Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 137
Текст из файла (страница 137)
В этой главе особенно удобно использовать уравнение для завихреввости, которое получается путем взятия ротора от обеих частей уравнений (7.1.2) или (7.1.3): — =~7 Х(пХв) или — =в.'ув. дв Рв дс Рт (7.1.5) (7.1.6) Поскольку в двумерном движении не происходит вращения или растяжения вихревых линий, то завихренвость каждого элемента жидкости остается постоянной. Другим случаем, в котором уравнение (7 1.5) принимает простую форму, является осесимметричвое течение без «закрутки» (т. е.
без азимутального движения), когда вектор завихренности в любой точке течения нормален плоскости, содержащей ату точку и ось симметрии течения. В цилиндрических коордвватах (л, и, <р) с компонентами скорости (и, и, ю) и единичными векторами 1, ), й вдоль соответствующих координатных ливий мы имеем ви д) ви в Чв= — —.
о йр о ю =в)х — = — й Рв Рв Ра Рт Как было показано в з 5.3 в качестве следствия этого уравнения, вихревые трубки движутся вместе с жидкостью и имеют постоянвую напряженность. В случае двумерного течения отличной от нуля является только компонента завихренвости, нормальная к плоскости течения (обозначим эту компоненту в). В этом случае градиент скорости и з направлении вектора завихренности равняется нулю, так что уравнение (7 1.5) принимает вид 7Л. Введение так что (7.1.5) принимает вид Р (н(а) Ре (7.1.7) Это уравнение выражает постоянство напряженности жидкой вихревой трубки малого поперечного сечения и длины 2яо. Уравнения, подобные (7.1.6) и (7.1.7), особенно полезны при изучении установившегося течения, когда из равенства нулю субстанциональной производной какой-либо величины следует ее постоянство вдоль линии тока.
Итак, для установившегося течения (7.1.3) приводится к виду и Х еа = ЧН, (7.1.8) точно такому же, как и для общего установившегося гомоэнтропического течения (см. (3.5.9)). Таким образом, для установившегося течения в ЧН=О, .ЧН=О; (7 1.9) отсюда следует, что на поверхности, ва которой лежат пересекающиеся семейства линий тока и вихревых линий, величина Н постоянна. Поверхность постоянного аначения величины Н обычно называется поверхностью Бернулли (несмотря на то, что в $3.5 теоремой Бернулли назван результат о постоянстве Н вдоль ливии тока в установившемся течении). 625 ЕŠ— ЕВ7Й Салеоиндуиировонное движение вихревой нити В $2.6 было введено понятие вихревой нити, т.
е. вихревой трубки с бесконечно малым поперечным сечением и отличной от нуля напряженностью. Проведенное там кинематическое обсуждение мы теперь можем дополнить следствиями из динамической теоремы, согласно которой вихревая трубка движется вместе с жидкостью, не изменяя своей напряженности, и получить зависимость изменения формы вихревой нити со временем. Приводимый няже результат о движении вихревой нити имеет ограниченное применение, однако он является довольно неожиданным и имеет важное следствие для приближенного математического представления реальных распределений завихренности. Используя распределение скорости в жидкости (7.1.1), попытаемся оценить скорость в точках вблизи вихревой нити. Предположим, что вихревая вить (напряженности к) находится в неограниченной жидкости, покоящейся ва бесконечности, причем внутренних границ в жидкости нет; зто оаначает, что т = О всюду в жидкости, так что в (7.1.1) остается только интеграл.
Кроме того, предположим, что в точках жидкости, не лежащих на вихревой нити, завихренность равна нулю, и тогда (7.1.1) запишется в следующем Гн. 7. Вихревое течение з4фективно невинной жидкости виде (см. (2.6.3)): к гех н1(к') п(х) = — — ф 4н Э',з (7.1.10) где а = х — х', а 61 — элемент замкнутой кривой интегрирования, совпадающей с вихревой нитью.
