Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Подставляя выражение (6.4ЛО) в граничное условие (6.4.7) и используя тот факт, что эти два соотношения справедливы для всех П и Й, находим внутренние граничные условия для Ф и 8 во всех точках поверхности А: и ЧФ= в, и Ч8= — и х (х — хе). (6.4.11) В результате подстановки выражения (6.4.10) в (6.4.8) получается, что с представляет собой линейную функцию от Ю, Я и х; в трехмерном поле 4пс~ = От ()гебы — ) Фтп~ ЫА) — Пт ) 8тл; НА, (6.4Л2)' а в двумерном поле — 2яс~ =-Уг (Кебы — ) Фтп; ИА) — Пг ) 8 п~ИА— — х ) ~Чгп~+л~п.Ч ( — ") ) НА. (6.4Л2) 499 Гл. 6. Теория беввихревого течения и ее приложения Важное свойство тензора второго порядка, являющегося в данном случае коэффициентом прн Уь состоит в том, что оп симметричен по индексам 1 и у; действительно, из граничных условий (6.4А1) следует, что разность интегралов ~ Ф1и~ е(А — ~ Ф~пе е(А = ~ (Ф1 —.' — Ф; — ~) нв НА = = ~ (Ф,— — Ф; — ) пвсЖ вЂ” ) (Ф1~1 Ф1 — Ф;Ч Ф1) дую=0. дф~ дшу 1 в .
в две ' дхв 1 Интеграл по объему обращается в нуль, поскольку Ф удовлетворяет уравнению Лапласа, а интеграл по поверхности Я обращается в нуль, если в качестве поверхноети 8 выбрать сферу (в двумерном случае — окружность бесконечно болыпого радиуса). Кинетическая энергия жидкости Выражения для кинетической энергии жидкости через интегра- лы по поверхности были приведены в $6.2.
Здесь мы прюиеним эти выражения к случаю, в котором жидкость ограничена ианутри твердым телом, имеющим заданное движение. Для тел, движущих- ся поступательно, можно получить неожиданно простое соотно- шение между кинетической энергией и коэффициентами с1 в раз- ложениях (6.4.1) или (6.4.4). Возьмем сначала тело, занимающее односвязную область и дви- жущееся в трехмерном поле, или тело в двумерном поле с нуле- вой циркуляцией вокруг него. Тогда потенциал скорости у будет однозначной функцией, и общее выражение для кинетической энергии жидкости (см. (6.2.8)) дает 1 Т= — — р ) <рп и ЫА, 2 где интеграл берется по поверхности тела. В случае тела, совер- шающего как поступательное, так и вращательное движения, значение и и на поверхности тела определяется граничным усло- вием (6.4.7), и, следовательно, Т = — — р ~ <рЮ п е(А — —, р ~ <р (Й х (х — хе)1 п е)А.
(6 4 АЗ) 1 Г 1 Подстановка общего выражения (6.4.10) (при х = 0) показы- вает, что кинетическая энергия жидкости Т, как и кинетическая энергия твердого тела, оказывается квадратичной функцией Ю и 1е, и она может быть написана в виде Т= — руе(а~1У~У1+()цУ~Й1+у;,Я~П~), (6.4А4) 1 где е'е, как и раньше,— объем тела, а тензорные коэффициенты а», ~ц и уы зависят от формы и размера тела. Коэффициент и» ЗА. Свойства течевия, обуеловлеииого движущимся телом безразмерен, зависит только от формы тела и определяется интегралом 1 Г 1 Г ееы =- — ~ (Ф1п;+Ф~п1) НА = — — ( Фуп1НА, (6.4.15) ие поскольку, как было отмечено, написанные интегралы симметричныпо ?ку. Можно продвинуться дальше в простом, но тем не менее важном случае тела, движущегося без вращения (по-прежнему при х = 0).
В этом случае Т = — —,рГ/~ ~ рп; НА = —,р?Геев;1У;01. (6.4.16) 1 Г 1 Итак, кинетическая энергия жидкости, возникающая при поступательном движении тела, равна произведению величин '/ерре (Ц * и еемУ,1/1/ (е) (е, из которых вторая зависит от формы тела и от направления его движения. Уже известные выражения Ф для сферы и кругового цилиндра показывают, что для них сею равно '/ебы и бысоответственно. Другиечастные значения будут указаны в этой главе позже.
В случае осесимметричного тела главными осями тензора аы будут ось симметрии тела и любые две ортогональные ей оси. Еще один результат при $? =- 0 и х = 0 получается из сравнения выражений (6.4.10) и (6.4.8); для трехмерного поля имеем Т = — р(4п?/ с — Уе(/ 1/); (6.4.17) для двумерного поля получается аналогичное выражение с заменой 4пс на — 2лс. Очевидно, что имеется связь, хотя она и непростая, между объемом тела и величиной возмущения, которое обнаруживается в жидкости на больших расстояниях; величина компоненты в направлении ?) интенсивности диполя источников, изображающего влияние тела на больших расстояниях, не может быть меньше, чем произведение У,(Ю( (как в двумерном, так и в трехмерном поле).
