Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 143

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 143)

Другое простое решение, имеющее и практическое значение, получается в случае, когда завихренность во всей жидкости считается постоянной и равной, скал(ем, шо. Уравнение для э() + = шо дазр дззр длх дрв (7.4.5) — зто уравнение Пуассона с постоянной правой частью, которое уже встречалось в $4.1 при совсем других обстоятельствах. (Это уравнение справедливо и для установившегося, и для неустановившегося течения, когда ш постоянна, хотя граничные условия в обоих случаях не будут одинаковыми.) Уравнение (7.4.3) при ш = сопз$ можно проинтегрировать и в результате получить Н = сопзс — шеф, ° ) Может случаться, что этот вид распределения завяхреиности будет удовлетворять танже и полному уравнению заввхренншям для вязкой жндностя, которое для двумер- ного течения записмваегся следующим образом: В случае любого такого распределения эавяхрениссти, при нсторсм завихревность постоянна вдоль линий тока, второй член в левой часты уравнения обращается в нуль, а для чаогясго распределения (7.4.4) остается дю — = — автю, т.

е. ю — ехр( — азт(). д( талям обрааоы, решеыие для ч как еуннпяя ог я к н, получаемое ив (7.4.4), соответствует либо установязшеиуся движению невявкой жюшости. либо, будучн умноженным на ехр (-а'т!),— аатухаяяяему движеиию вязкой жидкости. 659 42' же распределение завихренности определяется историей формирования установившегося течения, которая в свою очередь в значительной степени аависит от влияния вязкости. Обычно нет воаможностн подробно проанализировать процесс формирования установившегося течения, и поэтому функцию / удается определить только в простых случаях.

Возможные решения уравнений движения невязкой жидкости можно исследовать путем задания того или иного вида функции 7' в уравнении (7.4.1). Удобно, например, взять ~ (ф) ф, что приводит к линейному уравнению 4) — ш= — + — = — а э() дЧ дэзр в длэ дрз 1 (7.4.4) Ги. 7. Вихревое теееиие еффектиекс иееязкей жидкости или, обозначая через р модифицированное давление, учитывающее влияние силы тяжести, найти — = сипае — — д — аф.

Р е Р 2 (7.4.6) В остальной части данного параграфа мы обсудим три различных частных случая этого однородного распределения эавихренности. Постоянная вавихренность в области, озраниченной снаружи Нет необходимости подробно обсуждать решение задачи о течении подобного вида, однако заслуживает внимания тот факт, что на практике могут встретиться по крайней мере два пути возникновения установившихся теченнй с постоянной эавихренностью в области, ограниченной извне. Первый и наиболее очевидный путь свяэан с начальным вращением жидкости как целого.

Пусть жидкость заключена в твердый цилющр, который вращается с постоянной скоростью относительно некоторой оси, параллельной его образующим; под действием вяэкости жидкость в конечном счете будет находиться в состоянии покоя относительно твердой границы и будет иметь, следовательно, постоянную завихренность Если теперь вращение цилиндра внезапно прекращается, то жидкость в цилиндре будет продолжать движение с постоянной завихренностью, за исключением тонкого слоя вблизи границы (предполагается, что отрыва течения нет), где сильно сказывается влияние вязкой диффузии завихренности от стенки.

Толщина этого пограничного слоя увелнчивается до тех пор, пока вся жидкость не придет в состояние покоя; однако при подходящих больших числах Рейнольдса течения существует период времени, когда толщина пограничного слоя пренебрежнмо мала. В течение этого промежутка времени движение всей массы жидкости описывается уравнением (7.4.5) с постоянным значением ф на стационарной границе жидкости. Другой путь возникновения областей постоянной завихренности в установившемся двумерном течении также свяэан с действием вязкости в начальный период движения.

Предположим, что в стационарном состоянии существует семейство эамкнутых линий тока, не охватывающих внутренней границы, и влияние вязких напряжений для этих линий тока всюду мало (т. е. среди этих линий тока нн одна не проходит через слой жидкости, в котором силы вязкости и инерции сравнимы). Вдоль каждой иэ этих линий тока эавихреппость будет приближенно постоянной. Далее, точниле уравнением, описывающим завихренность в этом случае двумерного движения, будет уравнение п.~ув = т'рею, 7.4. Установившееся двумерное вихревое двнженпе жидкости представляющее собой обычное уравнение диффузии в движущейся среде; отсюда следует, что если завихренность имеет различные значения на разных линиях тока, то должен существовать поток завихренности поперек линий тока, направленный либо внутрь, либо наружу во всех точках какой-либо из рассматриваемых замкнутых линий тока.

