Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 124
Текст из файла (страница 124)
б. Теория беевихревого течевия и ее приложения причем постоянное значение $ = $е на эллипсоиде определяется (см. (6,6.13)) уравнением езе= т а+Ь а — Ь Условие (6,8.12), которому должна удовлетворять функция ф на внутренней границе, ваключается в том, что при $ = $е функция тока ф = — У (ие — Ь') вЬ' $ в(пе 8.
$ 2 Это наводит на мысль, что решение уравнения (6.8.28) можно искать в форме ф = Р(з) в)псе(. (6.8.29) 11осле подстановки атой функции ф в уравнение (6.8.28) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции и (з); путем его интегрирования и выбора двух постоянных на основании внутреннего и внешнего граничных условий можно получить искомое решение — УЬе (ае — Ье) ете и (сЬ $+вЬе $1п (Ь $/2).
а (ае — Ье)Ы +Ье(п ~ Ь (6.8.30) Чтобы получить течение, вызванное сплюснутым эллипсоидом вращения, движущимся вдоль оси симметрии, нужно начать с преобразования к эллиптическим координатам, определяемого функцией х-'- (о=-~ ае — Ь'вЬ($+ 18); координата $ в данном случае постоянна и равна $е на поверхности зллнпсоида, полученного вращением эллипса с полуосями а и Ь соответственно относительно его малой оси Ь. Выражение (6.8.29) для функции тока снова дает решение, соответствующее (поскольку речь идет о зависимости от г() внутреннему граничному условию, и, действуя таким же способом, как и раныпе, мы получаем искомое решение ф= 0,, " (вЬс — сЬе$агсс(йвЬ$). (6.8.31) Ь (аа — Ье) с З вЂ” ае агс сое Ыа Теперь можно без труда найти потенциалы скорости, пользуясь любым из двух соотношений ар ( ар ар ( ар а1 о ач' ач о а1' Однако мы не будем приводить их здесь; очевидно, что потенциал скорости ~р пропорционален сов т(.
564 8.8. Осесныыетрячное течение, вызванное дан жением тела Р и с. О.О.2. Ладан тока в осевой плоскости (приращении функции тока ф одикаиоам) в случае Сезевхреаого течения. вмзааяпого круговым диском, движущимся по нормаля к своей плосисстк. Когда (а — Ь)/а -+ 0 (что эквивалентно $О -м оо), оба эллипсоида становятся сферами радиуса а, и можно показать, что оба решения (6.8.30) и (6.8.31) сводятся к уже определенной ранее функции тока (6.8.15) для сферы.
Другой предельный случай решения (6.8.31) при Ь = 0 ($О = О) дает беэвихревое течение, выэванное круговым диском радиуса а, движущимся по нормали к своей плоскости. В этом случае функция тока аау/ — — (эЬ $ — сЬ' $ агс сгя эЬ |)э1па т), (6.8.32) а линии тока изображены на рис. 6.8.2. Потенциал скорости на поверхности диска, найденный укаэанным вьппе способом, сводится к ге// гр = — — сов т), л и поэтому кинетическая энергия жидкости Т = — — РУ) ~ ()Р) 2 О и ) ИА = 2 о = — лрг/ ((гу)а=Π— (гр)$-О ) г) ао = О<а<я)2 д72<ц<и я/2 а т = — 4р 'Т/' с 'т)э(п у) Ау)= — р Таким образом, присоединенная масса диска в направлении его движения равна (8/3) рав.
Скорость жидкости бесконечна на кромке диска, и сильное уменьшение величины скорости после обтекания 565 Гл. 6. Теории беаеихрееого течения и ее приложения кромки делает это безвихревое течение малопригодным для приложения к реальным течениям; однако решения для безвихревого течения имеют обыкновение неожиданно появляться при разных обстоятельствах, и в 3 6.10 мы увидим, что это частное решение применимо к движенню, возникающему при ударе плоского круглого диска по поверхности воды.
Тема, обрасуемме источнииомеи на оси силиитрии Свойства особенностей типа точечного источника, рассмотренные в 3 2.5, могут быть использованы для построения осесимметричных течений частного вида, которые могли бы вызываться движущимся телом, хотя форму тела нельзя выбирать произвольно (за исключением тонких тел, см. $6.9). Основа метода состоит в следующем. Если некоторое число точечных источников и стоков (возможно также их непрерывное распределение) расположено на оси симметрии в жидкости, покоящейся на бесконечности, а их суммарная интенсивность равна нулю, то все линии тока, выходящие из источников, оканчиваются в стоках.
В некоторых обстоятельствах (которые не так просто сформулировать в общем виде) это свойство сохраняется также тогда, когда на течение от источников и стоков наложено равномерное течение, параллельное оси. Тогда в осевой плоскости суммарного течения будет одна замкнутая линия тока, которая окружает источники и стоки и которая отделяет линии тока, выходящие иэ источников, от линий тока, приходящих из бесконечности, где скорость постоянна; можно считать, что эта линия тока образует поверхность неподвижного твердого тела вращения, обтекаемого однородным потоком, а распределение скоростей можно определить как результирующую индуцированных скоростей всех источников и стоков и однородного потока.
