Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Следовательно, — дни)А = У1 ~ и;пус)А, 1 (6.4.24) и на тело в установившемся движении действует сила Р~ = рУ1 ~ (и~п1 — и1п~) НА = рУ, ) (и1 п, — и1п~) Н8, (6.4.25) где Я по-прежнему произвольная поверхность в жидкости, окружающая тело. Очевидно, что 01Р~ —— О, т. е. жидкость не оказывает сопротивления установившемуся поступательному движению тела; таким Гл, б. Теория беваихрсвого течения и ес приложения образом, имеем результат (парадокс Даламбера), уже полученный в $5.11 из энергетических соображений с меньшей степенью общности. Существование компоненты силы Г по нормали к скорости П в случае твердого тела конечных размеров в трехмерном поле также можно исключить, поскольку на больших расстояниях от тела д имеет порядок г в и специальный выбор поверхности 8 в виде сферы большого радиуса показывает, что выражение (6.4.25) в целом равно нулю.
В двумерном поле на больших расстояниях от тела и при ненулевой циркуляции вокруг него д имеет порядок г г, интегралы в (6.4.25) могут не обращаться в нуль; выбирая поверхность Б в виде окружности большого радиуса и используя на ней асимптотическое выражение 1Ур- — "ЧО, сл получим формулу для компоненты силы г' в направлении оси у (вектор П имеет величину У и направлен параллельно оси х, рис. 6.4 1): ун Р = рУ вЂ” д! ( — соз Π— — з1п О) г г(О =- рсг"к. (6!.4!. 26) 2я д '! др дл о Эта замечательная формула для боковой (или подъемной) силы, действующей на тело, которая возникает нз объединенного эффекта поступательного движения тела и циркуляции вокруг него и которая явно не зависит от размера, формы и ориентации тела, лежит в основе теории подъемной силы крыльев самолетов.
Формула (6.4.26) связана с именами Кутта (1910) и Жуковского — пионеров научного исследования в аэронавтике '). Следует отметить (см. рис. 6.4 1), что направление результирующей силы, действующей на тело, получается путем вращения вектора скорости тела относительно жидкости на бесконечности на 90' в направлении циркуляции скорости. Мы получим более глубокое представление о механизме этой боковой силы путем применения теоремы о количестве движения, которую фактически испольэовал Жуковский при установлении формулы (6.4.26).
Предположим, что тело движется равномерно, и чтобы получить установившееся течение (это удобно для применения теоремы о количестве движения), выберем оси координат, движущиеся вместе с телом и с началом координат внутри него. Скорость в любой точке жидкости относительно этих новых осей равна — У + и, где и = т7тр, как и раньше,— скорость по отношению к жидкости на бесконечности. Контрольная поверхность П Кутта яолучнл Еормулу гВА.ЗВ> в частном случае обтекания пластины, Н. В. Жуковснвл еформулировал ее в гаг! г.
нан теорему ллн крыла любого просияй.— Прим. Рес. бА. Свойства течения, обусловленного движущимся телом Р и с. ада. Схема к расчету силы, действующей на тело в установивюемся поступатель- ном движений пр» двумерном поле скоростей. у — направление результирующей силы. пействуаяцея на тело; С вЂ” направление циркуляции скоростя вокруг тела; 3 — направление движения тела. состоит нз границы тела А н окружности Я большого радиуса с центром в начале координат с внешней нормалью и к обеим замкнутым кривым. Полная величина количества движения жидкостн внутри контрольной поверхности постоянна, так что сила, действующая на тело, определяется формулой г = — ~ р( — П+и)( — а) в+п и) ЫЯ вЂ” ~ рпс(Я, (6.4.27) в которой первый интеграл представляет собой поток количества движения через контрольную поверхность в направлении внешней нормали.
Давление в потоке определяется интегралом Бернуллв р = ро+ ~ р ((~ — ( — П+ пН вЂ” 0+ п)). Поскольку на больших расстояниях от начала координат ~п ~ имеет порядок г д, то под интегралами в выражениях (6.4.27) нет необходимости сохранять квадратичные по и члены; кроме того, ) и езЯ = О н ~п и с(Я = О. Следовательно, зрз = рУу ~ игпузз — реу'у ~ и>пзезЯ, что повторяет формулу (6.4.26).
