Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Поскольку поле рассматриваемого течения в целом осесимметричное и азимутального движения жидкости нет, то распределение скорости мы можем описать с использованием функции тока ф— одной из ненулевых компонент векторного потенциала В. В цилиндрических координатах (я, и, ~р) векторы ог и В всюду параллельны координатной линии ~р, и, согласно (2.4.$0), имеем ~ гл ф(х, а)=-о) В)= — „~ ') ') ( ' о'соз8дх'с)о'ЫО, (7.2.9) о о где ю =- (ю~, 8 = ~р' — ч, г' = (я — х')г+ ог -)- и'е — 2па'сог 8 Гл. 7. Вихревое течение еффективно новизной жидкости Результирующий импульс, требуемый для создания движения из состояния покоя, определяется посредством (7.2.5) и, очевидно, представляет собой вектор, направленный по оси симметрии и имеющий величину Р =яр ~ ~ сооес)хна.
о (7.2ЛО) Для полной кинетической энергии жидкости мы имеем два общих выражения (7.2.7) и (7.2.8), первое из которых в данном случае принимает следующий вид: Т=яр ~ ~ ~)иодхс)о'. (7.2.11) Эти формулы легко применить к случаю одиночной круговой вихревой нити радиуса а и напряженности к, расположенной при х = О. Как обычно, используя ю(х',и')бх'бп'= к в качестве элемента интегрирования в осевой плоскости, содержащей вихревую нить, мы находим зи 4и л (ае -)- ос+ ав — 2аи сов 9)1~~ о Интегралы по О в (7.2.9) и (7.2Л2) можно вычислить при помощи таблиц. Если положить 4ао ав+(о+а)е ' то (7.2.12) можно переписать следующим образом: н (ао)17е ф(хо)= ( ) ~~ф — й)(1 — й * 2) о — — „~1 — )св соз' — ) ~ дО = 2 ~( — — й) Е(й) — — Е(й)~, (7.2.13) 640 где Е и Š— полные эллиптяческие интегралы первого и второго рода, численные значения которых затабулированы.
На рис. 7.2Л показаны линии тока, полученные по (7.2.13). Может показаться несколько странным то обстоятельство, что вблизи пересечения вихревой нити с осевой плоскостью линиями тока оказываются малые замкнутые кривые, вопреки установленному ранее факту стремления осевой компоненты скорости к бесконечности при приближении к вихревой нити по любому направ- 7.2.
Течение неограннченной жидкости Ось симмемрии Р к е. 7.2,!. Линна тока в осевой ил«акоста, ороведенные черев равные интервалы нвкененкв Функднн тока Е, дла течевнл, нндудврованного в иокоежейол на Зееконечноетн жндкоетв одиночной круговой вихревой нитью. лению; однако следут вспомнить, что эта осевая скорость возрастает как 1п ((и — а)в + з'), в то время как циркуляционное движение вокруг вихревой вити имеет скорость, которая изменяется как ((и — а)в + х') мт и, следовательно, доминирует в этой области. Для импульса жидкости течения, индуцированного одиночной круговой вихревой нитью, имеем Р = ярка', (7.2.14) примечательно, что величина импульса конечна, несмотря на особенность распределения скорости на вихревой нити. Полная кинетическая энергия, естественно, бесконечна, как и для поля течения, индуцированного вихревой нитью произвольной формы.
Вияревме кольца Известным и интригующим примером течения с круговыми вихревыми линиями служит «дымовое кольцо», которое можно образовать, если внезапно выдуть изо рта клуб дыма, скруглив при атом губы; такое кольцо движется в воздухе поступательно и равномерно и имеет ядро, наполненное дымом. Существенное требование прн получении вихревого кольца (это более подходнщее название) заключается в том, что сообщаемое жидкости количество движения должно обладать осевой симметрией; роль дыма сводится просто к тому, что он позволяет видеть некоторую часть жидкости. Вихревое кольцо в принципе проще всего получить, резко ударив по круговому диску в нормальном к нему направлении и притормозив его; практическое неудобство этого способа 641 «! — 0872 Ги.
7. Вихревое течеиие вффективио кевивкой жидкости в том, что свободно движущееся вихревое кольцо будет приближаться к диску, который будет препятствовать его движеняю; правда, этого можно избежать, погрузив круговой дяск наполовину в жидкость со свободной поверхностью и, когда начнется горизонтальное движение жидкости, быстро выдернув его. Более общий способ основан на использовании круглого отверстия, типа отверстия в плоском твердом листе, или трубы с открытым концом, через которые «выстреливается» некоторое количество жидкости; при этом образуется вихревое кольцо, движущееся от отверстия.
На фото 7.2.2 показаны различные стадии образования вихревых колец при эжектировании малых порций жидкости из конца трубы. Довольно неожиданно вихревое кольцо можно получить даже при выдувании небольшого объема воздуха иа верхнего конца вертикальной трубки, находящейся в баке с водой (Уолтерс и Дэвидсон (1963)); возникающее при этом вихревое кольцо, или газовый пузырь тороидальной формы, движется вертикально вверх, а его радиус, как показывают наблюдения, увеличивается; увеличение радиуса, но-видимому, объясняется действием силы плавучести, которая приводит к увеличению импульса жидкостя (см.
