Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 147
Текст из файла (страница 147)
Из вида соотношения (7.5.25) можно также заметить, что, каково бы нн было фиксированное значение йа, невозможно найти вначение /хЬ, удовлетворяющее соотношению (7.5.25), если величина (/э/У, взята меньше некоторого критического (минимального) значения. На рис. 7.5.6 схематически показано изменение в соответствии с (7.5.25) величины /хЬ в зависимости от х/,/Уэ ()1) при различных постоянных значе- 678 7.5.
Устацовцвшееся осеснмметрнчное течение с аакруткой дзз 0 !,0 Ц/гт Р и е. Ъ»Я. Схематкчеензя зависимо«та радиуеа вихря Ь от воевод скорости У, (< У,ъ Различнме кривив относятся к различным значениям величинм аа; етрелии указйвают направление изменения параметров от течения, еоогветотвующего цилиндричеекаму вихрю Радиуса а е вращением ипщиоети как твердого тела. киях /еа в интервале между О и 3,83. Для значений /га, правы шающих 3,83, получается подобное семейство кривых, сходящихся в точке /«Ь, в которой Хо (ЬЬ) = О. Возрастание толщины вихря, которым сопровождается замедление внешнего потока (когда йа лежит между нулем и 2,40), очевидно, станет чрезвычайно большим при критическом (минимальном) значении «/х/УР Известно замечательное явление, называемое «разрушением вихря» или «взрывом вихря», которое на первый взгляд похоже на проявление этого быстрого увеличения диаметра вихря при уменьшении внешней осевой скорости до некоторого значения.
Наблюдения за полоской краски внутри интенсивного установившегося вихря показывают, что при определенных условиях (которые еще не достаточно выяснены, но, по-видимому, включают замедление внешнего потока) вихрь может внезапно увеличиться или «взорваться», порождая беспорядочное движение совсем другого вида. На фото 7.5.7 показаны два таких «взрывающихся» вихря в воде; вихри представляют собой часть спутной системы вихрей треугольного крыла, слегка наклоненного к набегающему потоку.
Более подходящее объяснение разрушения вихря (Бенджамен (1962)) связано с расс»ютрением скачкообразного перехода от одного цилиндрического течения к другому, которое может существовать при той же самой внешней осевой скорости (возможность существования двух цилиндрических течений при заданных аначениях Йа и «/х/«/, очевидна из графиков рис. 7.5.6); внезапный переход подобного рода аналогичен известному гидравлическому прыжку в потоке воды в открытом канале; согласно этой теории, разрушение вихря наступает до того момента, когда «/«станет близкой к критическому значению.
679 Рв. 7. Вихревое течение вффектнвно нгвнвкой жкцкоетк 7.6. Жидкие системы, вращающиеся как целое Как упоминалось в предыдущем параграфе, вращающаяся установившимся образом жидкость способна поддерживать осесимметричное волновое движение, распространяющееся вдоль оси вращенця. Сейчас мы расс»ютрнм в явном виде свойство «упругости» жидкости, которое приобретается ею под действием вращения и которое обусловливает восстанавливающий механизм, необходимый для распространения волн.
Эта эффективная упругость жидкости существует при различных распределениях завихренности в ней, однако мы ограничимся здесь обсуждением частного случая, когда жидкость либо первоначально, либо в некотором среднеы смысле стационарно вращается как твердое тело. Течения таких вращаюпп«хся жидкостей обладают многочисленнымк интересными свойствами, изучению которых до сих пор уделяется много внимания х).
Восстанаеливасощес действие сил Кориолиса Если движение отнесено к осям координат, стационарно вращающимся вместе с жидкостью, то необходимо учесть действие на жидкость сил Кориолиса и центробежных сил инерции (3.2.10). Центробежную силу на единицу массы можно записать как (1/2) Ч (1« Х х)' и считать ее эффект эквивалентным дополнительному давлению (для жидкости постоянной плотности). В отличие от центробежной силы сила Кориолиса создает эффекты нового типа, к числу которых относится «упругость» жядкости. Обозначим через р модифицированное давление, которое содержит как центробежные силы, так и силы тяжести, а через и — скорость относительно осей координат, вращающихся с угловой скоростью 1«, и запишем уравнение движения — + и Чп +20 х и= — — ~7р. дк С дг Р Сила Кориолиса направлена перпендикулярно оси вращения н вектору скорости; она изменяет направление движения частиц жидкости, не совершая работы. Важна только компонента вектора скорости и в плоскости„ нормальной вектору Й (эту плоскость мы будем называть поперечнон плоскостью), поскольку сила Кориолиса стремится изменить направление только этой компоненты.
