Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 123
Текст из файла (страница 123)
Функция тока течения в системе координат, движущейся вместе со сферой, получается путем добавления слагаемого — тlйУгт з(пв 0 в правой части равенства (6.8.15): (6.8.16) соответствующие этому течению линии тока представлены на рис. 6.8.1. Продольная симметрия спектра линий тока не воспроизводится на практике, когда сфера движется с постоянной скоростью (ср. с фото 5.11.7), однако, как уже объяснялось ранее, она отражает реальные свойства течения, возникающего сразу после начала движения сферы из состояния покоя, или же течения, обусловленного быстрым колебательным движением сферы относительно стационарного среднего положения. Кинетическая энергия жидкости, обусловленная движением сферы, находится с использованием решения (6.8.13): Т= — — рУ~ ') ®, лги= — праВУ'.
(6.8.17) следовательно, тензоРные коэффициенты бй~н опРеделЯемые Равенствами (6.4.15) и (6.4.16), таковы: аы = — бвтч (6.8.18) Из формулы (6.4.28) следует, что реакция на ускорение сферы 559 Гл. б. Теория безвихревого течения и ее приложения направлена параллельно (и противоположно) вектору Й, независимо от направления самой скорости Ю, и что влияние жидкости на движение сферы под действием приложенных к ней сил оказывается таким же (без учета силы плавучести), как если бы масса сферы увеличилась на половину массы вытесненной жидкости. Обтекание сферы жидкостью встречается во многих практических задачах о движении твердых или жидких сфер в газообразных средах либо твердых сфер или сферических пузырей в жидкости, и приведенные выше формулы имеют широкое применение, несмотря на ограничения, свяванные с предположением о безвихревом течении.
Отметим вкратце существо некоторых приложений, касающихся свободно движущихся сфер. Рассмотрим сначала уравнение движения сферы массы М, находящейсн в безвихревом движении со скоростью П в безграничной жидкости под действием приложенной силы Х и с учетом силы тяжести, действующей непосредственно на сферу и косвенно — на силу плавучести, а именно МП=Х вЂ”,' М,П+Мб — М,о, (6.8.19) где Ме = (4/З)лавр — масса жидкости, вытесненной сферой. Особый интерес представляет движение сферы под влиянием одной только силы тяжести, при котором имеем (6.8.20) Эта формула справедлива в ограниченный период времени с момента начала ускоренного движения сферы из состояния покоя в неподвижной жидкости. При М )) Ме жидкость оказывает малое влияние на начальное ускорение сферы; но если М(( Ме, то Й = — гб.
(6.8.21) Таким образом„сферический газовый пузырек в воде движется иэ состояния покоя с направленным вверх ускорением 26, и так как в атом случае отрыв пограничного слоя, по-видимому, не происходит (в жидкости без примесей), то пузырек сохраняет это ускорение до тех пор, пока он не деформируется или пока скорость не станет сравнимой с предельной скоростью, рассмотренной в $5.14. Представляют интерес задачи, в которых сфера приводится в движение относительно жидкости при прохождении через жидкость звуковой волны. Предположим, что радиус сферы мал по сравнению с длиной звуковой волны и что жидкость в окрестности сферы при ее отсутствии имеет скорость У.
Ускорение этой жидкости (также при отсутствии сферы) равно приближенно У, причем для звуковой волны конвективный член (У У) У прене- 560 Е.Э. Осесимметричное течение, иыоиаиное движением тела о М'о (П У) + .догоУ (6.8.22) где П вЂ” скорость сферы в системе координат, движущейся беа ускорения; это, конечно, просто частный случай общего уравие- ~ив (6.4.30). Интегрирование уравнения (6.8.22) дает (за) и М+Мо'з (6.8.23) причем постоянная интегрирования принята равной нулю в предположении, что ~е происходит дрейфа сферы череа жидкость. Выражение (6.8.23) применимо к колебаниям малой сферы, взвешенной в жидкости, через которую проходит авуковая волна, если частота колебаний достаточно велика, чтобы толщина завихренного пограничного слоя была малой (см.
у 5.13). Если плотность сферы больше плотности жидкости, то амплитуда колебаний сферы будет меньше, чем амплитуда колебаний окружающей ее жидкости; если сфера легче жидкости, то оиа будет совершать колебания с большей амплитудой, чем жидкость. Один из способов визуализации движения частиц воды в большом баке со свободной поверхностью, через которую выстреливается снаряд, заключается в предварительном распределении по всему объему жидкости малых пузырьков воздуха и в фотографироваяии процесса их вмпульсивпого движения.
Пузырьки воздуха получаются ~а фотографии в виде полосок, направление которых совпадает с направлением локального смещения воды, и вырая'ение (6.8.23) показывает, что длина полосок должна быть приблизительно з три раза больше смещения частиц воды. Дальнейшее приложение изложенных выше идей связано с задачей о сближении и слиянии газовых пузырьков в жидкости, когда оии совершают колебания в одной фазе.
