами Росеби. Было установлено также существование подобных волновых двжкений в слое жидкости на вращающемся шаре (Хаурвиц (1940); Лонге-Хиггинс (1964, 1965)), и для названия этих волн используется более общий термин— планетарные волны.
Если теперь рассмотреть течение в западном направлении относительно неподвижного препятствия на земной поверхности, то окажется, что отклоняющее воздействие непостоянного параметра Кориолиса уже не будет восстанавливать первоначальное движение жидкости. Простое решение задачи о ступеньке в направлении с севера на юг на пути западного течения обнаруживает зкспоненциальный рост отклонения течения от западного направления, однако можно покааать, что наличие ступеньки в данном случае оказывает влияние на течение вверх по потоку, вследствие чего нарушается предположение о постоянстве скорости течения при подходе к ступеньке. Существование синусоидальных волн с прямолинейными гребнями в плоском слое жидкости постоянной толщины при линейном изменении параметра Г"можно продемонстрировать непосредственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
