Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Основным эффектом изменения величины е/а (не учитывая детально картину течения в ядре и вблизи него) будет изменение скорости перемещения вихревого кольца. Следовательно, путем наложения постоянной осевой скорости — (х/4ха)1и(а/е) на линии тока, показанныенарис.
7.2.4 и определяемые только величинами х и а, мы получим некоторое приближение к установившимся картинам течения при различных (малых) значениях е/а. Этим способом мы можем найти последовательность картин течений вида, показанного на рис. 7.2.4, По мере увеличе- 7,2. Течение неограниченной жндкостя Осз сшнмаприи Р н с. 7ала С.сема лвняй тока устзновявшегося течеяяя отнссятельно вихревого кольца пря разлкчнмх (манях( зеачеяяях отяошеняа з(а. Внутренняя зачерненная область соошетствует ядру вяхря, а штриховкой показана жидкость, переносяман вместе с кольцом. ния отношеняя е/а наблюдается быстрое возрастание массы жидкости, переносимой вместе с вихревым кольцом, а при значениях е/а, превышающих величину порядка 0,01, объем етой жидкости доходит до оси симметрии.
Естественно спросить, существуют ли установившиеся вихревые кольца, имеющие немалые поперечные сечения. При этом возможно любое распределение завихренности и с точки зрения теории невязкой жидкости нужно лишь потребовать, чтобы величина еу/о была постоянной для любой линии тока установившегося течения (см. (7.1.7)). Единственным аналитическим указанием служит существование замечательно простого поля течения, известного как сферичгскийвихрь Хилла (Хилл(1894)).
Завихренность течения сосредоточена внутри сферы радиуса а и распределена согласно соотношению су =- Ап, (7.2. 17) где А имеет одно и то же значение для нсехлиний тона внутри сферы. Соответствующая функция тока зр для течения внутри сферы (относительно системы координат, связанной со сферой, так что (Р = 0 Гл. У.
Вихревое течение эффективно певязкоя жидкости Ось симметрии Р в е. УЛЛ. Линна тона )отановнвжегоея течения относительно оферячеокого вихРя Хилла, проведенные через разные нмтервалы изменении фунвпяя тока 1Ь. при лв + ол = а') легко находится и имеет вид у) )Р= о Ао'(а' ле ов) (7.2А8) касательная компонента скорости на поверхности сферы(при приближении к ней изнутри) равна и направлена от критической точки прн о = О, л = а.
Теперь заметим, что скорость на неподвижной сфере, обтекаемой безвихревым потоком жидкости с постоянной скоростью на бесконечности г/ в направлении отрицательной оси х, равна в/з(/о/а (см. 3 6.8); таким образом, внутреннее и внешнее распределения скорости сращиваются при выполнении условия (/ = (2/15)азА. На рис. 7.2.5 показаны линии тока етого течения, установившегося относительно вихря. Из рассмотрения по отдельности областей внутри и вне сферы радиуса а видно, что ямпульс жидкости (для движения относительно системы координат, связанной с жидкостью на бесконечности) равен 2казр(/; эту же величину можно получить и непосредственно из (7.2.10).
Возможно, что сферический вихрь Хилла представляет собой один крайний случай семейства вихревых колец, другой крайний случай которого — круговая вихревая нить. 7.3. Двумерное течение неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности Двумерные течения ничем не ограниченной жидкости, которая покоится на бесконечности, имеют ряд важных отличий от течений, рассмотренных в предыдущем параграфе. Во-первых, на боль- ') Было установлено, что вто раопределеняе енорооги оправедливо ганжа внутри ефернчеоиоа капля жидноети, поотупателъио дввжужейоя внутРи другое жидноети при малом чволе реанольдоа гем.
у Е.е). 646 7.3. Двумерное течеиие неограниченной жидкости шнх расстояниях от начала координат скорость может асимптотически изменяться по закону г т; ото связано с существованием ненулевой циркуляции относительно круга большого радиуса, как и в случаях безвихревого течения при наличии внутренней границы (см. $6А). Второе отличие состоит в том, что самоиндуцированная скорость движения прямолинейной вихревой нити не будет бесконечной, а поведение вихревой трубки с прямыми вихревыми линиями не зависит решающим образом от площади ее поперечного сечения; таким образом, области концентрации завихренности в двумерном течении можно вполне надежно аппроксимировать аналитически точечными вихрями.
В двумерном поле течения без внутренних границ безвихревой вклад т в (7.1.1) снова равен нулю и для любой точки поля течения имеем ( ) = —,' ~ ~ '"",'* ' ~А (*') а', где бА — злемент площади плоского течения, з' — координата, нормальная к плоскости течения, а интегрирование выполняется по всему (трехмерному) пространству.
