Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 125
Текст из файла (страница 125)
Так как в передней части рассмотренных полубесконечных тел существует критическая точка, то можно было бы подумать, что на них в установившемся течении действует ненулевая сила сопротивления. На самом деле это не так, поскольку скорость жидкости на скруглениях тела превосходит У, и соответствующее падение давления компенсирует его увеличение вблиаи критической точки. Независимо от формы закругленной носовой части тела силы давления уравновешиваются, что можно показать с помощью уравнения количества двюкения в интегральной форме. В качестве контрольной поверхности выберем часть сферы радиуса Л с центром, совпадающим с точечным источником, который находится в жидкости (см.
рис. 6.8.4), а также участок поверхности тела от его носовой части до пересечения со сферой. Полная сила, действующая в осевом направлении на окруженную контрольной поверхностью жидкость за счет давления на ее сферической части, равна и-бе — 1 е л (р,р е ри е ррг+,Ч) ° е. еее, где и, р — компоненты скорости жидкости на сфере, соответственно параллельные и перпендикулярные оси, ре — давление в жидкости далеко от тела, Оо — половина угла раствора конуса с вершиной в источнике, опирающегося на окружность, по которой сфера пере- 569 Гл. Е.
Теория боавяхрового течения и оо приложвяия секает тело, В з(п Оо — — (тЪУ)нв. Теперь, если т — суммарная интенсивность источников на оси, которые порождают разделяю- щую линню тока (поверхность тела), то при больших В имеем ю ею — з1п 0 4ядв Уирвжисиив Предполагая, что в решении сферические координаты г и 0 разделяются, покажите, что осссиммстричвоо боввихрввос течение вблизи вершная конуса имост потенциал скоРости ф гмр,„фх), где и = сов 8, Рю (Р) — фУнкциЯ Лежандра первого рода, в показатель стопоии ю определяется ив уравнения чрт (И) — =0 при и= — соэ8с ($$ 1 где 0с — угол между осью конуса и одной вв ого образующих (( ( ю ~ 2). 6.9.
Прибяижеииые результаты дяя тонких тел В случае тел, длина которых велика по сравнению их шириной и которые движутся через жидкость, покоящуюся на бесконечности, существует простой приближенный метод определения соот- 570 и ж — У+ — сов О, 4ялв и в пределе при В-ч- оо ннтересующая нас сила равна ю 1 — ро — — — Ртц.
и 3 Аналогично полный поток количества движения в направлении оси тела через контрольную поверхность есть л-ес р ) и(исозО+из1пО)2пВсз(пОЫО-~ — — ртУ при В- оо. 3 с Таким образом, сила, действующая на окруженную контроль- кой поверхностью жидкость, должна быть равна ро (т/У) на части поверхности, совпадающей с поверхностью тела. Жидкость дей- ствует на тело в направлении своей скорости на бесконечности, а величина силы равна произведению давления ро на площадь проекции тела на нормальную к его оси плоскость. Эта результи- рующая сила представляет собой просто нескомпенсированное вне- шнее давление на одну сторону тела и не имеет никакого динами- ческого значения. Коль скоро речь идет о динамических аффектах, никакой силы со стороны жидкости на полубесконечное тело не дей- ствует.
Поскольку установившееся течение реальной жидкости около конечных осесвмметричных тел при большом числе Рейноль- дса ближе к безвихревому вблизи передней половины тела, чем у его кормовой части, то полученный результат, вероятно, более. важен, чем вывод о том, что сопротивление конечного тела в установившемся безвихревом потоке равно нулю.
6.9. П иб иж р блюиеиные ревультвты иля тонких тел Р и С. б.».!. Осесаинетрвчное беавнхревое обтенание тонного тела и раслревелениен источнннов на его на его осн. т — ловерхность тела. ветствующего безвихревого поля течения. Этот кето у нх эадач и широко испольэуется в аэронавтике и в ги областях, касающихся движения оф ке и в других ижения профилированных тел в кти.
Основа этого метода в излагаемой э есь п т . О а а мои здесь простой форме состоние особенностей течения (источник тонкого тела можно подобрать такое а е распределеливии ч б ння (источников и стоков) вдоль некого ой в , что беэвихревое течение, связанное с ое с этими особенностями р сочетании с равномерным потоком овлетв г условвю нулево" удовлетворяет приближенно тела эаданной фо . В вои нормальной компоненты око рости на поверхности формы. случае тонких тел в а ен является естественным р щ ння этот метод вращения, обрааованных путем ааме ен продолжением содержания а 6.8 $ .
о телах симметрии и путем раамещения источников вдоль оси , поэтому мы рассмотрвм сначала э тот случаи. Тонкие тела враи!ения Выберем, как и в $6.8, ось х, совпадаю о с о тела, и предположвм а щую с осью симметрии однородным жвм сначала, что неп потоком со скоростью У на беско одвнжное тело обтекается тельном направлении а есконечности в отрвцав положительном нэправл велении оси х (это соответств ет вяж вправлении оси х в жи ко у д енвю тела на бесконечности). Пусть пло а ь дкости, покоящеися и .
