Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 116

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 116)

Соответствие между особенностями течения в двух этих плоскостях, связанных конформным отображением, было рассмотрено ранее, так что последующее нахождение комплексного потенциала сводится к применению теоремы об окружности. 525 Гя. 6. Теория беввихревого течения и ее приложения 6.6, Двумерное безввхревое течение, вызванное движущимся цилиндром с циркуляцией Одна из целей этого параграфа состоит в том, чтобы исследовать влияние на поле течения циркуляции скорости вокруг цилиндра. Мы видели в 3 6.4, что один важный эффект циркуляции в сочетании с поступательным движением цилиндра сводится к появлению боковой силы, действующей на цилиндр. Будет полезно подробнее изучить одно или два таких течения частного вида, чтобы выяснить природу этой боковой силы.

Начнем с обсуждения простого и фундаментального случая обтекания кругового цилиндра, поле течения вокруг которого уже было описано. Круговой циаиидр В данном случае тела с границей в виде окружности, поскольку речь идет о мгновенном дввженки, без потери общности задачи скорость )г можно положить равной нулю, т. е. допустить, что на бесконечности движение жидкости относительно цилиндра происходит параллельно оси х. Тогда потенциал скорости и функция тока определяются формулами ат ~ хЕ ц=- — (/ (г+ — ) сов О+ —, г ) 2я ' (6.6.2) ав т х г тр= — 1/ (г — ) зшб — —,1п —, г ) 2я а' (6.6.3) где гв = хв + ут и 6 = агой (у/х).

Существует однопараметричесиое семейство полей течения, соответствующих различным значениям х/аУ. Картина линий тока для случая х/аУ = О, единственного, для которого она симметрична относительно оси х, представлена на рис. 6.6.1, а. 526 Мгновенное движение твердого кругового цилиндра полностью определяется скоростью его центра и угловой скоростью вращения цилиндра; вращение не оказывает влияния на невязкую жидкость и им мы пренебрежем. Мы начнем с рассмотрения формы линий тока, важность чего будет легко понять, если отнести движение к системе координат, связанной с неподвижным цилиндром; дело в том, что поверхность цилиндра при этом сама оказывается линией тока.

Нам нужны потенциал скорости и функция тока, описывающие безвихревое обтекание кругового цилиндра радиуса а потоком со скоростью ( — У, — У) на достаточном удалении от цилиндра и с циркуляцией х вокруг него. Известно (см. (6.5.18)), что комплексный потенциал имеет вид пг (з) = — (У вЂ” т)г) з — (У+ т)г) — — — '" 1п — '. (6.6.1) в 2х а' 6,0. Двумерное беввпхревое обтекание цилиндра и циркуляцией а х=а б 0<х/ау< 4х а х/аУ 4 ус л х/аУ > асс Р и е. 0.0.1. Линни тока беввивревого обтекании кругового цилиндра патокам а паатаяннаа окораетьм с — у, 0) ив беонанечнаати и е циркуляцией екораети м (в направления против чваавоа атрелки).

Оценим аффект изменения значения к/а//, замечая, что скорость жидкости на поверхности цилиндра равна ~ — ~~ ) = 2// зсв 0 -'- —, (6.6.4) и обращается в нуль в двух критических точках, в которых з)п0=— 4лас/ ' Они расположены в передней и задней точках цилиндра, когда я = О; при увеличении отношения к/а// обе точки смещаются вниз и совпадают при 0 = — — я/2, когда к/а// =- 4я. Линии тока для 0~ х/а//(4п показаны на рис. 6.6.1, б, а линии тока в частном случае х/а// = 4я — на рис.

6.6.1, а. При значениях к/а//, больших 4я, скорость отлична от нуля и направлена в сторону воарастания угла 8 во всех точках поверхности цилиндра. 527 Гл. Е. Теория беавихревого теченвя я ее приложения Критическая точка при этом переместилась с поверхности цилиндра вдоль линии О = — я/2 и заняла вне его положение, определяемое одним из корней следующего уравнения (другой корень относится к критической точке внутри цилиндра): так как (гкр/дг) = О на этой линии в силу симметрии. Из рис.

6.6.1, г видно, что часть жидкости совершает циркуляционное движение вокруг цилвндра и остается вблизи него. Нет необходимости рассматривать отрицательные аначения к, так как иаменение анака к должно привести только к отражению линий тока относительно оси х. Очевидно, что возрастание отношения я/аУ от нуля должно вызывать все более заметное различие между областями течения ка обеих сторонах оси х, и, в частности, появление больших скоростей на верхней части поверхности цилиндра и малых— яа ее нижней части.

Вспоминая, что в установившемся безвихревом течении величина р + (1/2) рйт постоянна (влияние силы тяжести не учитывается), мы видим, что болыпее давление колу- чается на нижней части поверхности, что и приводит к ненулевой боковой силе, действующей на цилиндр. В этом простом случае кругового цилиндра боковую силу можно вычислить непосредственно и в явном виде. Из выражения (6.6.4) и из теоремы Бернулли следует, что при установившемся течении давление в некоторой точке на поверхности цилиндра ') равно Р— =РН 2 Р(2Уз1вО+ з ) ' (6.6.5) и тогда компонента по оси у силы, действующей на цилиндр (компонента по оси х из-за симметрии равна нулю), определяется интегралом гя (6.6.6) Гр= — р, азгпОЫО=РУк, как было получено в $6.4 для цилиндра произвольной формы.

