Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 149
Текст из файла (страница 149)
Итак, мы имеем установившееся течение, описываемое функцией тока ф = — (7ое+ Аау, (((ст — ат)пза) з1н (ах+ е) (7.6.6) с положительным значением величины (ке — ат) и произвольной постоянной А. Как видно из (7.5.14), соответствующая азимутальная компонента скорости равна — = — — = 1)о+ ЙР. с га о 77 н В области вдали от оси симметрии осевая и радиальная компоненты скорости становятся постоянными и равными 0 и 0 соответственно; правда, приближаются они к этим значениям довольно медлен- 686 7.6.
)Нидкио системы, вра(цаюжигся нзи целое Р и е. 7,3.(. Мгновенная картина линий тока движения в проходящей черев ось вращения плоскости, представляющая собой простую гармоническую волну, раепространюощуюея в осевом маправлении Е фазоаой скоростью у. Значении функции тона соответствуют соотношению (7.б.7) при А = (М вЂ” а') (В/3,33. (Ланки тока для стоячей волны, образующейся при назожении двух таких прогрессивных волн малой амплитуды, имеют такую же форму. ем.
(7,бдо),) но (как о ((3). из полученного выражения для с видно, что радиальная компонента силы Кориолиса, действующей (во вращающейся системе коордянат) на каждый элемент жидкой окружности в поперечной плоскости, имеет тот же знак, что и и", и всегда стремится поддерживать равновесное значение радиуса атой окружности. То же самое течение, рассматриваемое относительно осей, движущихся в положительном направлении вдоль оси вращения со скоростью У, определяется функцией тока ф = АоУ( ((йи — а')Ыз о) з(п (а (х + () 3) + е); (7.6.7) мгновенное положение линий тока этого течения показано на рис. 7.6.4; мы имеем здесь простую гармоническую волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси х с фазовой скоростью У в жидкости, которая в отсутствие этой волны вращается как твердое тело.
Следует отметить, что при выводе выражения для функции тока (7.6.7), представляющей прогрессивную 687 Гв. 7. Вихревое течение эффективно иевяэиой жидкости волну, мы не налагали никаких ограничений на амплитуду волны. так что решение (7.6.7) справедливо не только для малых значений амплитуды А. В этом состоит особое свойство рассматриваемых осеснмметричных колебательных движений относительно установившегося вращения жидкости как твердого тела: этн колебания можно представить как установившееся движение относительно некоторых осей, движущихся поступательно вдоль оси вращения жидкости; данное свойство связано с линейностью основного уравнения движения.
Таким образом, два колебания, определяемые соотношением вида (7.6.7), могут быть наложены одно на другое без ограничения на величину их амплитуд, если только их фазовые скорости равны по величине и направлению; если же фазовые скорости различны, то нала>кение колебаний возможно лишь тогда, когда обе амплитуды достаточно малы, чтобы в уравнении (7.6А) нелинейные члены были пренебрежимо малыми.
Необычное свойство этих осесимметричных волн во вращающейся неограниченной хсидкости состоит в том, что волновое число а и угловая частота Уа не зависят друг от друга. Волновое движение, очевидно, не будет определено, пока не заданы следующие четыре величины: в), У, а и амплитуда А. Вместо У мы можем задать радиальный размер ячейки, прилегающей к осн вращения (см. рис. 7.6.4); для этого заметим, что первый нуль функции 1> (з) есть з =- 3,83, так что этот радиальный размер равен 3,83(>св — ав)»т. Однако подходят не все комбинации а, Я и У, поскольку при йв — ат ( О ие имеется решений уравнения (7.6.5), которые были бы всюду конечны; следовательно, при заданных Й и У допустимые значения а лежат в интервале О ()а! ((2>ИТ(.
В условиях лабораторного эксперимента вращающаяся жидкость обычно ограничена цилиндрической границей, скажем о = Ь. Этим задается граничное условие, согласяо которому эта граница должна быть линией тока течения в плоскости, проходящей через ось вращения, или, что эквивалентно, в диапазоне изменения радиуса О < о =., Ь должно содержаться целое число ячеек. Таким образом, если з =- ув есть п-й нуль функции Х, (з), то мы требуем выполнения условия Ь (йт — ав) =ув, (7.6.8) где и — число ячеек вдоль радиуса цилиндра.
