Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Таким путем устанавливается режим течения, в котором циркуляции вокруг профиля в установившемся движении отлична от нуля. Направление возникающей циркуляции (против часовой стрелки для профилей на рис. 6.7А, 6.7.4 и фото 6.7.5) противоположно обтеканию острой кормовой кромки в начальном полностью безвихревом движении, и поэтому оно оказывается таким, чтобы вызвать смещение кормовой критической точки в направлении к острию кромки. Мы не можем определить точное аначение циркуляции, возникающей вокруг профиля, путем анализа процесса уноса вихрей, но можем утверждать, что любое постоянное значение циркуляции, кроме значения, которое соответствует совпадению кормовой критической точки с острием кромки, немедленно приведет к описанной последовательности изменения в вихревом следе и вызовет дальнейшее изменение циркуляции всегда в таком направлении, чтобы совместить кормовую крити- 544 6.7.
Двумерные профили ческую точку с острием кромки. Таким образом, циркуляция, определяемая гипотезой Жуковского, представляется единственно возмон<ной величиной циркуляции для профиля при его установившемся движении. Очевидно, что циркуляция, требуемая гипотезой Жуковского, зависит от скорости установившегося движения профиля, и поскольку эта гипотеза требует взаимного погашения двух слагаемых скорости обтекания острой кромки — от циркуляции и от движения самого профиля,— то эта циркуляция нролоруиональна скорости профиля. (Равенство (6.7.1) показывает это в явном виде для случая пластины.) Из сказанного следует, что завихренность должна сходить с профиля всякий раз, когда его скорость изменяется, а не только когда он начинает движение из состояния покоя.
На фото 6.7.6 видны замечательные эффекты начала движения профиля из состояния покоя и его мгновенной остановки вскоре после этого. Завнхренность, сходящая в результате быстрого иаменення скорости, обычно становится концентрированной, и удобнее говорить о «разгонном» вихре и, как на фото 6.7.6, о «тормозном» вихре.
Разгонный и тормозной вихри в данном случае имеют равные по величине и противоположные по знаку интенсивности, и если профиль остается в состоянии покоя, то ояи впоследствии движутся под взаимным влиянием друг на друга с приближенно равными скоростник в направлении нормали к соединяющей их линии. Разгонный и тормозной вихри можно также легко продемонстрировать, погружая широкое лезвие ножа нормально к поверхности воды в сосуде и двигая его поперек плоскости лезвия, причем существование вихрей становится заметным по снижению поверхности воды в их центре.
Если с — характерный размер профиля, то циркуляция, требуемая по гипотезе Жуковского, должна иметь вид (6.7.3) х с»Р; коэффициент пропорциональности может аависеть только от формы профиля и его ориентации, определяемой углом и между направлением его движения и некоторой линией, фиксированной на профиле. Определение коэффициента пропорциональности и его аависимость от угла а (которая имеет отношение к управлению подъемной силой профиля с изменением режима полета) являются теперь полностью задачей теории безвихревого течения. Проз»или, получаемые преобразованием окружности Определение безвихревого течения при поступательном движении тонкого профиля с острой кромкой, полученного путем преобразования окружности, является хорошим упражнением для общего метода, описанного в конце $6.5.
На начальном этапе 545 3» — 08«2 Гл. п. Теория беанихрепого течения и ее приложения 2/7 ргс к и Иг Р я с. О.7.7. Стека к получекиаг ПРофнля на окргжности с кокошко конфоркного отоа- РЕ7НЕНИК. развития аэронавтики отдавалось предпочтение профилям, для которых соответствующие характеристики течения (в частности, распределение давления на крыле) могут быть получены аналитически; теперь же имеется много других путей получения нужных сведений и больше нет каких-либо оснований для выбора именно таких профилей.
Простой метод, который будет здесь описан, с практической точки зрения имеет тот недостаток, что он не примой, т. е. дает профили специального вида с известными характеристиками течения, но не позволяет рассчитать характеристики профиля заданной формы. Отличительной чертой профиля является его острая кромка, относительно которой будем считать, что она является точкой возврата кривой.
