Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 106
Текст из файла (страница 106)
6.3. Установившееся течение; некоторые приложения теоремы Бернулли и теоремы о количестве движения ат р Н = —,+ — и.х 3 р (6.3.1) постоянна на любой линии тока установившегося течения, где, как и раньше, д' = ц н. В рассматриваемом здесь белаилрееол< установившемся течении величина Н, как отмечалось в $6.2, постоянна во всей жидкости. В случаях, когда абсолютное давление не входит в условия, которые должны удовлетворяться на гра- 481 81 — 8872 В частном случае установившегося течения невязкой жидкости мы имеем теорему Бернулли (з 3.5 и 5.1) и уравнение количества двия<ения в интегральной форме ($3.2). Если общий характер поля течения известен из независимых соображений, как в описанных ниже случаях безвихревого течения, этих соотношений часто достаточно для определения тех свойств течения, которые важны на практике.
Ни одно из этих двух соотношений не требует знания детального характера течения, и целесообразно рассмотреть их использование на нескольких простых примерах, прежде чем переходить к более сложным методам исследования. Теорема Бернулли для несжимаемой невязкой жидкости постоянной плотности, на которую действует сила тяжести, гласит, что величина Гл. 6. Теория беавихревого течения и ее приложения нвце жидкости (т. е. если жалкость не имеет свободной поверхности), разность р — рй.х будем называть «модифвцированным давлением», как отмечалось в $4.1, и обозначать буквой р, так что гравитационный член в (6.3.1) исключается.
Интегральная форма уравнения количества движения для несжимаемой невязкой однородной жидкости в установившемся движении (см. (3.2.4)) имеет вид р~ ии пдА= ~ (ря х — р)пАА, (6.3.2) где пбА — элемент произвольно выбираемой контрольной поверхности, которая ограничивает объем У, полностью занятый жидкостью, а нормаль и направлена во внешнюю часть пространства по отношению к объему К В члене, содержащем я, можно вернуться к интегралу по объему и получить соотношение р ~ и и и НА = ррй — ~ рп с(А, (6.3.3) нз которого видно, что силой тяжести можно пренебречь, если рассматриваются компоненты потока количества движения и результирующая сила в горизонтальной плоскости. Примеры испольаования теоремы количества движения, приведенные в т 5.15, касались установившихся полей течения, в которых силы вязкости играли существенную роль, хотя в них оказалось воаможным выбрать такие контрольные поверхности, на которых напряжения трения малы, и тем самым избежать подробного рассмотрения эффектов вязкости.
Даже если силы вязкости не имеют существенного аначения и ими всюду маятно пренебречь, как в приведенных ниже примерах, иногда все же удобно использовать уравнение количества движения в интегральной форме. Те нсе результаты обычно могут быть получены путем детального решения задачи для поля течения повязкой жидкости, хотя если интегральный подход возможен, то его надо использовать как более быстрый и экономичный. Истечение ив круглого отверстия в открытоле сосуде Если сосуд с водой в одной из своих стенок вмеет малое отверстие, то вода вытекает из него равномерно в виде гладкой струи. В случае круглого отверстия струя становится цилиндрической на некотором весьма малом расстоянии от отверстия и остается такой до тех пор, пока она не о~клонится или не ускорится под влиянием силы тяжести У).
Потоку жидкости через отверстие соот- ') Если отверстие некруглое, то сбляжение линий тока приводит к сложным изменениям Формы поперечного сечения струи; напрммер, сближепяе линий тока в углах нвадратного отверстия больше, чем в середяне его сторон, и поперечное сечение струн принимает вид креста, так как линии тока нв углов квадрата входят внутрь струн. Под влияняем поверхностного натяженяя попсречнос сеченяе струи нэ ненруглого отверстия вниз по потоку периодически изменяется. 482 С.З.
Прндожонви теоремы Бернулли ы теоремы о иодичсство движении Р и с. ВЛЛ. истечение ис отвсрстии о осирисом сосуде. ветствует медленное понижение уровня свободной поверхности воды в сосуде. Все линии тока, проходящие через отверстие, должны начинаться на свободной поверхности, где скорость иренебрежнмо мала, а давление постоянно и равно атмосферному давлению ро (для открытого сосуда); постоянная Н в уравнении Бернулли имеет одно и то же значение для всех линий тока, за исключением приходящих из пограничного слоя на стенке сосуда, которым мы будем пренебрегать. Теперь можно воспользоваться теоремой Бернулли и определить скорость до в цилиндрическом сечении струи, где давление обязательно постоянно (ускорения и силы вязкости пренебрежимо малы) и равно ро.