Это соотношение можно рассматривать как связь между скоростью волны У и волновым числом а для волнового движения с и радиальными ячейками, распространяющимися в цилиндрическом сосуде радиусом д. Групповая скоросл>ь, или скорость, с которой распространяется энергия такой волны, представляет собой некоторый вектор. направленный вдоль оси вращения точно так же, как и вектор 688 7.6. Жидкие системы, вращающиеся как целое р=248(1+-~У~, ) (7.6.11) Это соотношение, впервые полученное Кельвином (1880), впоследнее время привлекает определенный интерес в связи с воз84ожнылли приложеыиями в геофизике. Существование простейших форм колебаний (для которых аначения лл и у„близки к наименьшим возможным значениям) можно продемонстрировать экспериментально; формула для частоты таких колебаний подтверждается непосредственно, если на вращающуюся жидкость наложить некоторое колебание и наблюдать появление резонанса при определеныых дискретных значениях частоты возбуждения (Фульц (1959)).
Во вращающейся жидкости могут существовать и плоские волны, механизм поддержаыия которых также обусловлен силами Кориолиса. Причина существования простого, хотя также довольно частного, влща плоской волны связана с тем, что частица жлщкости, находящаяся под действием только сил Кориолиса, движется 689 44 — 0872 фазовой скорости; величина вектора групповой скорости определяется известным соотношением 47 — ' а — =(7 еа 74 + альл ' (7.6.9) Таким образом, величина групповой скорости вообще меньше фазовой. Если жидкость помещена между плоскими границами, нормальными к оси вращения и отстоящими одна от другой на расстояние 4, то граничные условия будут удовлетворены путем наложения двух подобных прогрессивных волн, распространяющихся в противоположных направлениях (при подходящем выборе волнового числа). Простое решение, представляющее стоячую волну, получается из (7.6.
7) и имеет вид ф = 2Апил ((йе — ал)02 о) соа ()7а1п (аз + е), (7.6.10) где частота обозначена через 6 вместо а(7, поскольку величину У здесь лучше исключить из рассмотрения. Линии тока в произвольный момент времеви для функции тока (7.6.10) имеют тот же вид, что и на рис. 7.6.4. Заметим, что амплитуда А должыа быть в данном случае малой, так как в противном случае уравнения для возмущенного движения не будут линейными и их решения нельзя будет налагать друг на друга.
Условия на двух граничных плоскостях требуют выполнения равенства а =- лля/), где лл— положительное целое; если же имеется еще и твердая граница жидкости при о = Ь, то должно выполняться также и условие (7.6.8), Таким образом, мы видим, что собственные частоты малых колебаний вращающейся жидкости, содержащейся внутри кругового цилиндра радиусом а и длиной 4, определяются соот- ношением Гл. 7. Вихревое течение эффективно невяэкой жидкости по круговой траектории в поперечной плоскости. Если в жидкости на бесконечности (модифицированное) давление и скорость относительно вращающихся осей координат первоначально постоянны во всех плоскостях, нормальных к оси вращения, то они будут оставаться постоянными; тогда из уравнения движения (7.6А) находим для компонент скорости, соответствующих прямоугольным координатам у, з в поперечной плоскости: — = 2Иш — з~ — 2ИР.
до диг дт ' дс (7.6Л2) Отсюда следует, что жидкая поперечная плоскость движется в целом как твердая пластина по круговой траектории с угловой скоростью 2И. Если теперь различные жидкие поперечные плоскости первоначально приведены в движение с распределением скорости ш=Азшах, и = А соз ах, то каждая такая жидкая поперечная плоскость будет двигаться как твердое тело по своей круговой траектории и в последующие моменты времени х будет иметь распределение скорости и = А соз (ах — 2И8), ш = А зш (ах — 2И). Таким образом, в направлении оси х как бы распространяется простая гармоническая плоская прогрессивная волна с волновым числом а и фазовой скоростью 2И/а, которая является поперечной и имеет круговую поляризацию.
Здесь сказано «как бы распространяетсяэ, так как каждая жидкая поперечная плоскость движется независимо и ее движение полностью определено начальными условиями; в нашем случае, как и в известном примере с рядом шаров, которые подвешены на нитках и получают поперечное смещение путем прикосновения к ним пальца, движущегося вдоль ряда, групповая скорость, или скорость распространения энергии колебаний, равна нулю.
Могут существовать плоские волны и более общего вида, волновой вектор которых наклонен под некоторым углом О к оси вращения жидкости. Чтобы выяснить это, нужно только наложить на полученное выше волновое движение компоненту угловой скорости вращения, параллельную оси у. В результате появится дополнительная сила Кориолиса, параллельная оси х, которая не будет зависеть от у я з и которая может быть уравновешена некоторым градиентом давления беэ изменения полученного выше распределения скорости. Таким образом, результирующее поле течения определится формулами и=Асов(ах — 2ЖсозО), ш=Ашп(ах — 2ИдсозО), р 2мв!и О (7.6АЗ) и=0, А соз (ах — 2Иг соз О), р а 690 7Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
