Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Приравнивая зтот момент моменту, требуемому для поддержания вращения трубы с угловой скоростью 6.4. Свойства течения, обусловленного двнжущвмся телом й, находим, что а(= Пзуп Е. Следовательно, скорость вытекающей жидкости относительно неподвижной системы координат направлена строго по радиусу, что и следовало ожидать при отсутствии приложенного к ней момента.
Тогда нз (6.3.23) следует И=из1пЕ=~/'2 (Н вЂ” — "1966. р ) Проекция скорости вытекающей жидкости на направление прямой, проходящей через ось вращения, равна сг соз8=)гг 2 (Н вЂ” Р о); полученное выражение показывает (зто можно было ожидать и по другим соображениям), что площадь участка земли, который можно полить водой из такой форсунки, не зависит от 8. Упражнепне Цилиндрический столб жкдкостн длиной 7 н плотности р движется в направленнн, параллельном образующим, н ударяется о твердую стенку с достаточно большой скоростью, чтобы ааставнть материал стенки вестн себя локально как жидкость с плотностью р,. Покажите, что глубпна проннкновеннд струн в стенку приближенно равна 7(р/рз) 19.
х/3 6.4. Общие свойства безвихревого течения, обусловленного движущимся твердым телом Соленоидальное безвихревое течение, вызываемое твердым телом, движущимся в жидкости, которая простирается во всех направлениях до бесконечности и покоится там, возникает часто как в теоретических, так и практических задачах и имеет особое значение. Результаты расчета такого течения можно непосредственно применить к течениям при большом числе Рейнольдса, когда отрыв пограничного слоя не происходит (к ним относятся обтекание тонких тел, движущихся параллельно своей оси, и тел произвольной формы, начинающих ускоренное движение нз состояния покоя илн совершающих поступательные или вращательные колебания малой амплитуды относительно неподвижной точки); в ряде случаев вти результаты используются также косвенно.
Соответствующая математическая теория достаточно хорошо развита, и имеется большое число как аналитических, так и численных методов для определения поля течения '). В атом и несколь- Ч Обстолтельное лзложемме аналатмчзсанх методов в результатсз можно напгв з клвге: лаиб Г.. гвдродввамвка, гссгехлздат, м., 1917 7а также з книге; ночнн н. е., кабель и. А.. Розе н. В., тесретлчесвал гйдромехаммма, ч.
1, взд. 6, Фнзмахтмз, м. 1969 — Ргдй 495 Гл. 6. Теория беевяхревеге течеязя я ее приложения ких последующих параграфах мы рассмотрим основные характерные свойства задачи и некоторые разъясняющие ее существо специальные случаи. В данном параграфе приводятся некоторые результаты, касающиеся асимптотической формы распределения скорости на достаточном удалении от тела, полной энергии жидкости и результирующей силы, действующей на тело при его поступательном движении, без явного учета формы тела, за исключением того, что оно считается занимающим односвязную область. Общность этих результатов имеет особое значение. Большие различия между свойствами двумерных и трехмерных течений, вызванных движущимися телами, обусловлены тем, что область, занятая жидкостью, обязательно двусвязпа в первом случае и односвязна во втором; поэтому рассуждения и результаты в основном приходится формулировать по отдельности для каждого из них.
Трехмерное поле течения обычно имеет более простые свойства и оно будет рассматриваться первым. Скорость на больших расстояниях от вела Предварительно напомним (см. $2.9), что в трехмерном поле, в котором градиент «у«р на бесконечности равен нулю, потенциал скорости по отношению к сферической поверхности, окружающей внутреннюю границу, можно записать в виде бесконечного ряда по объемным сферическим функциям отрицательной степени.
Точнее говоря, в этой области «р(х) — С= — +с; — ( — ) +с««( — ) +..., (6.4А) где г = ~ х ~ и коэффициенты с, с«, см,... суть тензоры, которые определяются по формулам (2.9.20) через интегралы от «р и ~ф по внутренней границе области безвихревого течения. В рассматриваемом здесь случае внутренняя граница представляет собой поверхность тела и результирующий объемный поток через внутреннюю границу равен нулю; вследствие этого, как отмечалось в $2.9, с = О. Таким образом, в общем случае на больших расстояниях от тела !1«ех «р (х) — С ° с.««( — ) = —— «г« (6.4.2) где 4кс = ') (хп ««7«р — п«р)««А, (6,4.3) 496 а интеграл берется по всей поверхности тела А с внешней к ней нормалью и.
На больших расстояниях от тела распределение скорости совпадает с распределением скорости от диполя интенсивности 4яс, расположенного в начале координат, а величина 6.4. Свойства течения, обусловленного движущимся телом скорости имеет порядок г-в. В частном случае сферы с центром, помещенным в данный момент времени в начале координат, с, оказывается единственным ненулевым коэффициентом в разложении (6.4Л) (с, = т/т аЧ/8, где а — радиус сферы, а 1/ — мгновенная скорость), так что в этом случае выражение (6.4.2) применимо во всей жидкости.
Аналогичные результаты имеются для течения, обусловленного движением твердого тела в безграничной жидкости в двумерном поле течения, если только правильно выбрать циклическую постоянную, т. е. циркуляцию х вокруг тела. Вместо разложения(6.4.1) справедливо разложение (2.10.6), а именно ~р (х) — С.= —,О+с1п г+ 08 — (1п г) +с;; (1п г) +..., (6.4.4) н д де щ де~дет в котором коэффициентыс, сп сы,... определяются интегралами по всей поверхности тела уже яе от у н Ч~у, а от ~р — (х/2я) О и Ч(~р — (н /2я)О). Этот ряд применим в области вне круга с центром в начале координат, содержащего внутреннюю границу течения.