Другое выражение для этого соотношения между Т н с при 1? = О, х = 0 получается из выражений (6.4.12) и (6.4.15); для трехмерного поля имеем 4пс» = Уе(/1 (бм + ам), (6.4А8) а для двумерного поля 4яс, заменяется на ( — 2пс1). В случае двумерного поля с ненулевой циркуляцией вокруг тела скорость жидкости на больших расстояниях от тела имеет порядок Г ' и теоретически течение обладает бесконечной кинетической энергией. Значение этого факта для реальной жидкости состоит в том, что на величину кинетической энергии в жвдкости оказывают влияние положение и форма удаленной внешней границы. разделение потенциала скорости на две части, описанное в конце 3 2.8, полезно, поскольку однозначная часть потенциала 501 Гл.
С. Теория бсзвихревоге течения и ее приложения скорости ~р, вносит конечный вклад в величину кинетической энергии. Из равенства (2.8.10) (в котором нормаль к поверхности А направлена от жидкости) имеем Т = — 2 р ~ Ч>~п Ч(р~ ЗА+ Те, (6.4.19) где Т, — кинетическая энергия, связанная с циркуляцией н при нулевой нормальной компоненте скорости на границе и имеющая бесконечно большое значение независимо от значения первого члена и величин Ю и И. Первый член в правой части выражения (6.4.19) представляет собой кинетическую энергию движения, соответствующую данным значениям Ю и П прн н = О, и, следовательно, к нему непосредственно применимы все сделанные вьппе замечания. Сила, дейппвующал на тело при его поступательном движении Рассмотрим полную силу Г, действующую в данный момент со стороны окружающей жидкости на тело, движущееся без вращения.
Эта сила возникает от давления на поверхности тела, н с помощью интеграла (6.2.5) можно написать Р= — ~ рпдА=р~ в, пдА+-р ) двпЫА — р ) и.хпдА, (6.4.20) г вр 1 где интегралы берутся по неподвижной поверхности А, которая в данный момент времени совпадает с поверхностью тела, Последний интеграл в (6.4.20)представляет собой силу плавучести (архимедову силу), действующую на тело ($4.1), н в дальнейшем мы будем им пренебрегать. Производная д~рфд~ отлична от нуля и для тела в установившемся поступательном движения, поскольку используется система координат, неподвижная в жидкости на бесконечности, и положение тела изменяется относительно нее.
Функции Ф и 1г' в выражении (6.4.10) — неизвестные функции от х — хе, где хе— мгновенный радиус-вектор некоторой точки тела, так что "хе е1 (6.4.21) Скорость Ю может зависеть от д хотя зависимость н от времени г в полностью безвихревом течении, согласно теореме Кельвина о циркуляции, исключается, Тогда из выражения (6.4ЛО) следует, что при й = 0 скорость изменения потенциала ~р в точке, фиксированной по отношению к жидкости на бесконечности, равна вс — — П Ф+ ве '7<р = Й.Ф вЂ” П и, (6.4.22) где (П = АП(й). 502 6.4. Свойства течеяяя, обусловленного движущимся телом Теперь выражение для силы (6,4.20) (без учета силы плавучести) записывается так: Р; =рУ1 ~ Ф1п~ ИА+р ) ( — — Ууи1) и~с)А. (6.4.23) Первый из двух членов в правой части отличен от нуля только при Ю Ф О, в то время как значение второго члена от изменения У не зависит.
Таким образом, первый член можно назвать реакцией на ускорение тала, а второй член представляет собой силу, действующую на тело в установившемся движении. Обсуждение первого члена на некоторое время отложим. Чтобы получить определенные выводы о силе, которая остается при постоянной скорости поступательного движения, проведем в жидкости поверхность Я, которая охватывает тело в данный момент времени, и свяжем интегралы по замкнутым поверхностям А и 8 с интегралами по объему г', ограниченному этими поверхностями. Тогда, обозначив через и внешнюю нормаль к обеим поверхностям, имеем д ( —, я1я1) ') 2 дн~с1А= ~ 2 Д'п~сеу — ') д а1', и поскольку и есть скорость безвихревого соленовдального потока, то — дел~НА= ) — д п~ НЯ вЂ” ) 1 Г 1 Г д(яйлу) 2 ,1 2 дну дг' = /1 в = ( ( — д и; — и~иуп1 ) сБ+ ~ и~и1п16А. Величина скорости а в трехмерном поле имеет по крайней мере порядок г-*, а в двумерном — порядок г-х, когда г велико; следовательно, специальный выбор поверхности Я в виде сферы или окружности достаточно большого радиуса показывает, что интеграл по поверхности Я в правой части тождественно равен нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
