Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 139
Текст из файла (страница 139)
7.2. Течение неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности Течения неограниченной жидкости при отсутствии внутренних границ представляют особый интерес в теории движения невязкой жидкости, поскольку в этих случаях не проявляются характерные эффекты вязкости, которые возникают вблизи твердых границ и обычно служат помехой при установлении соответствия с течением реальных жидкостей. Мьг здесь не будем развивать теорию безвихревого движения невязкой жидкости, так как единственным решением, совместным с условием нулевой скорости на бесконечности, является состояние покоя всей жидкости.
Однако в том случае, когда в покоящуюся на бесконечности жидкость погружена ограниченная область завихренной жидкости, возникает много интересных задач; по-видимому, лучшим иэ известных примеров может служить «вихревое кольцом Сначала мы рассмотрим более близкий к реальности трехмерный случай, а обсуждение специальных свойств двумерного течения отложим до следующего параграфа. В данных условиях применимы некоторые из кинематических результатов з 2.9. Так, скорость несжимаемой жидкости, связанная с распределением завихренности ю(х), задается выражением 635 Гл.
7. Вихревое течение аффективно ненианой жидкости (7.1.1) при т = 0 в случае покоящейся на бесконечности жидкости, не имеющей внешних и внутренних границ; как мы установили в $2.9, асимптотически при г = (х(-ь оо имеем п(х) — Ч ) (Ч вЂ” ) ° ~ х' гь ю'й'гг(х')); (7.2.1) здесь интеграл берется по всему объему жидкости, Это выражение можно записать и в другой форме (см.
(2.9.4) и (2.9.5)), а именно и = С7 х В, где В(х) — (~ — ) ы ~ х' х ю'НУ(х') (7.2.2) при г-г. сс. Это асимптотическое выражение для и справедливо при условии, что ~ю( имеет порядок меньше чем г-4 прн больших значениях г х), н представляет собой распределение скорости безвихревого течения, вызванного либо отдельной замкнутой вихревой нитью малого линейного размера, либо диполем источников, помещенным в начале координат. Ревультируюгиий импульс сил, требуемый для возникновения движения Как мы сейчас увидям, величина интеграла ) х х ю й)г из (7.2.1) имеет динамический смысл.
Размерности величин в интеграле наводят на мысль рассмотреть полное количество движения в жидкости; однако величина скорости уменьшается только как г а прн г — ьоо, н мы сталкиваемся здесь с той же самой трудностью, что и в случае беэвихревого течения, обусловленного поступательным движением твердого тела (см. 3 6.4); она состоит в том, что интеграл ) и йг' в общем случае сходится не абсолютно, а, оказывается, зависит от пути, по которому объем интегрирования может стремиться к бесконечности.
В этой ситуации следует поступить иначе. Коли в 3 6.4 мы определяли величину импульса, который должен быть приложен к твердому телу, чтобы вызвать движение жидкости из состояния покоя, то здесь мы вычислим результирующую величину распределенного импульса, который должен быть приложен к ограниченной области жидкости, чтобы вызвать заданное движение из состояния покоя. Этот результирующий импульс снова будем называть импульсом лсидкости поля течения и обозначим Р. Кслн и' и и" — два распределения скорости, для которых значения интеграла ) х х ю бег' равны, то непосредственно можно В В атом и последующих парагравах мм будем предполагать, что ) и ~ достаточно малая величина при больюих аначеяяях г; вто обеспечивает сходямосгь всех янтегралон, ноторме содержат вавихреялость, воаяинвющую в жадности.
636 7.2. Течение неограниченной жидкости Р 1хх юог'. (7.2.3) Для нахождения коэффициента пропорциональности выберем некоторую длину В настолько большой, чтобы пры г В распределение скорости (7.2А) выполнялось точно, и определим вклады в Р от двух областей жыдкости, задаваемых неравенствами г < В и г > В. Полное количество движения жидкости в области г ( В равно р ~ пду=р ~ Ч х ВА)г=р ~ их ВАА, екв екя с=в а так как (7.2.2) выполняется на сферической поверхности А, то 8яВе (и х В)„— а = ~х х юйу — пп ° ~х х еАА.
Полное количество движения во внутренней области равно, таким образом, '/ер ) ххюог'. Эта часть Р не зависит от В, и мы могли бы, устремляя В к бесконечности, попытаться заключить, что внешняя область не создает дополнительного вклада в Р. Однако такая попытка была бы ошибочной в силу отсутствия абсолютной сходимости интеграла ) и Ы'и'. Асимптотическая форма распределения скорости (7.2А) ямеет тот же внд, что и в случае течения, обусловленного движением твердой сферы радиуса В со скоростью заключить, что движеные с распределением скорости (и' — и") является таким, для которого полное количество движения жидкости равно нулю.