Как было установлено в $2.6, мы можем переписать (7.1.10) иначе: п(х) =.—.— д'(7а, (7.1.11) где 17 — телесный угол, образованный прямыми, идущими из точек замкнутой вихревой нити в точку х. Из этих двух формул видно, что распределение скорости имеет особенности в точках вихревой нити. Ясно, что вокруг любого участка вихревой нити имеется циркуляцнонное движение со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию до вихревой нити при приближении к ней, однако такое циркуляционное движение жидкости может вызвать лишь поворот бесконечно малого поперечного сечения этого участка вихревой нити относительно его центра и не может сообщить ему поступательного движения.
Необходимо более тщательно изучить п(х) в точках вблизи вихревой нити для того, чтобы определить, каков будет результат, если вычесть циркуляционное движение. Рассмотрим индуцированную скорость в окрестности точки О вихревой нити; для этого выберем (естественную) систему ортогональных осей: по направлению касательной, главной нормали и бинормали к вихревой нити в точке О, как показано на рис. 7.1.1. Ваяв точку О в качестве начала, а 1, и, Ь вЂ” в качестве единичных векторов вдоль выбранных осей, радиус-вектор точки в плоскости, нормальной вихревой нити в точке О, можно записать в виде х =- хзп -(- хзЬ; х' ж й+ 'lзс(зп, где с — кривизна вихревой нити в точке О. Таким образом, вблизи точки О имеем 61(х') ж (1 + с1п) 61 н (к — х') х б1(к') — ззсм-(-ззи — (зз+ (1(2) с(з) Ь 2 1" — *')' (.1+.1+ '(1 —., )+((Вя зы)з" 626 наша задача теперь состоит в выражении скорости в атой точке пРи Условии (х, *+ ззз)пз (= и) — е О.
Далее, в опРеделенном интервале расстояний 1 вдоль вихревой нити от точки О, скажем в — 7. < 1 ( 6, радиус-вектор х' точки, лежащей на вихревой нити, записывается как 7.1. Внодвняв О О 4 х, и тв Р н С. 1ЛЛ. ох»митин»снос олрсдслсняе яндудяровлииой сноростя вблизи вихревой няти. Вклад в величину скорости в точке (О, хю х,) или (О, и соз ср, и з(п ~р) от указанного выше участка вихревой нити, таким образом, равен ь/а х ( (Ьссвэ — нв(лч) а-з+(1/2) лвй,1 7 1 12 3 2 4н 3 (1-( лзв (1 — са сш <р)+(1/4) ставит») б/в -ь/а где лв = //и, При и- О знаменатель подинтегрального выражения стремится к (1 + тв)' и результат (7Л.12) принимает асимптотический вид — (Ь соз тр — и з(п <р) + — Ь 1п — + сопз1.
(7.1ЛЗ) х хс /, 2на 4н а Вклад з скорость в точке О от участков вихревой нити, лежащих вне интервала — л' < 1 < 7, конечно, ограничен, и этой информации о нем для нас будет достаточно. Первый иа двух переменных членов в (7ЛЛЗ) выражает отмеченное вытпе циркуляциокное движение вокруг вихревой нити и не вызывает ее смещения. Второй член в (7Л.13) появился впервые и свидетельствует о том, что в распределении скорости имеется другая и более слабая особенность, связанная с локальной кривизной вихревой нити. Видно, что жидкость в окрестности точки О на вихревой ливии имеет большую скорость в направлении бинормали, причем величина этой скорости изменяется асимптотически как )и и '. Таким образом, идеальная криволинейная вихревая нить должна будет двигаться и в общем случае изменять свою форму с бесконечной скоростью.