Направление этого изменения противоположно вращению подвижной системы координат (рис. 7.6.1); так, например, если основное вращение в поперечной плоскости направлено против Ч Пецребнее егнеснгеньне этого непреве ем. Огеепэреп Н. Р., тве тьеегх ег Кегее!п« Юпмэ, С Ыыве ПпСгавах Ргеее. С»бв'. 680 7.6.
Жпдкнв системы, вращающиеся как целое Р не. >.6.1. К вопросу о лаправленнн силы Кориолиеа, Кействующей во вращающейся системе отсчета. Плоскость (р, т> нормальна к осн вращения. 1 — направление вращения системы ноорвянат; Л вЂ” компонента скорости в в плескеспт (у, т>; е — сила кориолнса. часовой стрелки, то сила Кориолиса стремится повернуть направление движения частицы во вращающейся системе отсчета по часовой стрелке.
Кроме того, сила Кориолиса линейно зависит от скорости и стремится изменить яаправление компоненты скорости и в поперечной плоскости в одинаковой мере при любых аначепиях этой компоненты я при любых ее направлениях. Таким образом, если движение частицы определяется в основном силой Кориолиса, то она будет двигаться по траектории, проекция которой на поперечную плоскость будет окружностью; время обхода этой окружности имеет порядок й т.
Сила Кориолиса, очевидно, стремится вернуть частицу в ее первоначальное положение в поперечной плоскости. Заметим, что при рассмотрении силы Кориолиса положение оси вращения существенного значения не имеет. Поскольку при двия(енин частиц жидкости характерно их сильное взаимодействие посредством градиентов давления, желательно рассмотреть также общее воздействие сил Кориолиса на совокупность жидких частиц. Предположим, что во вращающихся осях координат существует движение, которое приводит к ненулевому и положительному значению дивергенции в некоторой области жидкости в поперечной плоскости, т. е.
к положительному значению величины ду дш ду ' дл (в системе координат, показанной на рис. 7.6.1). Тогда площадь проекции на поперечную плоскость замкнутой жидкой линии в этой области жидкости будет увеличиваться. Влияние силы Кориолиса, связанной с атим общим расходящимся движением, приводит к возникновению касательного движения жидкой линии, которое дает оп>рычал>еловый вклад в циркуляцию вокруг нее.
Это изменение циркуляции во вращающихся осях координат представляет собой просто изменение, требуемое для поддержания Гв. 7. Вихревое течение эффективно певпвкоя жипкоетв постоянной циркуляции в абсолютной системе координат из-за наличия двия;ения, приводящего к увеличению упомянутой выше площади проекции в поперечной плоскости. Далее, возникающее новое касательное движение жидкой линии приводит к появлению силы Кориолиса, действующей в направлении по нормали к этой линии; поскольку же новое касательное движение создает отрицательный результирующий вклад в циркуляцию, возникающая при этом сила Кориолиса направлена в основном внутрь рассматриваемой области жидкости и, таким образом, стремится уменыиить площадь, охватываемую проекцией материальной кривой на поперечную плоскость.
Иначе говоря, в тех местах жидкости, где величина дивергенции скорости ди/ду + дв/дх положительна, влияние сил Кориолнса сводится к появлению отрицательного значения этой величины, и обратно. Итак, результирующий эффект сил Кориолиса состоит в создании сопротивления смещениям элементов жидкости, совместное действие которых приводит к изменению площади, охватываемой проекцией жидкой линии на поперечную плоскость, т. е.
к ненулевому расхождению (дивергенции) в поперечной плоскостя. Величина восстанавливазощего эффекта сил Кориолиса при смещении частиц жидкости, очевидно, зависит от относительных величин сил Кориолиса и других сил, действующих на жидкость; в рассматриваемом нами случае этими другими силами будут силы инерции. Обозначим через (/ характерную величину скорости (относительно вращающихся осей координат), а через Ь вЂ” характерный линейный размер, на протяжении которого скорость и заметно изменяется; тогда отношение величин членов и ~ и и 2й х и в (7.6,1) имеет порядок (//И2. Величина этого отношения, которое известно как число Россби и названо так по имени иавестного шведского метеоролога, удобна для определения относительного влияния сил Кориолиса. Если (//Ьй )) 1, то силы Кориолиса оказывают незначительное влияние на картину течения; однако при условии (//Ьй (< 1 определяющим фактором, вероятно, будет стремление сил Кориолиса препятствовать любому расхождению в поперечной плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