Если в простейшем случае поместить на оси один источник интенсивности т и один сток интенсивности — т (источник вверх по потоку от стока), то очевидно, что никакая из линий тока, приходящая из бесконечности, не попадет в сток, а разделяющая линия тока будет замкнутой. Функция тока течения от источника интенсивности т в начале координат есть — (т/4я) соз О. Следовательно, для источника интенсивности т при г = И, О = О, для стока интенсивности — т при г = И, О = я и для однородного потока со скоростью У в направлении О = и (при этом в системе отсчета, связанной с жидкостью на бесконечности, тело движется в направлении О = О) получается ф = — — соз О, + — соз Оз — — Юге з)п* О.
(6.8.33) 4н 4н 2 Принятые обозначения указаны на рис. 6.8.3, на котором изображены также линии тока для одного частного случая. Замкнутая 566 С.Э. Осеснмиетрвчное течение, вмазанное движением тела Р и с. В.В.З. Ливни тока течения а осеаоа плоскости, еоаниивощего в реатлатате валоиввия течевва ст точечного всточвика, от точечного стока равной ивтевсиавссти в одно- родного потока. линия тока, которая изображает поверхность тела, имеет другую ветвь на оси симметрии вверх и вниз по потоку от тела, где гг = О, поэтому профиль тела определяется уравнением 2яс/ва га . а Е,—.
6,= — — э(п'Е. ла аа (6.8.34) Итак. получено семейство возможных форм тел, известных как олоиды Равнина (Рэнкин (1871)), соответствующих различным значениям безразмерного параметра (/йт/т. По мере того как параметр с/Р/т убывает от болыпих до малых по сравнению с единицей значений, форма тела плавно меняется от длинной узкой сигарообразной формы до несколько сплюснутой сферы.
Когда (/йаlт (< (( 1, поверхность тела приближается к сфере радиуса (вгг(lяЩма, который велик по сравнению с г(; совместное влияние источника и стока в точках вне поверхности тела приближенно такое же, как диполя источников (см. $2.5) интенсивности 2тг1 в начале координат, расположенного вдоль оси симметрии, о чем уже можно было догадаться при сравнении выражений (2.5.3) и (2.9.26). Некоторые общие результаты можно установить в случаях, в которых наличие тела в потоке можно заменить непрерывным распределением источников вдоль части оси симметрии. Предположим, что интенсивность источника на отрезке оси от х до х + бх равна т(х)бх и т(х) = О вне определенной конечной области значений х. Тогда потенциал скорости течения есть + (р (х) = — ( *,, (6.8.35) (ге+я'а — агх' сое 0)па его же можно записать на основании известных свойств полиномов Лежандра в виде (Ю гр(х) = ~ Аяг-в — 'Ра(р).
(6.8.36) =о 567 Гл. З. 'Геория беевихревого течения и ее приложения Коэффициенты ряда К„определяются интегралом К„= — — ) х"т(х)дх. 1 4л СО Из выражения (6.8.2) следует, что этот ряд есть частный случай для осесимметричного течения из общего разложения (6.4 1) по сферическим функциям. Коэффициент Ко ряда (6.8.36) равен величине ( — 1)"н(, умноженной на тензорный коэффициент н-го порядка сея в разложении (6.4.1), при этом все индексы г', у,... принимают одинаковое значение, например 1, что соответствует направлению оси симметрии. Первым ненулевым коэффициентом является К„ так как поток массы через поверхность равен нулю, а + с1 =- — К,= — ~ хт(х) г1х.
(6.8.37) Теперь можно использовать выражения кинетической энергии жидкости и присоединенной массы, полученные в $6.4, и вычислить этн величины для поступательного движения осесимметричного тела в зависимости от коэффициента со Полубееяонечнме тела Когда источник и сток на рис.
6.8.3 расположены достаточно далеко друг от друга (точнее говоря, когда Паейн )) 1), линии тока всюду приближенно параллельны оси симметрии, исключая области вблизи источника и стока; соответствующая поверхность тела, определяемая уравнением (6.8.34), аппроксимирует цилиндр со скругленными концами. Определим более подробно течение вблизи передней части тела (это единственная область установившегося обтекания тела с продольной симметрией, которая является безвихревой на практике), предполагая, что источник расположен на бесконечности вниз по потоку и тело имеет полубесконечную длину. Целесообразно совместить начало координат с источником, и тогда ф = — — соз 6 — Уг згп О; Ш е ' е 4п 2 (6.8.38) соответственно уравнение, определяющее контур тела, принимает вид — (1 — созО) =г'з1п'6.
злГГ 568 Изменение параметров т и У приводит только к изменению масштаба течения в целом, и единственная форма тела изображена на рис. 6:8.4. Полный объемный поток т от источника на достаточ- 6.8. Осеснммегрнчное теченне, ныапанное движением тела / / / / Р н с. 8.8лм Обтенанне полубеснонечного тела, полученного путем наломеннл теченнн от точечного нсточннна н однородного патона. г — нонтрольнал поверхность. ном удалении от него пересекает любое поперечное сечение тела со скоростью гр', так что радиус цилиндрической части тела равен (тгп у)ма. Очевидно, что радиус цилиндрической части других полубесконечных тел, получаемых иа распределения источников и стоков на участке оси симметрии конечной длины с суммарной интенсивностью источников т '-» О, будет равен (ла/ягг')г~а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