Так как первый коэффициент с снова пропорционален результирующему объемному потоку через внутреннюю границу (на единицу толщины по нормали к плоскости движения), а он в данном случае равен нулю, то асимптотическое выражение <р при г -~ оо, соответствующее выражению (6,4,2), имеет вид ~р(х) — С вЂ” О с Ч(1пг)=— н с.х 2л те (6.4.5) где — 2псве ~ ~хп т (кр 2 ) — и (юр — 2 )) с(А.
(6,4.6) 497 32-0872 На больших расстояниях от тела основной член в распределении скорости имеет порядок г т и он соответствует точечному вихрю интенсивности к, расположенному в начале координат; если же х = О, то основной член имеет порядок г е и соответствует диполю интенсивности — 2яс в начале координат.
В случае движущегося кругового цилиндра с центром, расположенным в данный момент в начале координат, единственным ненулевым коэффициентом будет с, (с, = — авУ;) и асимптотическое выражение (6.4.5) справбдливо во всей жидкости. Интересное свойство интегралов в формулах (6.4.3) и (6.4.6), определяющих интенсивность эффективного диполя, который представляет тело на больших расстояниях, состоит в том, что эти интегралы с одинаковым успехом можно вычислить по любой замкнутой жидкой поверхности Я, охватывающей тело в данный Гл. 6. Теория беавихреаого течения и ее приложения момент времени. Действительно, имеем (хп Чф — пф) ИА= ~ (и Ч(хф) — 2пф) ЮА = = — ~ (Ча(хф) — 2Чф) ИУ+ ~ (и Ч(хф) — 2нф)ЫЯ= = — ) (хп.Чф — пф)ИЯ, и аналогично для разности ф — (х)2я)О, заменяющей потенциал скорости ф в случае двумерного поля.
Здесь и — внешняя нормаль как к поверхности А, так и к поверхности Я, а объемный интеграл берется по объему жидкости, ограниченному поверхностями А и Я. распределение скорости определяется однозначно, если в каждой точке поверхности тела задана величина и Чф, а также циркуляция вокруг тела в двумерном поле. Мгновенное движение тела определяется в общем случае его угловой скоростью ая и скоростью а) некоторой точки тела, в качестве которой для удобства выберем центр объема тела, мгновенное положение которого определяется вектором х,; при этом внутреннее граничное условие во всех точках поверхности А задается равенством п.Чф = и ° (О + Я х (х — хе)). (6.4,7) Тогда в случае тела в трехмерном поле величина 4яс определяется с использованием (6.4.3) по формуле 4яс = ~ хп (Ю+ ая х (х — хе)) ИА — ) фп ИА =- = ~ (()+ И х (х — хе)).ЧхИУ вЂ” ~ фпИА, где первый интеграл берется по объему тела Ке.
Следовательно, 4яс =- КеЮ вЂ” ~ фп ИА; (6.4.8)' в двумерном поле соответствующее выражение имеет вид — 2нс = 1 еЮ вЂ” ~ ) и (ф — ~ ) + хп Ч ( 2 ) ). пА. (6.4.8) В частном случае тела, которое симметрично относительно каж- дой из трех ортогональных плоскостей в трехмерном поле и которое вращается относительно линии пересечения любых двух из этих плоскостей (так что Ю = О), значения потенциала скорости ф в двух точках на поверхности А на концах прямой, проходящей через центр объема тела, обязательно равны, и векторы единичной нормали антипараллельны; таким образом, интеграл ~ фп НА и по- стоянная е равны нулю, а скорость на больших расстояниях 498 6.4.
Свойства течения, обусловленного движущимся телом от тела имеет порядок г е. В случае тела, симметричного относительно каждой из двух ортогональных плоскостей в двумерном поле и при Ю О, аналогично вмеем с = О. Дополнительная информация о зависимости потенпиала скорости ф, а следовательно, также и вектора с от Ю, И и х содержится в выражениях, подобных (2.9,23) и (2.10.13). Потенциал скорости можно записать в виде фг + фт, где фг — однозначный потенциал скорости, удовлетворяющий заданному внутреннему граничному условию (в данном случае условию (6.4.7)), а фт — многозначный потенциал скорости с циклической постоянной х (которая отлична от нуля только для двумерного течения), удовлетворяющий условию и "~фт — — 0 на поверхности А.
Потенциал скорости ф, в свою очередь можно представить в виде суммы двух однозначных потенциалов скорости, нормальная производная от одного из них на поверхности А равна величине п.Ю, и, следовательно, он имеет выражение (2.9.23); нормальная производная от другого потенциала скорости на поверхности А имеет значение и ° (П х (х — хе)), и поэтому он лннеен относительно вектора П.
Потенциал скорости фт не зависит от П илий, но обязательно линейно зависит от х и, как отмечалось в $2.10, имеет выражение фт(х)==х ~ — +Ч'), (6.4.9) где Ч' — однозначный потенциал скорости, зависящий только от разности (х — хе) и от формы тела. Следовательно, для полного потенциала скорости (в случае трехмерного течения х = 0) имеем ф(х) = П.Ф+ 0.8+ х ( — + Ч') . (6.4ЛО) Здесь Ф, 8 и Чг — все функции от х — хе, зависящие от формы тела и не зависящие от Ю, 1а и х, а 8, как и Р, — аксиальный вектор, который в случае двумерного поля направлен по нормали к плоскости движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