Наклон касательной к поверхности профиля претерпевает разрыв на острой кромке, и замкнутая кривая с таким свойством в плоскости г может соответствовать окружности в плоскости г", = г (г) только в том случае, когда преобразование вмеет особенность в точке г = х„ в которой расположена острая кромка. В этой точке преобразование должно переводить внешний угол 2я между двумя сторонами кромки в плоскости х в угол я в соответствующей точке Ь = ~, плоскости ~, а для этого, как объяснялось в $6.5 в связи с преобразованием пересекающихся прямых в одну прямую, требуется, чтобы между ь и х существовала аналитическая зависимость — (г — х,) 772 (6.7.4) (В случае острой кромки в форме клина с внутренним углом раствора у степень рааности (х — х,) в правой части будет (1/2) (2 — у/2я) '.) Поэтому можно написать (6.7.5) (* — '7) пх где функция /(х) конечна и отлична от нуля в точке х = х, н в любой точке поверхности профиля, если только нет второй 546 6.7.
Двумерные арофваи острой кромки, и в любой точке плоскости г вне профиля (так как особенности не могут возникать внутри жидкости). Первый шаг преобразования схематически показан на рис. 6.7,7. На этом этапе положение кривой с точкой возврата (профиля) задано произвольным углом л + 2() с осью х. Таким образом, аргумент (г — г,) точек верхней поверхности профиля в окрестности его кромки равен 2р, а аргумент точек нижней поверхности при подходе к ним извне профиля равен (2р + 2л). Очевидно, что аргумент точек (Ь вЂ” ~,) на окружности в плоскости Ь, соответствующих точкам верхней поверхности профиля вблизи острой кромки, с учетом выражения (6.7 5) должен быть равен агя (/(г1))+ + р. Мы можем выбрать функцию / (г,) мнимой, и тогда аргумент разности (~~ — ьэ) (ьэ — центр окружности) равен просто (л + ()), как изображено на рис. 6.7.7.
Радиус окружности в плоскости ь, соответствующий профилю в плоскости г, был принят равным с. Кроме того, как было объяснено в э 6.5, аависимость между ь и г должна быть такой, что ~ ж г при ( г ( — ос, чтобы в обеих плоскостях скорость на бесконечности была равна ( — У, — У). Хотя это может показаться странным, но всего сказанного вполне достаточно, чтобы определить зависимость циркуляции, требуемой по гипотезе Жуковского, а затем и зависимость подъемной силы профиля от направления скорости жидкости на бесконечности (которое составляет с осью х, как и в г 6.6, угол (л — а)). Комплексный потенциал обтекания кругового цилиндра в плоскости ь с произвольной циркуляцией определяется выражением (6.5.18), и комплексная скорость жидкости в произвольной точке плоскости г равна йи йи дь и — (о= — =— На кромке профиля (г = г,) модуль производной (дь/й ( обращается в бесконечность и, следовательно, обращается в бесковечность и (с(и~/Иг (, если только циркуляция не равна такой величине, что (Йи/с(ь ! вмеет в точке ь = ~, нуль достаточно высокого порядка.
Таким образом, по гипотезе Жуковского требуется циркуляцию к выбрать так, чтобы критическая точка находилась в точке ~ = ~, на поверхности кругового цилиндра в потоке на плоскости Ь, и уравнение, определяющее к, имеет вид ("~ 4 /(=4~ — ) = — ((/ — (У)+((/+(У) ', —, '" . =-О. (Са — ~о)э Ха (~ю — бо) Тогда, поскольку ь1 — ьэ = се'Ф+Эй (/ + 1'г' = И~е-ьэ (6.7.6) получаем (6.7.7) к = 4лй'с зш (и + ~)).
547 Гл. Е. Теория беааихревого течеиия и ее прилонсеиия Теперь мы можем проверить, что скорость на кромке в плоскости 2 действительно конечна, если циркуляция к принимает полученное значение, замечая на основании (6.5.18), что вблизи точки ь = ьа комплексный потенциал — - (ь — Ь ) ( — ) = — сов(се+ р) г В (( — ьа). ои ( оав т 2йт -за я~ ч оеа (ч -ч Кроме того, вблизи точки 2 = г, имеем Ж~ 1(а1) 2 (1(аа))а па (а а )Па так что предел Иш ( — +) = — е-зев () (за))а соз (а -;- $3) (6.7.8) а- я принимает конечное ненулевое значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
