Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 151
Текст из файла (страница 151)
Ввхревое теяекне эффективно невяэкой жидкости где Р д ие д ио д — = — + — — + РС дС В дО Ввсаз дю Мы воспользовались здесь стандартным обозначением: = 2ьс соз 6 — удвоенная угловая скорость поворота маятника Фуко на широте (Ы2 — 6), называемая параметром Кориолиса (для Земли при О = 45' имеем И = 7,29 10 ' сек х, откуда 1 = =1,03 ° 10 а сек ~). Мы будем использовать также и соответствующее уравнение для радиальной компоненты завихренности, скажем се, относительно вращающихся осей координат. Имеем (см. приложение 2) с д(иевшО) див ь се= Вв)аз ( дО дй ) ' после небольших преобразований, используя (7.7.5) и (7.7.6), находим — = — — — — сь (1+ ю). Рю ие д1 Рс В дО (7.7.7) Здесь через с1 обозначена дивергенция в горизонтальной плоскости, т. е.
(последнее равенство соответствует (7.7.1)). Теперь уравнение (7.7.7) можно переписать в виде ( ) О, (7.7.8) отсюда видно, что абсолютная завихренность (1 + со) элемента жидкости с) изменяется только вследствие движения элемента в той области, где толщина слоя жидкости изменяется. В слое постоянной толщины относительная аавихренность иг изменяется только тогда, когда элемент жидкости движется с изменением широты. Уравнение (7.7.8) можно также вывести непосредственно из рассмотрения сохранения циркуляции по элементарному замкнутому жидкому контуру, лежащему в горизонтальной плоскости. Эти уравнения применимы к течению с любым характерным масштабом длины Ь при условии, что он больше толщины слоя Н. Наличие берегов континентов приводит к возникновению океаническихх течений, масштабы длины которых в действительности значительно меныпе радиуса Земли В; подобно этому большой интерес ') Строго говоря, О Ь м — вто вертикальная компонента абсолютной аава*ренноств, но тан нак только вта компонента стщественяа, то ми можем говорвть о ней ман об абсолютной ааввхренноств.
698 7.7. Движение жидкости в тонком свое нв врвщвющемсн шоре представляют атмосферные течения, протяженность которых составляет доли радиуса Земли. При исследовании таких течений удобно выбирать более или менее локальные системы координат. В случае поля течения, охватывающего малый диапазон широт относительно широты О =. Оо, удобно ввести новые координаты х=фВз1пОе, у=(О,— О)В, (7.7.9) Координаты (х, у, г), где г направлена вертикально вверх, обраауют правую систему, подобную сферическим координатам (г, О, ф); координаты х и у увеличиваются в восточном и северном направлениях соответственно.
Прн Ь (( В в самом грубом приближении уравнения сводятся к форме, соответствующей двумерному течению в плоском слое жидкости, если не учитывать небольшие изменения толщины, обусловленные топографией дна; в этом случае х и у — прямоугольные координаты, а параметр Кориолиса / постоянен и равен /о = 2И соз Оо. При этом направление оси х в горизонтальной плоскости несущественно. Единственное явное изменение в уравнении (7.7.8), возникающее в этом приближении, связано с оператором Р/Рй который принимает вид л ш+"а+ а' в а а а (7.7.10) где и и и — компоненты скорости жидкости в направлениях х и у соответственно, а относительная завихренность теперь такова: до ди ю= —.
дв ду Если допустить возможность изменения параметра / с широтой, то можно получить улучшенное приближение для уравнений движения, которое позволяет исследовать некоторые виды полей течений, простирающихся на несколько большие, хотя все еще малые, диапазоны широт. Суть такого приближения состоит в том, что для некоторых полей течений с характерным масштабом длины Ь в направлении координаты у и с относительной завихренностью ю, меньшей по величине чем /, отношение ю/Ь может быть сравнимо с //В, и в атом случае сравнимы между собой величины Рю/Р$ и Р//Рд Хотя теперь нельзя считать / постоянной в (7.7.8), можно воспользоваться аппроксимацией ь, (7.7.11) где р = 2И з1в Оо/В (р = 1,62 10 гв см т век т при О = 45', причем р ) 0 на обоих полушариях).
Всеми другими эффектами искривления слоя жидкости можно опять пренебречь при условии, что Ь ~ В; таким образом, можно считать, что течение происходит в плоском слое, который вращается относительно нормальной 699 Гя. 7. Вихревое теиеиие эффективно иевяткой жидкости к слою оси с угловой скоростью, линейно изменяющейся в направлении у (т. е. в направлении север — юг). Такое приближение обычно называется прибл гкением р-плоскости, Ретпения приведенных выше динамических уравнений были исследованы для многочисленных частных случаев и граничных условий; с некоторыми из этих решений мы сейчас познакомимся.
Геострофическое течение Путем анализа многочисленных распределений скорости ветра (измеренных на достаточно больших высотах, чтобы избежать влияния вязких и тепловых аффектов у поверхности Земли) метеорологи установили, что силы инерции часто оказываются значительно меньше снл Кориолиса. Если жидкость находится в установившемся движении по криволинейной траектории радиуса кривизны Ь со скоростью д, то отношение сил инерции и сил Кориолнса имеет порядок д//Ь; при Ь = 1000 км и / =- 1,03 10 ' сек ' (примерно для 6 = 45') мы имеем д//Л ж0,01 ° (д в и/сек). В обычных условиях характерное значение скорости в атмосфере д = 10 м/сек, а в океане значительно меньше. Таким образом, значения д//Ь, лленьшие единицы, можно считать типичными, Кроме того, отметим, что временной масштаб изменения скорости жидкости (осредненный по области с линейным размером порядка Н) обычно больше чем / '; он равен 2.7 час при О = 45'.
