Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 146
Текст из файла (страница 146)
По-видимому, наиболее простым примером может служить распространяющаяся вихревая нить (3 4.5); структура такого вихря полностью определяется вязкой диффузией завихренности от оси вихря. Другой пример вихря со структурой был рассмотрен в конце з 5.2; там завихренность была всюду параллельной оси вихря, а течение было установившимся в результате баланса между радиальной конвекцией завихренности, направленной внутрь вихря, и распространениеьз завихренности наружу за счет вязкой диффузии.
В рассматриваемых здесь течениях 'кидкости с пренебрежимо малой вязкостью вихревые линии движутся вместе с жидкостью и мы будем предполагать движение установившимся. Кроме того, мы будем пренебрегать влиянием кривизны оси вихря. В случае строго цилиндрического вихря внутри неге возможны любые распределения и и ш по а. Интересно рассмотреть такие распределения скорости в вихре, которые типичны для практических условий; с этой целью мы можем исследовать те изменения в структуре вихря, которые происходят, когда жидкость, содержащая вихрь, проходит через область нецилиндрического течения.
Для этого удобно взять вихрь, цилиндрический на некотором участке своей длины с простым распределением величин Н и С по ф, и рассмотреть свойства этого вихря в некотороьь другом сечении, где течение снова становится цилиндрическим. Для начального цилиндрического участка с математической точки зрения удобно выбрать внутри вихря однородное распределение компоненты и и осевой компоненты завихренности; по-видимому, этот выбор также вполне подходит для любых значений вихрей, которые на некотором этапе развития подвержены сглаживающим эффектам вязкости. Таким обрааом, вихрь на некотором участке его длины определяется распределением скорости и= У,, и=0, ш ь)а для о~<а при выполнении условий и=ум о=0, ш=йаз/а для о- а 675 43з Гл.
7. Вихревое тече~не аффективно невяаиой жидкости 0 1 з Л 4 Р в с. 7.5.5. Свойства вихрей при увеличении или уменьшении осевой скорости. по оси аоиисс отложены аначения велнчнны ав. в безвихревом потоке, окружающем этот участок вихря. Теперь предположим, что на некотором другом участке того же вихря далеко вниз по потоку безвихревое течение вне его не зависит от х и имеет распределение скорости и = 1/г> и — — О, ю = Яаг/о.
По предположению вихрь снова будет цилиндрическим (хотя и не исключена возгтоясность волнообразного движения) с другим радиусом Ь и распределением скорости, определяемым подходящим решением уравнения (7.5.17). Поскольку все компоненты скорости остаются непрерывными на границе вихря, в качестве граничных условий для решения уравнения (7.5.17) имеем 1 и = Уг при о = Ь, где тр = —,Уса~, и еще неявное граничное условие, состоящее в том, что и не имеет особенности при о = О, так что в общем решении (7.5.18) следует сохранить только член АХ, (йо). Таким образом, искомое решение идентично уже найденному для течения в цилиндрической области вниз по потоку в трубе радиуса Ь, где д определяется из соотношения (см. (7.5.22)) ~Ь~ 1+ (ег 1) (1/2)йЫоЯЬ) (7,5.25) П, 1 за ) .у(гЬ> здесь й = 2Я/е/т.
Когда радиус вихря известен, распределение скорости в вихре определяется соотношениями (7.5.22) и (7.5.23), в которых 1/ следует заменить на 1/т. 676 7.5. Устеноеиешеесн осесимметричное течение с еенрутной В случае вихря бесконечно малого поперечного сечения (а- 0) из (7.5.25) видно, что Ь также мало и что Это значение для Ыа в точности то же, что требуется для выполнения уравнения сохранения массы в течении, в котором осевая скорость всей жидкости в вихре изменяется от с/, до с/т (как это было бы,в отсутствие закрученного движения). Величину Ье/а удобно использовать в качестве стандартной для сравнения со значениями Ыа из (7.5.25), которые определяются с учетом влияния закрученности течения.
