Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Импульсивнее движение жпдкестп аУ 1 = — — — (2 с1Ь $ — 2 сЬ $ агс с18 зЬ $) = ($ ~ О или о ) а) = — — ( ( — — 1 ) — а го Вя ( —,, — 1 ) )- (и) а). (6.10.6) на границе жидкости создает в ней импульс давления. Задачи, связанные с мгновенным изменением скорости части границы, возникают в связи с ударом молота илн снаряда о свободную поверхность неподвижной массы жидкости. Рассмотрим, например, снаряд с плоской передней частью, который ударяет со скоростью У вдоль нормали к свободной поверхности полубесконечного пространства неподвижной жидкости, причем требуется определить распределение скорости в жидкости, и в частности на ее свободной поверхности, сразу после удара.
Итак, нам нужно определить потенциал скорости у движения сразу после удара (или, что одно и то же, импульс давления П = = — р~р) при следующих граничных условиях: а) и ~у = — У на части «свободной» поверхности, находящейся в контакте со снарядом; б) ~у = 0 на части свободной поверхности, не находящейся з контакте со снарядом (так как давление и импульс давления равны нулю на свободной поверхности); в) ~'Рр( = 0 всюду на больших расстояниях от снаряда.
Эта математическая задача эквивалентна определению безвихревого течения, создаваемого твердой плоской пластиной, движущейся в безграничной жидкости по нормали к своей плоскости со скоростью У, так как эта плоскость в данном случае одновременно является плоскостью антисимметрии потенциала ~р и на ней (за исключением самой пластины ) ~у = О.
Решение последней задачи известно для плоской пластины конечной ширины в двумерном случае (з 6.6), для плоского диска в трехмерном случае ($6.8) и для некоторых других форм пластин, имеющих меньший практический интерес. Для иллюстрации рассмотрим удар тела с плоской передней частью в виде круга радиуса а. Линии тока течения, возникающего вследствие удара, представляются одной половиной (например, при х)0) картины линий тока на рис.
6.8.2, афункция тока этого течения определяется формулой (6.8.32). На свободной поверхности, где х = 0 (х, и — цилиндрические координаты, использованные в $6.8), мы имеем ц = (1/2)п и и = а сЬ $, поэтому скорость после удара направлена по нормали к поверхности и имеет величину Гл. З. Теорггя оеввнхреного течения н ее приложения 1 1ж Р н с. ЕЛОЛ.
Вертяя*льная сворость на поверхностя жяднсстя сразу после прямого увара осесямметрячного тела с плоской носовой частью. à — ось симметрия; а-тело; 3-свободная поверхность. Это распределение нормальной скорости на поверхности жидкости изображено на рис. 6.10.1, где виден характерный концентрированный «всплеске вблиаи боковых сторон ударяющего тела. Соответствующий импульс силы, действующей на тело, направлен вверх и имеет величину л а ~ (П) о2яа сгп = — р ) (~р)л=о2пп Ып = — рав7/. (6.10.7) о о Здесь учтено, что на поверхности тела и = а з(п т~ и = — (2аУ/я)соз ц.
Эта формула следует также иа общего выражения (6 10.5) и результата (полученного в т 6.8) о том,что присоединенная масса кругового диска в безграничной жидкости (по обе стороны от диска) в направлении его оси равна (8/3) раа. Следует отметить, что движение, вызванное ударом тела с плоской передней частью, идентично (только в момент удара) первой половине) поля течения от плоской пластины, движущейся в безграничной жидкости.
6 11, Большие пузыри газа в жидкости Когда жидкость постоянной плотности содержит пузырь илн каверну, в которой плотность среды пренебрежимо мала, движение жидкости (газа) внутри каверны не оказывает влияния на течение окружающей его жидкости. Таким образом, мы получаем задачу о течении однородной жидкости со свободной поверхностью переменной формы, которая ограничивает каверну конечного объема. Масса газа в каверне может быть достаточно большой для того, чтобы его давление определяло объем каверны, как в случае газового пузыря, поднимающегося в воде под действием выталкивающей силы, илн же достаточно малой для того, чтобы давление газа было определяющим, как в случае (некоторых фаз движения) 584 Ел$.
Большие пузыри гвзв в жидкости пуаыря при подводном взрыве. Во всяком случае, основная математическая трудность обычно ааключается в определении формы каверны, и эту трудность можно преодолеть только в специальных условиях. Мы рассмотрим здесь «большиез пузыри гааа, на которые поверхностное натяжение влияет мало и для которых число Рейнольдса движущейся жидкости велико. Другие случаи течения жидкости со свободной поверхностью неизвестной формы будут описаны в $6.13. Пузырь в форме сферического сегмента, поднимающийся в жидкости под действием выталкивающей силы В З 5.14 было отмечено, что для малых пузырьков газа объема меньше 6 10 е смз, поднимающихся в воде, влияние поверхностного натяжения вполне достаточно для того, чтобы пузырек сохранял приближенно сферическую форму. Если объем пузыря в воде больше этой величины, то он под давлением воды сплющивается и поднимается, совершая колебания, о которых мало что известно.
Дальнейшее увеличение объема пузыря сопровождается постепенным уплощением его нижней части, и для объемов, больших 5 смз, для которых влияние поверхностного натяжения пренебрежимо мало, он принимает форму зонтика или сферического сегмента, как видно на фото 6.11.1 и 6.11.2. Движение пузыря в вертикальном направлении становится приблизительно установившимся.