Обозначим теперь через и' некоторый объем жидкости. ограниченный замкнутой поверхностью А с единичной внешней нормалью и; тогда ~(п' — и") 0Г = ~Ч х (В' — В") с)$' = ~п х (В' — В") АА, а поскольку разность между В' и В", как видно из (7.2.2), должна быть но порядку меньше чем г и при болыпих значениях г, то интеграл по поверхности в выписанном соотношении стремится к нулю при неограниченном расширении поверхности во всех направлениях.
Импульс жидкости при распределении скорости и' — и" также равен нулю, так как он совпадает с полным количеством движения, если интеграл полного количества движения сходится абсолютно. Поскольку Р— линейный функционал отп, а также отю, то из етого следует, во-первых, что все поля течений. для которых значения интеграла ~ х х ю ог' равны, имеют один и тот же импульс жидкосты, а во-вторых, что Гл, 7.
Вихревое течение эффективно невкакой жппкоетп () (см. (6.8.13)), причем 4яВ% = ~х х юЫУ; (7.2.4) отсюда следует, между прочим, что полное количество движения во внутренней области было бы тем же самым, если бы вся жидкость внутри сферы радиуса В двигалась со скоростью Ю, определяемой из (7.2.4). Следовательно, внешняя область создает часть Р, равную нв1пульсу жидкости при движении твердой сферы радиуса В со скоростью т), определяемой соотношением (7.2.4); с учетом (6.4.29) и (6.8.$8) ага часть равна — яВар()= — р ~ х х ю<Л~. 2 1 3 6 Сумма двух найденных частей Р = —, р ) х х ю пУ, 1 2 (7.2.5) где интеграл берется по всему объему жидкости.
Мы моятеы также доказать, что, как и предполагалось, зто выражение результирующего импульса, который требуется для создания движения жидкости из состояния покоя, не аавнсит от времени, даже если течение неустановившееся. В самом деле, из (7.1.5) имеем дР 1 ( деа 1 да 2 1 дС 2 — = — — р ( х х — ЫУ = — р ~ х х (Ч м (н х ю)) ЫУ. Из раскрытия подинтегрального выражения (проще использовать второе равенство) следует, что оно равно сумме 2н и ю и нескольких членов, содержащих производные; последние приводят к интегралам по поверхности, которые обращаются в нуль ввиду малости ~ю ~ на бесконечности. Таким образом, имеем дР ~ ~ ~1 а д(пп)) — р ~ х х (х Х ю) т)У 1 3 (7.2.6) и что он является вторым инвариантом возникающего дан&<ения.
полученный интеграл по объему также можно преобразовать в интеграл по поверхности, равный нулю ввиду установленной малости скорости жидкости вдали от начала координат. Можно еще показать, что результирующий момент (относительно начала координат) распределенного импульса, который должен быть приложен к жидкостидля создания движения из состояния покоя, равен 7.2. Течение иеогргиичеииой жилиости Полная кинетическая энергии жидкости Можно также найти выражение для полной кинетической энергии жидкости, используя распределение завихренности. Имеем Т= — Р ) и (Ч ХВ)ар= о Р ~ (В.(тг Х и) — чг (и Х В)) дг', 1 Г 1 где интегралы берутся по всему объему жидкости. Член полинтегрального выражения в форме дивергенции приводит к интегралу по поверхности, который обращается в нуль; используя в оставшемся члене выражение для векторного потенциала из (2.4.10), получим Т= ~ р~ В юЛ'= з ~~ — ду(х)ИУ(х').
(7.2.7) Другое выражение для Т можно получить с использованием тождества Ч (п(х.п))= чг ~ — д'х) — — д'+п.(х Х го), Если обе стороны этого тождества проинтегрировать повсему объему жидкости, то два члена, сводящиеся к интегралам по удаленным на бесконечность поверхностям, очевидно, обратятся в нуль, а оставшиеся члены дадут Т = р ~п ° (х Х ю) йт". (7.2.8) Как можно показать, эта величина также не зависит от времени. Течение с круговмгги вияревмгги линияни Полученные выше выражения для распределения скорости, импульса жидкости течения и полной кинетической энергии принимают простую форму в случаях, когда все вихревые линии течения представляют собой концентрические окружности с общей осью симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