Поскольку вектор ю нормален к плоскости течения, то з х ю (х') не зависит от з' и можно выполнить интегрирование по з', в результате получаем (7.3.1) где х, у — прямоугольные координаты в плоскости течения, и, и — соответствующие компоненты скорости, а интегрирование выполняется по всей плоскости течения. Очевидно, что зто распределение скорости можно получить дифференцированием функции тока ф(х.
У) = — — ~ о)(х', у') 1п ((х — х')'+ (у — у')') ИА (х', У'). (7.3.2) Зту функцию можно также рассматривать как выражение ненулевой компоненты векторного потенциала. Если завихренность на больших расстояниях от начала координат достаточно мала, то при г= (хт + уе)'7з -~ со находим ф(х, у) = — — 1пг ~ юЫА+0(г '). (7.3.3) Таким образом, распределение скорости вдали от начала координат оказывается в точности таким, как еслибы в начале координат был помещен точечный вихрь с интенсивностью, равной ) ю ИА.
Гл. Ч. Вихревое течение эффективно невявксй жидкости Интеералъные инварианты распределения ваеихренности Непосредственное использование полного количества движения, момента количества движения и кинетической энергии жидкости оказывается невозможным, поскольку соответствующие интегралы для этих величин расходятся. Однако существуют связанные с ними величины, которые обладают ожидаемым свойством инвариантности относительно времени. Проще всего можно убедиться в этом путем рассмотрения интегральных инвариантов распределения завихренности, а затем обсудить их связь с упомянутыми выше физвческнми величинами. Как завихренность, так и площадь жидкого элемента в плоском течении постоянны, поэтому первым и простейшим из интегральных инвариантов будет ~ вдА, (7.3.4) который берется по всей плоскости течения; величина этого интеграла равна циркуляции по произвольному замкнутому контуру, проведенному на большом расстоянии от начала; таким образом, этот инвариант можно считать прямым следствием теоремы Кель- вина о циркуляции.
Первые интегральные моменты распределения завихренности также постоянны. Действительно, ) хваА= — ) х ~ о + ~ ) аА= ) иваА; подставляя сюда выражение для и из (7.3.1), убеждаемся, что этот интеграл равен нулю; аналогичный результат получаем и для ув ИА. Таким образом, мы можем определить две инвариантные величины Х=', У= — ' ') ввАА ( (рв ЫА (7.3.5) )вАА ) вЫА представляющие собой координаты «центра завихренности».
Если в АА = О, то центр завихренности расположен на бесконечности. Следующий интегральный момент, инвариантность которого подтверждается непосредственно, есть ~ (хв + у') вИА. Скорость изменения во времени этого интеграла равна —,', ~ ( '+ у') м = — ~ ( '-, у') ( """' ~ — ",""') м~ = = 2 ~(хи+уи)сэйА; 7.3.
Двумерное течение неограниченной жидкости подставляя сюда выражения и и и ив (7.3А), убеждаемся, что ПОСЛЕдНИй ИНтЕГраЛ раВЕН НУЛЮ. ТаКИМ ОбраЗОМ, дЛИНа (««)а(1/З, определяемая соотношением «)а ) ((х — Х)е+(у — У)а) е«ИА (7.3.3) ) сеИА и представляющая дисперсию распределения завихренности относительно фиксированного центра завихревности (Х, У), служит еще однвм инваризнтом рассматриваемого движения. Размерности интегральных величин ~ хо«ИА, ~ уо«ИА к ~ (хе+уз)о«ИА наводят на мысль, что эти величины связаны с количеством движения и моментом количества движения жидкости (слоя единичной толщины).
Соответствующие соотношения нельзя выписать непосредственно, если ~о«ИА ~ О, поскольку в этом случае скорость на бесконечности не будет достаточно малой, чтобы интегралы по всей жидкости, выражающие количество движения и момент количества движения, имели смысл. Пусть функция тока «(«(х, у)+ ~ 1н«' ~ о«ИА 1 р ) уо«ИА, — р ~ хо«ИА. (7.3.7) Аналогично этому можно показать, что полный момент (относительно начала координат) импульса силы, требуемого для порождения дополнительного течения из состояния покоя, равен — — р ) (хе+уз)о«ИА.
Пока еще мы ве установили инварианта, который соответствовал бы кинетической энергии жидкости. Введение дополнительного движения не спасает положения в случае нелинейной величины, подобной кинетической энергии, так что мы должны избрать представляет разность заданного движения и установившегося течения с той же полной завихренностью, сконцентрированной в начале координат.
Величина скорости такого дополнительного течения убывает как г ' прн г — «- сю, так что интеграл, выражающий соответствующее количество движения, все еще не будет абсолютно сходящимся. Однако можно показать, как и в случае рассмотренного в $7.2 трехмерного течения, что полный вмпульс силы, который должен быть приложен к жидкости для порождения из состояния покоя определенного вылив дополнительного течения, имеет компоненты Гя. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