Положительный знак этой силы в направлении оси у связан с положительной (в направлении против часовой стрелки) циркуляцией и положительной компонентой скорости цилиндра вдоль оси х относительно жидкости на бесконечности. Запоминание знаков иногда облегчается наблюдением, что подрезанный мяч при игре в теннис или в гольф стремится подняться выше, хотя ') как ответалось в б бл, боковая сала, которая дейстеуег прв постоянной скоростя жсступагельвого декжеввя Пвлввдра, продолжает действовать в прв переиеввой скоростл \1, во только тогда ага сала уже не остается единственной.

б,б. Двумерное беааяхреаое обтеиаияе цилиндра с циркуляцией на самом деле этн явления не связаны тесно друг с другом; в трехмерном поле течения нет аналога циклической постоянной, и подъем вращающегося мяча связан с различными положениями линий отрыва пограничного слоя на его верхней и нижней поверхностях и возникающим в результате этого различием в распределении скорости н давления на этих поверхностях. Лучший метод запоминания направления действия боковой силы состоит в том, чтобы представить спектр линий тока обтекания цилиндра и учесть, что боковая сила действует в сторону бблыпих скоростей,на которой скорости от циркуляции и от однородного потока суммируются (см. также рис.

6.4.1). Тот факт, что при н/ас/ ) 4п скорость жидкости всюду на поверхности цилиндра имеет одинаковое окружное направление, указывает на возможность получения такого же распределения скорости безвихревого течения в установившемся течении реальной жидкости при болыпих числах Рейнольдса.

Если твердый цилиндр заставить вращаться с угловой скоростью Й = к/2яаа, то относительные скорости жидкости и поверхности твердого цилиндра направлены по вращению в одних местах и против— в других; в свою очередь в различных местах пограничного слоя приблизительно в одинаковых количествах возникает положительная и отрицательная взвихренность, так что отрыва можно избежать. Максимальные и минимальные значения относительной скорости на поверхности цилиндра (см. (6.6.4)) при этом равны 21/ и — 2У, а относительная скорость в точке поверхности твердого цилиндра периодически иаменяется с частотой 12/2я = к/(2яа)', в течение одного периода относительное смещение жидкости и твердого цилиндра составляет величину порядка аЧ//и, и если это перемещение мало по сравнению с а (ср.

результаты из $5.9 для кругового цилиндра, движущегося из состояния покоя, а также см. 1 5.13), то отрыв пограничного слоя будет подавлен. Поэтому мояано ожидать, что если ас//т >) 1, м/ае/)) 1 и если цилиндр вращается с подходящей угловой скоростью, то в реальной жидкости течение станет всюду безвихревым, за исключением тонкого слоя на поверхности цилиндра. Циркуляция скорости вокруг цилиндра, конечно, не является контролируемой величиной в эксперименте, однако она определяется угловой и поступательной скоростями движения цилиндра.

Подходящее значение циркуляции может быть вычислено, во всяком случае в принципе, па основе предположения, что движение устанавливается в два этапа. Сначала цилиндру в покоящейся жидкости сообщается постоянная угловая скорость вращения аа; как установлено в 4 4.5, аавихренность генерируется в жидкости и диффупдирует в бесконечность, сохраняя установившееся безвихревое движение с циркуляцией 2яаа1з. Затем цилиндр заставляют двигаться с поступательной скоростью с/. Если скорость У 529 за — езтз Гл. 6. Теория белннхреного течения и ее приложении достаточно мала по сравнению с (йг, то отрыва пограничного слоя не происходит, завихренность сосредоточена в тонком пограничном слое на поверхности цилиндра и циркуляция остается постоянной и равной 2яатьг.

Если же скорость У не мала по сравнению с аьг, то происходит отрыв и сходство с картиной безвихревого течения теряется. При некоторых значениях отношения 5)/аас порядка единицы вполне воаможно, что отрыв не возникает, но завихренность накапливается вблизи цилиндра, диффундирует череа граничную линию тока и сносится вниз по потоку, создавая циркуляцию скорости вокруг цилиндра, незначительно отличающуюся от ее величины 2яатй в установившемся состоянии 1).

На фото 6.6.2 приведены некоторые картины линий тока реального течения, создаваемого вращающимся с угловой скоростью ьг цилиндром в потоке постоянной скорости У для нескольких значений отношения аьг/О; циркуляция в каждом случае неизвестна,но оказывается, что, когда яьл/У » 4, получается качественное соответствие с полями течений, изображенными на рис. 6.6.1, в и д, хотя при этом теоретическое значение циркуляции к, используемой на рис. 6.6.1, не равно 2яавй. Из фото 6.6.2 видно, что скорость жидкости на верхней стороне цилиндра вообще выше, а давление соответственно ниже, чем на его нижней стороне, всякий раа, когда имеется заметная угловая скорость цилиндра, независимо от того, достаточно ли она велика, чтобы предотвратить отрыв пограничного слоя и образование больших областей ненулевой завихренности.

Существование боковой силы, действующей на круговой цилиндр, который вращается и одновременно движется вперед, а также и на сферу, обычно называется г(д(дгктогс Магнуса, по имени исследователя, который провел первые относящиеся к этому явлению лабораторные эксперименты (Магнус 11853)). Поступал)гльное движение эллиптического (/ит)иидра Выражение комплексного потенциала, описывающего течение, вызванное поступательным движением эллиптического цилиндра, можно получить посредством конформного отображения области вне эллипса из плоскости з на область вяе круга в плоскости способом, изложенным в з 6.5.

Характеристики

Список файлов книги