Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 127
Текст из файла (страница 127)
Теперь мы можем предположить, без какой-либо потери общности, что это модифвцированное распределение — нечетная функция от 6 с периодом 2я, так что з Г=-Аой'(я — + И'~~~~ А„в1пп6. (6.9.8) и ! Написанная функция удовлетворяет требуемому условию плавного обтекания кормовой кромки. Подстановка ряда (6.9.8) в уравнение (6.9.5) дает л Ю а+ — = — — ) (Ао гя — + ~2 А„в)ппб') Вр, ! Г) 0,, Мпев г(л 2л,) ~ 2 ! соа 0' — сов 0 о 1 зз ! =2„Ао( — 76+71)+6„~~„Ая( — 7 !+7 т!), и=! где принято обозначение табличного интеграла ') Г сов л0' г(0' вш п0 ') Интеграл ул рассматривается в смысле тзн называемого главного аначеняя, олределяе- 6 — е л мого предельным переходом пш ( ) + ) ), так что бесконечно большие авачее-'О 6 6-1-с ния подиитегральноа фунипия в первом я втором слагаемых пря 6 = 6' взаимно укпчтожаются.
пря л = о я о ~ 6 < л имеем 1е= — Иш 1п 1 ) в)п(6+В П2 )6-з аш(6+6)/2 )л +1п =о. Мое е С '( з!п(6-6'))2 )6' О а1в(6' — вн2 16'=6)а) К!кже того, и = и+ 1, соз 6 = л, и рекурреячкая формула )нег.)1„! = Ш„соаэ(я> !) дает приведенный з тексте реаультат. 578 6.9. Приближенные реаультаты для тонких тел Следовательно, +Аа = 2 + 2,5', А„СО ВО, Ау! Ао 1 н=! (6.9.9) и поэтому коэффвциенты Ао~ А(>... явно выражаются черен форму профиля ') Ао = 2(х+ — „) — „, ()О, Ан — — — „— соэ лО ИО (л-ь О).
(6,9АО) о Характерной особенностью течения, представляющей наибольший интерес, является полная циркуляция вокруг движущегося профиля и соответствующая ей подъемная сила. Для коэффициента подъемной силы получается выражение Подъемная сила 2 ! Г, (((2)рИ с =)Ус 3 о =я (Ао+ — !) =2ла+2 ~+($.+-сонО)ИО. (6.9А1) о Чтобы вычислить момент силы, действующей на профиль, надо рассмотреть элемент бх вихревой пелены, который соэдает подъемную силу ргРГ6х. Тогда безраэмерный коэффициент момента относительно передней кромки Момент 2 (См)псредн. нр = (1/2) р)увса 5'св,) = — — ( (с — х) Г(х)(эх= о я ( = — ~ (А + А! — — ) = — — — 1 — соэ О Н+ сон О) ИО.
(6.9А2) лш Г с)у! сл с г()= — $/' — ~ 2гу / * !' а+Ау/Ал' — Гс — а' У вЂ”,Ас = — я~с — а~ .-л У о а+ Уу(/Аа' О 4И ел гс 2 ~ сов о'-сов е сов э где внтегралм понимаются в смысле главного значения (см. Л. и. Седов((Осе)). — Прои. рсо. 579 37е !) автор. сленга Рлатвртт ИОЭ!), ашет фгнкпшо Г (а) в Форме ряда (Э.О.О). Иначе решенно анчегрального травнеаия (В.В.Э) может быть получено непосредственно в квадратурах. Такое ршвение.
ограниченное прв х О, имеет в|ш Гл. 6. Теория бозннхреного течения я ез приложения Таким образом, для многих практических целей достаточно численно определить только один или два интеграла, зависящих от формы профиля. Точность этих реаультатов для тонких профилей может быть проверена путем сравнения с точными результатами из э 6.7 для профилей Жуковского, полученными методом конформного отображения.
Для симметричного профиля Жуковского, основа которого представляет собой плоскую пластину, было установлено, что коэффициент подъемной силы (см. (6.7.13) — реаулътат не точный, но вполне пригодный для сравнения) равен 2яз(пгх ~1+0,77 " ), в то время как выражение (6.9.11) иа теории тонкого профиля дает его аначение 2яа, не зависящее от толщины. Для профиля с нулевой толщиной в виде дуги окружности из множества профилей Жуковского с изогнутой средней линией, рассмотренных в з6.7, было найдено, что коэффициент подъемной силы (см. (6.7 14)) равен з п(а+В) ооз В где 2 — угол между хордой профиля и касательной к кормовой кромке; в то же время из выражения (6.9.11) после неболъших вычислений для р (( 1 получается Съ — — 2яа+ 2 з(п 26 ') оозз О сВ (1 — з(пз 2В оозз 6)пз о 2я (а+ 6) -(- ЗяВз Итак, в каждом случае главный член получается точным, 6.10, Импульсивное движение жндкостя В некоторых обстоятельствах ускорения границ и жидкости имеют болыпую величину в течение очень короткого промежутка времени, и мы можем рассмотреть предельный случай импульсивного (ударного) изменения, как это делается в задачах механики твердого тела.