Поскольку источников и стоков аавихренвоств в центре семейства замкнутых линий тока не имеется, единственным возможным стационарным состоянием будет состояние с постоянной завихренностью (для установления такого состояния потребуется длительное время ввиду предположения о малом влиянии сил вязкости). Доказательство этого факта может быть проведено в строгой аналитической форме (Бэтчелор (1956)); было установлено, что этот реаультат справедлив также и в том случае, когда замкнутые линии тока охватывают внутреннюю границу 2). В общем, какой бы ни была причина возникновения постоязнов завихренности, определение функции тока по уравнению (7.4.5) при заданном шо окааывается чисто математической задачей. Решения этого уравнения, упомянутые в $4.2, могут быть использованы и здесь при соответствующей их интерпретации.

Напрнэ)ер, для установившегося течения с постоянной завихренностыо о)с в области, ограниченной снаружи эллипсом с полуосями а и Ь, мы имеем (7.4.7) Это решение справедливо во всей области, за исключением окрестности границы, где могут окаааться существенными силы вязкости; интересная особенность движения состоит в том, что частицы жидкости движутся по подобным эллипсам и за равное время пробегают орбиты одинаковое число раз при постоянном моменте количества движения каждой частицы относительно центра.

Жидкость, вращающаяся на бесконечности как твердое тело Если жидкость, простирающаяся до бесконечности, первоначально находится в состоянии вращения с угловой скоростью ше/2, то любое двумерное дввжение, вызываемое в этой жидкости, имеет постоянную завихренность шо в предположении, что выполняются условия теоремы Кельввна о циркуляции, Мы ограничим- ') Анас»кэчьый реэультат имеется и для устаноэиэжегося ос»свмме»рвчного течсняя с самину»ыми линиями тона в осевой плсснссп». Найдено, что прн определенных условиях эаэихревность а облас»и течения вряблвжевво веэяэной жиднсств прэдстаэляет собой аэимутальвмй эеитор, величава которого пропорциональна расстояние от сои симметрии (нак с случае сйернчесвого вихря Хилла, см.

Гдз.ш)). Реэультатм для плоского и осеснммегричного течеивй можно объедввить э виде утэержденвя, ч»о э областя установившегося течем»я преблаженно веэяэкой жадности с эамннг»мми линиямн тона доляжо быть И О. 661 Гя. 7. Вихревое течеиве аффективно кевяакой жидкости ся рассмотрением установившегося движения подобного вида при наличии стационарной внутренней твердой границы.

В этом случае движение полезно представить как суперпозицию трех видов движения: а) вращения жидкости как твердого тела с угловой скоростью оае/2 относительно начала системы коордннат; б) однородного течения со скоростью — 4) (знак минус введен для согласования с рассмотренным ранее безвихревым течением, обусловленным движением тела со скоростью т) в покоящейся на бесконечности жидкости; скорость этого течения зависит от расстояния между началом координат и центром вращения); в) возмущения (не обязательно малой амплитуды), вызванного наличием границы и являющегося безвихревым с потенциалом скорости ~р.

Таким образом, в полярных координатах (г, О) при О = О в направлении скорости т) мы получаем радиальную и окружную компоненты скорости соответственно — У соз О+ — —, оа г+ У з(в О+ — —, (7.4.8) д~р 1 . 1 де г 2 Е г д0' где У вЂ” величина вектора т). Скорость возмущения на бесконечности ~Щ равна нулю, а условия нулевого потока жидкости через кал'дый участок внутренней твердой границы требуют, чтобы нормальная компонента скорости %чу принимала заданное значение (которое аависит от формы границы, а также от ме и Щ; таким образом, если еще задано аначение циклической постоянной для безвихревого движения, то возмущенное движение единственно и для его определения применимы стандартные методы теории безвихрезого течения. На простом примере, в котором внутренняя граница жидкости имеет вид окружности радиуса а, можно проиллюстрировать, каким образом изменнется поле течения под действием заданной эазихренности жидкости.

Характеристики

Список файлов книги