усть площадь поперечного сечения тела в сеи с координатой х равна А (рис. 6.9.1), Б е у рндианнои кривой поверхности тела наклонена алым углом р к его оси и что, еле ов т речного сечения А— д ательно, площадь попеэто предположени б — медленно изменяю я ща ся функция от х. отношения максим е олее сильное, чем и остое т р требование малости обычно рассматрив етс о симальнои толщины тела к его об е" щен длине, но оио определения бто а я как огоаничение в тонкого тела».
о, ытекающее иэ самого Лии внутри тела, св ни тока как течения вне тела , так и фиктивного течения а, связанного с эаменой его особенност б ями, удут почти 571 Гл. Е. Теория ооовихрового течения и оо приложения параллельны оси, как и поверхностная линия тона. Далее, уравнение сохранения массы в цилиндрических координатах имеет вид ди„, 1 д (оио) — *+ — ' =О, дя о да где и, и — приращения компонент постоянной скорости ( — (/, О), вызванные наличием в потоке тела; следовательно, если проиэводные д/дх и д/до представляют собой величины одного порядка (как это можно ожидать в поле, описываемом уравнением Лапласа), то изменения ия на всем протяжении поля течения имеют такой же порядок, как изменения и,.
Компонента и скорости вблизи поверхности тела имеет порядок ф( — У+ ия)1, следовательно, обе компоненты возмущенного течения и„, и,— малые порядка ()У, и осевая компонента скорости в первом приближении может быть всюду принята равной — (/. Иа сказанного следует, что объемный поток жидкости в сечении тела с координатой х приближенно равен — (/А, а в соседнем сечении с координатой х+Ьх он равен ИА+ЬтйА/йх). Жидкость не пересекает разделяющую линию тока, представляющую поверхность тела (рис. 6.9А), поэтому разность потоков — У (ЫА/дх) бх должна быть компенсирована источниками на оси тела с интенсивностью — (/г)А/Их на единицу длины.
Таким обрааом, когда форма тонкого тела эадана, можно определить плотность распределения источников (вместе с равномерным потоком порождающих течение с раэделяющей линией тока, приближенно совпадающей с поверхностью тела), исходя иэ которой можно определить поле течения в целом. Данное приближение почти параллельного течения неточно вблизи скругленных передней и кормовой частей тела конечной длины, однако эта неточность имеет лишь локальный характер, так как суммарная интенсивность источников на оси между сечением х и передней частью тела, согласно сформулированному правилу, равна г/А, и это как раа такая интенсивность, которая нужна для получения правильного поперечного смещения набегающего потока в сечении х.
Следует отметить, что теперь иэ выражения (6.8.37) получается особенно простое выражение интенсивности диполя, соадающего асимптотвчески (на больших расстояниях от начала координат) такое же поле течения, что и тело. Эта интенсивность диполя равна 4лс, = — // ) х — Нх = (/ ~ А Нх = (/'г'о; (6.9 А) о отсюда видно, что для любого тонкого тела, имеющего объем У и движущегося в направлении его оси симметрии 6 = О со скоро- 572 С.З. Приближенные ревультвты для тонких тел стью У, потенциал скорости при больших значениях г есть % — — ° Пуе сов 3 4н гв (6.9.2) К сожаленвю, соответствующее приближение кинетической энергии жидкости, полученное на основании ее выражения (6.4.17), равно нулю, что, конечно, слишком грубо для практического использования( Очевидно, что точность подобной теории (теории тонкого тела) зависит от польаы, которую она приносит, и от конкретных параметров течения, которые используются теорией для оценки.
В качестве частного подхода к вопросу о ее обычной точности можно сравнить величину коэффвциента с, по (6.9.1) с ее точным аначением, полученным из полного решения задачи о потенциале скорости у в случае вытянутого эллипсоида вращения, движущегося параллельно своей оси. Функция тока течения в этом случае определяется выражением (6.8.30), и для нас представляет интерес форма этого поля течения на больших расстояниях от начала координат. Из определения используемых в данном случае эллиптических коордннат следует, что при г-е. оо т) 6 и — (ав — Ьв)ы е1 г, так что ( сЛ $+ зЛв $1н 1Л вЂ” 1 з1 пв т) — (ав — Ьв) '~~ —, Следовательно, точное выражение для соответствующего асимпто- тического потенциала скорости у имеет вид сов 3 <р — с, —, ев где с,— ($/3) ПЬв (ев — Ьв) т а ов Ь$1/2 ' ( ) 6.9.3 (ов — Ьв) 1 ~ т + Ьт )а Ь Когда Ь = а, величина см определяемая по формуле (6.9.3), равна ЧвУав, как и в случае сферы; приближенное выражение (6.9.1) для с„в данном случае равное '/ уав, показывает, что даже при отсутствии ограничения тонкого тела ошибка уже не такая большая.
Когда относительная толщина у = Ыа мала по сравнению с единицей, коэффициент (6.9.3) равен с, ж — Уавув (1 — у' 1и 7), 3 а то время как приближенная формула (6.9.1) для вытянутого эллипсоида дает с = — уавув. 1 3 573 Гл. Е. Теория беавихревого течения и ее приложения Таким образом, относительная ошибка для тонкого тела равна уа 1п р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