Массовые силы большой величины непосредственно на жцдкость не действуют, однако мгновенное изменение в движении границ будет создавать бесконечно большие градиенты давле- 580 ЕЛО. Иииуиьсивиое движеиие жидкости яия, которые в свою очередь порождают мгновенное изменение скорости каждой точки жидкости.
Ни скорость грашщы, ни скорость жидкости не становятся большими во время такого изменения, поэтому члены в уравнении движения жидкости, содержащие только скорости или их пространственные градиенты, пренебрежимо малы по сравнению с членом дп/дб Таким образом, приближенная форма уравнения движения (беэ ограничения на вязкость жидкости!) в процессе мгновенного изменения имеет вид ди 1 — =' — — чр.
ю Р Эти два остающихся члена уравнения имеют большую величину в течение короткого промежутка времени, и зависимость между скоростью жидкости и' сразу перед началом такого изменения и скоростью и' в той же самой точке сразу после изменения определяется уравнением (6.10.2) где величина (6.10.3) может быть названа импульсом давления. Давление р отлично от нуля перед и после импульсивного изменения, однако интервал интегрирования в (6.10.3) мал (он равен продолжительности внезапного изменения), и поэтому предполагается, что начальная и конечная величины давления р существенного влияния на значение интеграла не оказывают. Важное свойство движения, описываемого уравнением (6.10.2), состоит в том, что если распределение скорости в жидкости до начала действия импульса было безвихревым с потенциалом скорости ~р', то после импульса оно оказывается также беэвихревым (как и следовало ожидать, исходя иэ того, что условия теоремы Кель- вина о циркуляции удовлетворяются в ходе процесса внезапного изменения) с потенциалом скорости (6.10.4) р=р — — П.
Р Это соотношение позволяет нам дать физическое объяснение потенциала скорости. Потенциал скорости у данного распределения скорости безвихревого течения можно рассматривать как увеличенный в ( — 1/р) раз импульс давления, требуемый для возникновения данного движения из состояния покоя, или, иначе говоря, как увеличенный в (1/р) раз импульс давления, требуемый, чтобы перевести это движение в состояние покоя. Никакое вихревое дви- 581 Гл. 6. Теория беввихревеге течеяия и ее ирилежеяия жение не может возникать из состояния покоя или переходить в состояние покоя под влиянием импульса давления.
Такая же интерпретация потенциала скорости следует из выражения полной кинетической энергии жидкости через интегралы по гранвцам. Мы можем считать, что данное безвихревое движение возникло на состояния покоя под действием импульсивного движения границ; в таком случае средняя (между начальной и конечной) скорость элемента ЬА границы равна и/2 и работа, совершаемая этим элементом границы против импульсивного давления, развиваемого жидкостью, по обычной формуле механики равна (1/2) и пбА х (Импульс силы на единицу площади границы) = = — (1/2) (ирн. вЬА, где нормаль и направлена внутрь жидкости. Полная кинетическая энергия представляет собой сумму таких слагаемых от всех частей граннцы жидкости, включая гипотетическую границу на бесконечности, если жидкость простирается в бесконечность; это учитывалось при выводе формулы (6.2.6).
В частном случае тела, движущегося в жидкости, покоящейся на бесконечности, влияние большого давления, создаваемого в жидкости на поверхности тела с помощью любого мгновенного изменения скорости тела, очевидно, связано с реакцией 0 на ускорение ($ 6.4). Предположим, что поступательная скорость тела быстро изменяется от Ю' до П", причем это изменение сопровождается заменой потенциала скорости жидкости ~р' на ~р". Тогда 3-я компонента импульса силы, действующего на тело в результате такого изменения, равна — ~ Пп;ЙА= — р ~ (гр' — ~р")п~дА= = — р ~ ((/' — г/)) Фт.
АА = р)гоаб (с/; — Пгс), (6.10.5) где интегрирование проводится по поверхности тела, а обозначения Фп 'и'е и а» те же, что и в $6.4. Из выражения (6.4.28) следует, что нмпульс силы, денствующий на тело, как и следовало ожидать, равен ) 6, й. Как уже отмечалось в связи с (6.4.29), величина р'г'ессыс// представляет собой импульс, который нужно сообщить твердому телу, чтобы создать из состояния покоя беэвихревое течение, соответствующее движению тела со скоростью О, Удар гасла о свободную поверхность жидкости Так как беэвихревое движение однозначно определяется заданными значениями нормальной компоненты скорости в каждой точке границы жидкости, то изменение этой компоненты скорости ЕЛО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