(7.2.14)). Еще один способ получения вихревых колец, иллюстрируемый на фото 7.2.3, состоит в том, что при вертикальном падении капель жидкости на свободную поверхность той же жидкости в последней образуются вихревые кольца. С теоретической точки зрения замечательным свойством всех наблюдаемых вихревых колец в однородной жидкости являетсв приближенно стационарное движение относительно вихревого кольца, если кольцо достаточно удалено от его генератора. Конечно, всегда имеется некоторое затухание движения, которое обусловлено, по-видимому, действием вязкости, но затухание для больших колец меньше, чем для маленьких; зто наводит на мысль о том, что строго установившееся движение должно достигаться при бесконечном числе Рейнольдса. Мы видели, что круговая вихревая нить обладает этим свойством установившегося движения, хотя скорость ее перемещения бесконечна. По крайней мере некоторые из наблюдаемых вихревых колец приближенно похожи на вихревую нить, завихренность которой сосредоточена в трубке малого (но ненулевого) поперечного сеченяя и которая перемещается установившимся образом в направлении оси симметрии.
Из-за незнания точной формы поперечного сечения трубки, содержащей завихренность (которая согласовывалась бы с установившимся характером движения), математическое изучение таких вихревых колец является трудным делом, Однако когда поперечное сечение мало, эта трудность уменьшается, поскольку криволинейная граннца поперечного сечения служит линией тока установившегося течения относительно осей координат, движущихся вместе с кольцом (поскольку вихревые линии переносятся вместе 7.2. Течение неограниченной жидкости с жидкостью); эта граница имеет приближенно круговую форму, если преобладает циркуляционное двыжение вокруг близлежащей части вихревой трубки.
Из формулы (7.1.13) для ындуцированной скорости жидкости в окрестности криволинейной вихревой нити можно заключить (н подробный анализ подтверждает это), что в случае почти однородного распределения завихренности в тороидальноьу ядре с поперечным сечением в виде круга малого радиуса е скорость движения такой вихревой трубки постоянной кривизны а х задается логарифмическим законом возрастания, усеченным на границе ядра и, такилу образолу, асимптотически (для а/е ~) 1) эта скорость имеет величину — 1п —.
и а 4па е (7.2.15) Следовательно, с увеличением радиуса кольца а скорость его движения уменьшается х). Формула (7.2.10) покааывает, что импульс жидкости для вихревого кольца, радиус ядра которого мал, прыближенно не зависит от размеров сечеыия ядра и, таким образом, определяется тем же соотношеныем (7.2.14), что и для круговой вихревой нити. Лолная кинетическая энергия жидкости теперь уже не будет бесконечной, и,поскольку рассматривается асимптотнческий случай е — О, ее величину найти просто. С этой целью заметим, что кынетическая энергия жидкости для прямолынейной вихревой нити напряженности к в области между внутренним круговым цилиндром радиуса е и внешним — радиуса Ь равна (рка/4я) 1п (Ые) в расчете на единицу длины вихревой нити.
Для вихревого кольца это дает следующую величину кинетической энергии: Т ж — рам 1п— 1 х а 2 а (7.2.16) в чем можно убедиться, использовав соотношение (7.2.11) н то обстоятельство, что на малом расстоянии е от вихревой нити функция тока т() имеет порядок (ах/2я) 1п е. Таким образом, скорость перемещения вихревого кольца приближенно равна (М2)77Р. Течение, вызванное выхревым кольцом малого кругового поперечного сечения, приближенно определяется параметрами а, к и е; это справедливо только для области вне ядра кольца, а внутри ядра движение зависит от фактического распределения завихренности.
Любые два из приведенных параметров можно заменить 41е ° ) В ревультате етого лва полосных вихревых кольца, отетоащих на некотором расстоянии друг от друга я раеположенных нв общее ое» оямметрии, ветупают в еабавяую игру. Рациальнвя номцоненга окорооти, выеванноя валины вихревым кольцом, направлеяа от оеи. Волепетвие втого раляуоперелнего вихревого кольца будет поетепеняо увелвчиватьен (при поетояниом аначеняи и). Это приведет к уменьшению енороетя перемещение перелнего кольца я к еоответетвующему увеляченяю енороот» перемещенвя ваннего вяхревого кольца, которое в конечном очете проацет внутри ббльшего перецнего кольца и в евою очерель станет перепним кольцом.
Затем етот маневр колец новторатея. Гл. 7. оихревое течение эффективно невяекой жидкости импульсом жидкости Р (7.2.14) и полной кинетической энергией Т (7.2.16). Способ определения этих трех независимых параметров практически зависит от механизма получения вихревых колец, детали которого часто остаются неясными. В случае вихревого кольца, возникающего при внезапном движении кругового диска радиуса В в направлении по нормали к его плоскости, мы можем предположить, что в момент достижения диском скорости У он какнм-то способом удаляется из жидкости и не оказывает непосредственного влияния на ее дальнейшее течение. Импульс жидкости и кинетическая энергия движения, связанного с вихревым кольцом, имеют при этом точно такие же значения, как при движении кругового диска со скоростью У, а циркуляцию для вихревого кольца можно считать равной разности между значениями потенциала скорости в центральных точках на разных сторонах диска; согласно приведенным в 1 6.8 формулам, Р з ЛерУ' Т 8 Вер)~, х =4ЛУ/я.
8 4 Теперь из (7.2.14) и (7.2.16) определяются размеры получающегося вихревого кольца: а=У2/ЗВ, еч аехр [ — яе/(2 у'6)~=0,13а, а из (7.2.15) находится скорость его движения, равная У/4; следует, однако, отметить, что отношение з/а здесь, по-видимому, недостаточно мало для вполне аккуратного применения формул (7.2.15) и (7.2.16). Можно считать, что два из трех параметров течения, вызванного вихревым кольцом с малым радиусом ядра, определяют масштабы длины и скорости поля течения. Такям образом, в системе координат, движущейся вместе с кольцом, скорость жидкости в произвольной точке х (не лежащей внутря ядра кольца) можно записать в виде и,(х е) где и" — произвольная функция указанных аргументов; таким образом, имеется бесконечное однопараметрвческое семейство таких вихревых колец, соответствующих различным значениям отношения е/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