Сравнение выражений Н в точке на свободной поверхности и в точке внутри струи дает Рс Ро , т т — = — т — д — бй, р р 2 где Ь вЂ” расстояние по вертикали между этнми двумя точками (рис. 6.3.1) и, следовательно, д = 'г'3лй. (6.3.4) Это как раз та скорость, которую приобрел бы каждый элемент воды в свободном падении с высоты )с, что и можно было ожидать по энергетическим соображениям; роль, которую играет в данном случае давление жидкости, ааключается в том, чтобы заставить струю вытекать в направлении, перпендикулярном стенке сосуда, не оказывая влияния на ее скорость. Формулу (6.3.4) часто называют форзсулой Торричелли (Торричелли получил ее задолго до работы Бернулли).
В практических задачах хотелось бы использовать полученное выражение для скорости дс при определении массового расхода через круглое отверстие. Тогда возникает еще одна задача, которая не может быть раарешена одной только теоремой Бернулли,— задача нахождения величины поперечного сечения струи в области, где она остается цилиндрической, а скорость воды равна дс. 483 Гл. 6. Теория боввкврового точвяия в во приложения Исследование струи, вытекающей из круглого отверстия, показывает, что сближение линий тока к отверстию продолжает сохранятьея на расстоянии нескольких диаметров за ним и что площадь поперечного сечения струи, если она цилиндрическая, меньше площади поперечного сечения отверстия. Козффициент сжатия а зависит только от формы твердой границы вблизи отверстия, и из опытов установлено, что в простейп|ем случае круглого отверстия в тонкой плоской стенке он имеет величину 0,61 — 0,64, Из теоремы о количестве движения мы увидим, что величина коэффициента а лежит в пределах между г/в и 1 для всех отверстий, исключая, быть может, некоторые весьма специальные формы границ.
Для некоторых простых границ и двумерного течения величина а и форма вытекающей струи могут быть подробно изучены методами, изложенными в $6.13. Используем теперь теорему о количестве движения. Истечение воды ив отверстия сосуда сопровождается потоком количества движения в направлении оси струи (которая предполагается горизонтальной), и это указывает на существование горизонтальной силы, действующей на сосуд. Результирующая сила, приложенная к сосуду со стороны соприкасающейся с ннм жидкости, развиваемая как водой на смоченной поверхности А', где имеется давление р, так и воздухом на остальной, несмоченной поверхности А", где давление принимает постоянное значение р„равна К = ~ рп с(А' + ~ роп ЫА", где нормаль и всегда направлена во внешнюю по отношению к жид- кости часть пространства.
Поскольку сумма А' + А ' представляет собой замкнутую поверхность, а интеграл от постоянной по веев замкнутой поверхности равен нулю, имеем К = ~ (р — р ) и бА'. (6.3.5) ~ рпАА= ~ (р — р,) пНА'=К. 484 (6.3.6) Вертикальная компонента вектора К равна весу жидкости, содержащейся в сосуде, и здесь она нас не ннтересует; горизонтальная компонента определяет реакцию струи, которую мы вычислим с помощью теоремы о количестве движения. Выберем контрольную поверхность А, состоящую из: 1) свободной поверхности воды в сосуде; 2) смоченной поверхности А' сосуда; 3) поверхности, ограничивающей часть струи между отверстием и каким-либо сечением, где она стала цилиндрической; 4) етого поперечного сечения струи.
На части 1), 3) и 4) контрольной поверхности действует давление р„ так что 6.3. Приложения теоремы Бернулли и теоремы о ноличеотвв движения Рассмотрение компонент членов векторного уравнения (6.3,3) в направлении вектора )( вдоль оси струи показывает, что )(-К = — р4аЯ = — 2ряЬаЯ, (6.3.7) где Я вЂ” площадь круглого отверстия и аЯ вЂ” площадь поперечного сечения цилиндрической части струи. В тех точках, которые расположены в той же самой горизонтальной плоскости, что и ось струи, но не вблизи отверстия, скорость воды пренебрежимо мала и давление равно ро + ряЬ. Поэтому часть реакции (6.3.7), обусловленная тем, что на одной стороне сосуда имеется отверстие площади Я, а на другой стороне, прямо противоположной,— равная ему площадь стенки, на которую действует избыточное давление, равна — ряЬЯ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