Каждый колеблющийся пузырек порождает в окружающей его жидкости ускоренное движение в радиальном направлении, и два соседних пузырька влияют ~а движение друг друга. В данном случае нам нужна более общая форма уравнения (6.8.22), в которой учитывается изменение присоединенной массы 561 ге-оогг брежимо мал. Выберем теперь систему координат, движущуюся со скоростью У и ускорением У, учитывая, что в уравнении движения жидкости появится сила инерции — У, ичто она приведет к силе плавучестяМоУ, как объяснялось в з 6.4. При безвихревом движении жидкости уравнение свободного движения сферы в отсутствие других приложенных сил и беэ учета силы тяжести записывается в виде Гл.
6. Теория беаеихрееого течения и ее приложения Ме, а именно М Ыг/ 1 Ы(Ма(п — 7В +М Ы~' (6 8 24) и 2 ш ен,. В случае пузырька газа в жидкости М(( Ма, поэтому Таким образом, если скорость У периодична при нулевом среднем значении, а М, периодична с относительно малой пульсационной частью, то пульсация Ю приближенно равна ЗУ и среднее значение ускорения пузырька Й аа один цикл равно величине — 2 (УМе)среде/(Ма)арада~ которая может быть отличной от нуля.
В частности, если два сферических пузырька, расположенных на расстоянии г друг от друга, вытесняют массы жидкости плотности р, равные соответственно р(и,+и,'з(ппг) и р(их+и,'з(пл1), где и', (( о, и и,'(( па, то первый пузырек в месте расположения второго вызывает приблизительно однородную скорость жо„соз (лг)/4яга, и поэтому среднее ускорение второго пузырька вдоль соединяющей их прямой равно — лаиРа/4пгапа, (6.8.25) причем отрицательный анан укааывает, что ускорение направлено к первому пузырьку.
Такое притяжение между двумя пузырьками (или между одним пузырьком и плоской границей) приводит в конце концов к установившейся скорости дрейфа каждого пузырька, поскольку силы вязкости препятствуют их перемещению. Сила притяжения обычно очень мала, хотя благодаря ее появлению можно использовать ультразвуковые колебания жидкости для очистки жидкости от малых пуаырьков газа. Эллилсаидм врап1ения Простейшим осесимметричным телом, более сложным по форме, чем сфера, является эллипсоид вращения. Первый шаг, который оказывается полезным в данном случае, состоит в преобразовании неаависимых переменных (х, о) в основных уравнениях движения (6.8.9) или (6.8.11) к эллиптическим координатам ($, д) так, чтобы координата $ оставалась постоянной на эллипсе в плоскости, проходящей через ось симметрии, и на любом софокусном эллипсе, 562 6.8. Осесииметричное течение, вы»»«иное движением тела а координата 2~ монотонно иэменялась от О до 2я на любом иэ этих эллипсов $ = сонэ«.
Соответствие между «плоскостями» (л, о) и ($, ц) конформно (см. $6.5, 6.6) и, хотя несколько неожиданно, что общие свойства конформных отображевнй играют некоторую роль в этом анализе, мы примем, что зависимость между (л, а) и ($, т~) имеет вид л-~- »о =1($+ 2ц). (6.8.26) Чтобы получить уравнение движения в координатах (6, ц), мы воспользуемся выражениями компонент скоростей в осевой плоскости через функции ~р и ф: ад 2 а» 2 ар 1 н« = — — = — —, и„= — — =- — — †.
(6.8.27) = а, а~ оа„ан' Е= а„дя оа, а~' Здесь Ь«6$ иЬ„бц суть длины линейных элементов, соответствующих малым изменениям только переменных 6 и 2) соответственно, и можно по обычным формулам определить (дл)2 (де ~2 Ь, (де~2, ( де )2 кроме того, так как (л+ «а) представляет собой аналитическую функцию от (6 -~- 2т1)., то иа условий Коши — Римана для переменных (х, о) и ($, »)) следует, что Ь2 = Ь„. Если теперь переменные (6, ц) и аанмутальный угол (для которого соответствующий параметр Ь равен и) рассматривать в качестве новых ортогональвых криволинейных координат, то выражения операторов Ч в и Ч х и в этих координатах (см.
приложение 2) совместно с равенствами (6.8.27) дают уравнения движения для <р и ф соответственно. Функция тока ф окааывается более удобной, чем ~р, так как она удовлетворяет более простому соотношению на внутренней границе. Приравнивая нулю азимутальную компоненту завихренности, получаем д (2»ие) д (Ь«е«) д д или (6.8.28) где переменная о свяэана с переменными $ и «~ формулой преобразования (6.8.26). В случае в»ипянутаео эллипсоида, который получается путем вращения эллипса с полуоснмн а) Ь вокруг его большой оси, это преобразование имеет вид х+ »о= у'а~ — Ь»сЬ($+ »ц), 563 30е Гя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