На рис. 7.5.5 показаны значения ЫЬе (отношение Ыа к Ье/а), вычисленные по (7.5.25) при различных значениях /са и при различных отношениях внешних осевых скоростен, равных 2 и 1/2. Чтобы показать соответствующие изменения в распределении осевой скорости (а следовательно, и азимутальной, так как обе они определяются через ф) поперек вихря, было вычислено с испольаованием (7.5.24) и (7.5.25) отношение осевой скорости в центре вихря к скорости на границе: графики этой зависимости показаны на рис. 7.5.5. Известно, что значения Ьа порядка единицы достигаются в случае вихрей, сбегающих с боковой кромки крыла самолета ($ 7.8); по-видимому, когда осевая скорость в безвихревом потоке, окружающем такой вихрь, заметно изменяется, должны происходить значительные измеяения в структуре вихря„особенно если внешний поток замедляется.
Развитие быстрого изменения осевой скорости поперек вихря, вероятно, должно быть характерной чертой вихрей, проходящях через область неоднородного безвихревого течения при значениях /са = 2йа/с/1 порядка единицы. Общий характер поведения кривых на рис. 7.5.5 можно выяснить качественно, воспользовавшись выражением (7.5.12) для радиального градиента давления. В области вниз по потоку в интервале Ь е и ~ оо циркуляция С постоянна, а при уменьшении а от Ь до нуля она уменьшается до нулевого значения.
Вследствие этого разность между давлением в вихре, скажем на его оси, и давлением вдали от вихря в плоскости, нормальной к его оси, сильно зависит от величины Ь; увеличение Ь соответствует уменьшению атой разности давлений, и обратно. Таяны образом, когда жидкость вне вихря замедляется, а радиус вихря увеличивается с увеличением расстояния в направлении течения, должен существовать дополнительный осевой градиент давления е>сутри вихря, который должен быть положительным и, следовательно, приводить к уменьшенвю скорости на оси и к дальнейшему утолщению вихря.
Итак, ускорение или замедление жидкости вне 677 Гл. 7. Вихревое точоино эФфективно иовнэкой жидкости вихря приводит к изменению осевой скорости жидкости внутри вихря; знак этого изменения совпадает со знаком изменения внешней скорости, а величина изменения больше, чем изменение внешней скорости; кроме того, изменяется радиус вихря, причем зто изменение больше, чем следовало бы ожидать, если бы осевая скорость была постоянна по всей поперечной плоскости.
Требуют упоминания еще две особенности кривых на рис. 7.5.5, относящихся к случаю (/э/(/~ — — 1/2. Первая состоит в том, что при некотором значении /ха осевая скорость в центре вихря становится равной нулю. Как отмечалось выше, продолжение решения в область таких сочетаний величин /ха н х/з/(/м для которых осевая скорость отрицательна, не имеет смысла, так как крайне маловероятно, чтобы жидкость, приходящая из областей вниз по потоку, на практике имела бы предполагаемую зависимость Н и С от ф Вторая интересная особенность заключается в существовании критического значения Ьа (немного превосходящего то значение, при котором возникает обратное течение), при превышении которого никакое Ь не удовлетворяет уравнению (7.5.25), и, по-видимому, радиально равновесное течение невозможно. Подобные особенности течения проявляются, когда мы обсуждаем изыенения, происходящие в цилицдрической области при уменьшении отношения х7э/(/, непрерывно от единицы, считая йа фиксированным, хотя мы не должны забывать о том, что яалраолекие этих изменений аависит от величины йа.
Соотношение (7.5.25) показывает, что знаки величин ~~~ — Ьэ ло (во) ь †" Р " х,(ьь1 совпадают. Теперь, если Уэ/01 близко к единице, то Ь ж а, и это означает, что знаком отношения Хэ (Йа)/Х1 (Йа) определяется начальное направление изменений радиуса вихря и распределения скорости поперек вихря. В интервале 0 < йа ~ 2,40 (внутри которого обычно лежат встречающиеся на практике значения йа) происходит вестественноеэ поведение величин: увеличение радиуса вихря и убывание осевой скорости на его оси при уменьшении х/х/Г/,. Однако в интервале 2,40 (/ха ( 3,83 (между первыми нулями функций Уэ (/ха) и 1, (/ха)) осевое замедление внешнего потока приводит к лхеяыиилх значениям радиуса вихря и к увеличению осевой скорости на его оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