Нижняя часть пузыря нестационарна и на краях сегмента появляются нерегулярные зааубрины, однако в противоположность этому вся его верхняя часть, по-видимому, стационарна, гладка и близка к сферической форме. Перечисленные свойства такого пузыря позволяют вывести простую формулу для постоянной скорости его подъема. Рассмотрим установившееся течение вблиаи критической точки на верхней части пувыря в связанной с ним системе координат и применим теорему Бернулли для линии тока на поверхности пузыря. Давление в воде на верхней части пузыря должно быть постоянным, поэтому (6.11 1) —. д, = у ( — г соз 6), е где Л вЂ” радиус кривизны поверхности пузыря в критической точке Я, а г, Π— сферические координаты с началом в центре крививны О для точки на поверхности пузыря (рис. 6.11.3).
Величина де — скорость воды на поверхности пузыря, и при больших числах Рейнольдса, соответствующих этому течению, она, по-видимому, зависит только от размера пузыря, его формы и скорости У, с которой он поднимается в воде. В пределах достаточно малой окрестности критической точки скорость д, изменяется в зависимости 585 Гл. 6. теория беввидревого течения и ее приложения Р м с. ельэ.
схеме течеммя прв подъеме в жвдвсств пуемря в вице сфервчссвсго ссгмевте. от расстояния до точки Ю по линейному аакону (см. (2.7. И)), и можно написать дв = аУО, (6.И.2) где а — безразмерная постоянная, аависящая только от формы пузыря. Из соотношения (6.И.1) видно, что его правую часть можно разложить в ряд по степеням О, полагая г = Л + О(0*) (6.И.З) (члены порядка О и Ое равны нулю по определению В), после чего получим ае(ге = РВ. (6.И.4) Равенство (6 И.4) точное, но дальнейшее продвижение требует оценки коэффициента формы а.
Фотографии течения эа большими пузырями (см. фото 6.И.2) показывают, что отрыв пограничного слоя на верхней части пузыря происходит по зазубренной кромке (причины отрыва не совсем ясны; потеря количества движения в слое на поверхности нулевого напряжения обычно недостаточна для появления обратного течения и отрыва, и, по-видимому, острый край сферической поверхности играет важную роль в этом явлении); кроме того, отошедший пограничный слой находится приблизительно на той же самой сфере, что и верхняя часть пузыря, во всяком случае, до максимального поперечного сечения, за которым вихревой след, по-видимому, совершает колебания. Тот факт, что внутренняя граница области безвихревого течения в общем является сферической, дает возможность оценить величину о„ Е.И.
Большие эувмрв газа в жидкости как если бы пузырь был частью сферы радиуса В, движущейся в невязкой жидкости; в этом случае 3 7, = — (/э(п О д= н а = 3/2. Из равенства (6.11.4) мы находим, что (/ = — (яЛ) 2 1ш 3 (6.11.6) 587 Эта зависимость проверена экспериментально в широком диапазоне изменения размеров пузырей и для нескольких различных жидкостей, и установлено, что она весьма точно выполняется для объемов пузыря, болыпих 2 ем*. Кроме того, такие же наблюдения (Дэвис и Тейлор (1950)) показывают, что угол Оо, определяющий край сегмента, находится приблизительно в интервале между 46 и 64' без какого-либо заметного систематического изменения с изменением объема пузыря.
Среди других приложений формула (6.11.6) дает в первом приближении скорость подъема облака сильно нагретого газа, возникающего при взрыве атомной бомбы, в зависвмости от наблюдаемого диаметра (после того как облако поднвмется над землей и скорость его подъема станет стационарной). Существенное соображение, лежащее в основе равенства (6.11.4), ааключается в том, что линейная зависимость статического давления в жидкости от вертикальной координаты совпадает с локально квадратичной зависимостью от расстояния до наивысшей точки ъ' криволинейной поверхности, изображенной на рис. 6.11.3; поэтому изменение давления на поверхности пуаыря, обусловленное силой тяжести, может компенсироваться динамическим давлением (1/2) рде, когда д, зависит линейно от О, как это происходит в том случае, когда точка Я совпадает с критической. Это соображение применимо в самых рааличных условиях, и приведенные выше формулы могут быть обобщены в различных направлениях.
Вместо ограничения, состоящего в том, что плотность р жвдкости внутри пузыря должна быть мала по сравнению с плотностью р окружающей его жидкости, мы можем сделать более общее предположение, что изменение динамического давления (1/2)Рде внутри пузыря мало по сравненню с таким же давлением вне его. Тогда коэффвциент я в равенстве (6.11.4) заменяется на коэффициент я (р — р)/р, пригодный также и при отрицательных значениях разности (р — р), Если жидкости в целом сообщается постоянное ускорение 1, то коэффициент я в равенстве (6.11.4) заменяется на (й — 1~ и другие изменения не требуются.
Еще одно интересное обобщение относится к случаю пузыря (или екаплиэ, если р ( р), который двнжется с ускорением относительно окру- Гл. З. Теория безвихрееого течения и ее приложения жающей его жидкости, приближенно сохраняя свою форму вместе со следом. Тогда в левую часть уравнения (6.И.1) нужнодобавить член дф/дг, где ф — потенциал скорости течения относительно пузыря (вблизи 0 = О потенциал скорости ф ж (1/2)аПОеВ), и нужно учесть силу внерции — бП/йе на единицу массы всей жидкости. Рассматриваемый случай особенно интересен, когда производная йП/Й по величине аначвтельно больше у, как, например, когда капля воды помещается в поток воадуха болыпой скорости; при этих условиях равенство (6.И.4) заменяется на уравнение а —, + аЧ/е = В— (6.И.7) Поскольку для капли воды в воздухе р(( р, то решение этого уравнения вмеет вид В~ 1 (6.И .8) Наконец, на фото 6.И.2, в показано, что соотношения, подобные (6.И.5) и (6.И.6), применимы и к двумерному пузырю, только при атом коэффициент 2/3 в формуле (6.И.6) ааменяется на 1/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