Из вычислений прн выводе этой формулы видно, что боковая снла, испытываемая цилиндром, определяется в жидкости на достаточном удаленнн от тела наполовину потоком количества движения н наполовину распределением давлення. Следует напомнить, что все полученные результаты о силе, действующей на тело в установившемся поступательном движении, применимы в равной мере ко второй нз двух частей общего выраження (6.4.23) для силы, действующей на тело, скорость которого изменяется. 505 Гл. 6. Теория 6еанихреного течения и ее приложения Аналогичный анализ можно провести для момента силы, приложенного со стороны жидкости к телу, которое вращается вокруг неподвижной точки. Основной результат состоит в том, что, когда угловая скорость Я постоянна, компонента момента, параллельная вектору И (зто его единственная компонента в случае двумерного поля), равна нулю; этот результат следует ожидать на основании, что при постоянной угловой скорости эс кинетическая энергия жидкости не изменяется, хотя зто последнее рассуждение не вполне удовлетворительно, поскольку при ненулевой циклической постоянной кинетическая энергия теоретически бесконечна.
Случай сложного поступательного и вращательного движений тела более труден из-за непрерывного изменения направления скорости Ю относительно тела. Реакция на ускорение Возвратимся теперь к первому члену правой части формулы (6.4.23), к реакции 0 от ускорения пря поступательном движении, определяемой как С~ = рб~ ~ Фгп~ с)А = — руоаыбг (6.4.28) с безразмерным (симметричным) тензором аы (6.4А5). Поскольку сила, действующая на твердое тело при его поступательном ускоренном движении через окружающую жидкость, выражается линейной функцией от компонент ускорения, то естественно рассматривать множитель при — У~ в (6.4.28), а именно ру,аьь как тензор присоединенной массы, который должен быть добавлен к реальной массе тела, когда находится его реакция на приложенную силу.
Величина рУо — масса жидкости, вытесняемой телом, и аы можно назвать (тензорным) коэффициентом присоединенной эсассм. Оказывается, что при поступательном движении снулевой циклической постоянной скорость на больших расстояниях от тела, полная кинетическая энергия жидкости и присоединенная масса определяются объемом тела Уо, скоростью П и коэффициентом ако Реакция жидкости на ускорение тела, очевидно, связана с тем фактом, что при изменении скорости тела изменяется и полная кинетическая энергия жидкости. Часть этой кинетической энергии, возникающая вследствие поступательного движения тела (но не циркуляции скорости вокруг него, которая может и существовать!), представляет собой квадратичную функцию от компонент скорости Ю в любой момент времени (см., например, (6.4А4)) и, следовательно, она представима кинетической энергией определенного добавка к массе тела (причем масса рассматривается как тензор второго порядка).
Когда скорость тела изменяется, 506 Е.4. Свойстве течения, обусловленного движущимся телом производная по времени от кинетической энергии жидкости, связанной с поступательным движением тела, равна т 1 р$ еяыу!у/) р ОгаыдХ3 ~уФ! ш(з Таким образом, полная работа, совершаемая телом против реакции на ускорение, превращается в кинетическую энергию жидкости, связанную с поступательным движением тела; кинетическая энергия в двумерном потоке, связанная с циркуляцией скорости вокруг тела, хотя и бесконечна, но при движении тела с ускорением может, очевидно, считаться постоянной. Следует заметить, что когда скорость тела периодически изменяется с течением времени, среднее значение произведения а) 6 на протяжении одного цикла обращается в нуль, подтверждая то, что никакой суммарной работы телом не совершается, как было показано в $ 5.13 на основании энергетических соображений, Аналогичное толкование реакции на ускорение можно в принципе дать через полную величину количества движения жидкости, которая, как можно ожидать, будет линейной функцией компонент скорости Ю.
Однако непосредственное вычисление скорости изменения величины количества движения жидкости невозможно вследствие того, что при стремлении объема )г к бесконечности интеграл р ) и ИГ в общем случае не является абсолютно сходящимся; для больших г модуль скорости ~ и ~ имеет порядок г-а и га в трех и двух измерениях соответственно (мы не рассматриваем здесь вопрос о циркуляции), и, хотя никакой расходимости логарифмического типа не возникает, величина интеграла зависит от формы внешней границы, линейные размеры которой увеличиваются. Трудность состоит в том, что вдали от тела в движении типа диполя, которое возникает в жидкости под влиянием градиентов давления при ускорении тела, получаются бесконечно большие величины количества движения как в жидкости, движущейся вперед, так и в жидкости, движущейся назад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