Вывод из этого состоит в том, что если кривизна трубки с отлична от нуля, то имеются большие скорости движения и деформации интенсивной вихревой трубки малого поперечного сечения, которые сильно зависят от ее величины. Вывод этот практически малопригоден, поскольку вряд ли можно получить информацию о площади поперечного сечения трубки. Итак, мы установили, что изолированная криволинейная вихревая нить движется с бесконечной скоростью под действием индуцированного ею поля скорости; очевидно, что этот вывод не теряет своей общности и в предположениях, использованных ранее при 627 40» Приложение 1 Весовой состав сухого воздуха на уровне моря Ке Ое Аг СОе 0,7552 0,2315 0,0128 0,0005 б) Стандартная атмосфера: средине значения давления, плотности и температуры иа умеренных широтах, пранятыв по международному соглашенило Высота иод уровнем моря, Дееленяе, лнн/оме Плотность, т/оме Температура, 'С в) еуистая вода 4,9.10"лл смз/дин или 5,0 10-з атл1 л Коэффициент сжимаемости (изотер- мический) Скрытая теплота плааления льда Плотность льда Коэффициент диффузии КаС) в воде при 15' С и произвольной концент- рации Коэффициент диффузии КМп04 в во- до при 15' С и нулевой концентра- ции 334 дж/г 0,92 г/смз 1,1 10-е смз/сек 1,4.10 л смз/сок 0 5 10 15 20 25 Весовое процентное содержание без- водного КаС1 з растворе при 15' С Плотность раствора, г/смэ Теплоемкость раствора при постоян- ном давлении, дж/г град 0,999 1,035 1,072 1,ИО 1,149 1,190 4,19 4,16 4.13 4,10 4,07 4,04 500 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000 5 000 б 000 8 000 10 000 12 000 14 000 16000 18 000 1,013.104 0,955 0,899 0,845 0,795 0,701 0,616 0,540 0,472 0,356 0,264 0,193 0,141 0,103 0,075 1 226.10-з 1,168 1,И2 1,059 1,007 0,910 0,820 0,736 0,660 0,525 0,413 О,ЗИ 0,227 0,165 0,121 15,0 И,7 8,5 5,2 2,0 — 4,5 — И,Π— 17,5 — 24,0 — 37,0 — 50,0 — 56,5 — 56,5 — 56,5 — 56,5 А цфо ай" офн «фо о о 'с ~фен, $«фо««оо о«ийф«ф 3 -..
мао оин ао Йифоо, со сч с о Со С- С Со о сч сч сч «с ано он Ф„жн$ фи««о хо асс ф « л« сс й о О со с с д о с а О О О О О О О О о«аВ аф я сч 'ф' М тр с'с ор сч с'с фс д сч сч сс сч" с с 'с' сс о «,н о 'с о ы ф«й О СО О со сч сс со о с О СЪ сч о о « о ц«сс ас со д О О 3 о о о сс со сс я я О О О Р О О О о лс о ос, о «и «сс Ь С О О 30 Р со со Ос ос с'с с' 'ч' чс 'с' с' «« Фо«5- олффс Х сс О а«„ офн «оо о с. « о о о оо ййо о о о о о о о 1 Н с. ,фл а 729 « М о ф ы н 0 Ф и и' Значения неиеторвх физических параметров жидкостей со фс с сч СО СО СО Ч фс «С «С Со С» ФййЯЯЗЯЗРИИР Гл.
у. Вихревое течение аффективно невнзкой жюуиости у! 7й Р н е. 7.1пк Схема возникновения неуетовчнвоетн плооков вихревой пелены по отно- щенкю к малому возмущенню. заметим, что само возмущение не предполагается двумерным. Величины ч, 1рт и ~рх взаимосвязаны, так как вихревая пелена представляет собой жидкую поверхность, которая остается границей двух областей жидкости. Рассматривая вихревую пелену как границу верхней области, находим учитывая малые возмущения с точностью до членов первого порядка, отсюда получаем (7.1.14) Аналогичным образом, считая вихревую пелену границей нижней области, находим приближенно ( )=- — ) = — + — У вЂ”. д<рх т ди 1 дз1 (7.1 15) дд у=о д1 2 дл В дополнение к зтим кинематическим условиям сращивания на общей границе двух потоков должно выполняться условие для давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