Течения, в которых силы инерции пренебрежимо малы, в литературе по геофизике известны как геострофические течения. В з 7.6 им соответствуют течения при малых числах Россби. Уравнения (7.7.5) и (7.7.6) в этом случае сводятся к уравнениям ( — —,, — ) р = р/(ие, — ие) (7.7.12) которые показывают, что градиент давления в горизонтальной плоскости всюду направлен по нормали к линиям тока. Метеорологи используют эти уравнения в основном для сравнения с результатами измерений, а не для определения течения в атмосфере. Измерения атмосферного давления в различных точках на поверхности Земли легко выполнить, а соответствующие горизонтальные' градиенты давления на достаточных высотах от поверхности, где движение не подвержено влиянию поверхности Земли, могут быть вычислены (при условии, что известна плотность воздуха на этих высотах); затем по (7.7 12) вычисляются компоненты гипотетического геострофического ветра, который аппроксимирует реальный ветер; точность этого приближения метеорологи могут оценить исходя из конкретных условий.
7.7. Дввжеаае жидкости в топком слое ва вращающемся шаре Когда силы инерции пренебрежимо малы, уравнение для завихренности (7.7.8) приводится к виду (7.7.13) отсюда следует, что строго геострофическое течение может осуществляться только тогда, когда вдоль траектории каждого элемента жидкости дно слоя опускается по направлению к ближайшему полюсу.
Если протяженность поля течения мала по сравнению с Я, так что изменение 7' пренебрежимо мало, то, согласно (7.7.13), величина Н для движущегося элемента жидкости должна быть постоянной; тем самым мы заново установили (вследствие (7.7.1)) результат, полученный в $7.6. й(ы там видели, что пренебрежение силами инерции не совместимо с существованием ненулевой скорости расхождения жидкости в плоскости, нормальной (постоянному) вектору угловой скорости, так как такому расхождению жидкости препятствуют силы Кориолиса. Обычный вид геострофического течения в атмосфере обладает приближенной симметрией по отношению к центральной области течения, в которой относительная завихренность не равна нулю к имеет один и тот же знак; такая масса вращающегося воздуха может образоваться в результате предшествующего передвижения массы воздуха с других широт, происходящего без изменения завихренности относительно некоторых фиксированных осей координат.
Если относительная завихренность имеет тот же знак, что и параметр Кориолиса / (т. е. если относительная завнхренность положительна с циркуляцией против движения часовой стрелки в северном полушарии или отрицательна с циркуляцией по движению часовой стрелки в южном полушарии), то силы Кориолиса будут направлены от центра рассматриваемой области (см. рис. 7.7.1). Такие течения называются циклонами и характеризуются ниакнм давлением в их центре. Течения, в которых относительная завихренность и параметр Кориолиса имеют разные знаки, — антициклоны — имеют в центре повышенное давление.
Циклоны часто сопровождаются сильными ветрами, для которых геострофическое уравнение (7.7.12) неточно. Обычным методом улучшения приближения служит предположение о том, что течение установившееся, а линии тока круговые с радиусом Ь; в результате этого силы инерции в (7.7.5) и (7.7.6) сводятся к центробежной силе дв/Ь, направленной по радиусу от центра; здесь да = из + й.
Линии тока и линии равного давления по-прежнему совпадают, однако местный градиент давления для циклона теперь равен (7.7.!4) 701 Гл. 7. Вихровов точении аффективно нонниной жидкости величина д, полученная из этого уравнения по наблюдаемым аначенням Ь и градиента давления, называется ерадиентнмм ветром. Течение над неровной поверхностью Земли /о+и /о (7.7.15) Ясно, что компоненты скорости и и и не зависят от у, так что имеем лв ! Н Лв о(Н, и Н вЂ” Но =У+Ь ) Н д.
НО (7.7Л6) 702 Непосредственное влияние медленного изменения толщины слоя Н в зависимости от координат, как зто следует из уравнения (7.7.8), состоит в изменении высоты и, следовательно, вертикальной компоненты абсолютной завихренности жидкого вертикального цилиндра малого поперечного сечения при его движении. Таким образом, когда масса жидкости движется по поднимающемуся основанию, абсолютная завихренность уменьшается по величине, а относительная аавихренность изменяется, уменьшаясь в северном полушарии и возрастая в южном.
Это изменение завихренности относительно поверхности Земли может привести к заметному отклонению потока, движущегося по наклонному основанию. В качестве простого примера влияния неровного основания рассмотрим установившееся течение через горный хребет, который имеет прямолинейные параллельные контуры высот (образующие) и расположен на некоторой высоте над основанием, где толщина слоя жидкости равна Но. Предположим сначала, что горизонтальная протяженность поля течения достаточно мала, чтобы можно было считать, что течение происходит в плоском слое с постоянным значением параметра Кориолиса 7' = 7о. Направление хребта на поверхности Земли несущественно, и мы можем считать его для удобства совпадающвм с направлением оси у (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
