Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 105
Текст из файла (страница 105)
В более общем елуеее бережрепкоо ежямаемоа жядкоетя он имеет вяд го ег ( вр д( 2 " р — + — + „— — В в=попе( (ем также пРим. Ред. не етр. 208).— Прим. Рсд. 6.2. Общие свовства беавихрезого течения Выражения ояя кинетической энергии через интегралы но коеерлности Бблыпая часть анализа данного вопроса также была проведена в $2.7 — 2.10. Для течения в односвязной области, ограниченной изнутри и иване, из (2.7.6) видно, что полная кинетическая энергия жидкости 1 Г 1 Т= — р ~ ~ри пзйАз — 2 р) <рп п,йА„ 2 где интегралы берутся по всей внутренней границе А~ и внешней гранзще А щ а обе единичные нормали и, и пг направлены во внешнюю часть соответствующих замкнутых поверхностей.
Если жидкость не ограничена извне, а простирается в бесконечность во всех направлениях и находится там в состоянии покоя, то иа (2.9.17) следует Т= — р ~ (С вЂ” ~р)п пИА, 1 (6.2.7) где А — внутренняя граница и С вЂ” постоянная величина, к кото- рой стремится на бесконечности потенциал скорости у. Если объем- ный поток через внутреннюю границу равен нулю, то (6.2. 7) сводит- ся к выражению Т= — — р ~ <рп.пдА, (6.2.8) Если область течения двусвязна и потенциал скорости ~р содержит циклнческую постоянную х, то, как показывает формула (2.8.8), выраязение (6.2.6) для течения, ограниченного изнутри и извне, нужно дополнить слагаемым — рх~п паЯ, 1 2 (6.2.9) 477 Когда безвихревое течение установившееся, левая часть интеграла (6.2.5) сводится к величине, обозначенной ранее Н, и она постоянна во всей жидкости.
Этот результат можно было бы ожидать исходя из теоремы Бернулли (см. $5.1): в установившемся течении величина Н постоянка вдоль любой линии тока и вдоль любой вихревой линии, и если, кроме того, ю = О, то Н должна быть постоянной всюду в жидкости. Соотношение (6.2.5) дает явное выражение для давления, если известно распределение скорости. Оно обычно используется змеино для этой цели, так как потенциал у удовлетворяет уравнению Лапласа и определяется однозначно определенными граничными условиями, налагаемыми на <р или на Чр, т. е. независимо от давления.
Гл. б. Теории белвихреиого те ниии и ее ириложеиии в котором интеграл берется по всей (топологической) перегородке Б. В случаях, в которых на границе области задается нормальная компонента и, следует применять формулу (2.8.10), содержащую две части потенциала скорости «р, а нэ«евно: одноаначную и многозначную с соответствующей циклической постоянной.
Если жидкость иавне не ограничена, а простирается в бесконечность во всех направлениях в трехмерном пространстве и находится там в покое, то выражения (6.2.7) или (6.2,8) остаются применимыми. Однако в случае жидкости, простирающейся до бесконечности в двумерном пространстве, необходимо действовать осторожнее, так как при болыпнх значениях ~ х( величина скорости в общем случае имеет порядок (х! «и тогда интеграл в выражении кинетической энергии не сходится. К обсуждению этого случая мы вернемся в 1 «ь4.
Теорема й«ельвнна о минил«уме энергии Единственность решения для однозначного потенциала скорости с заданной величиной нормальной компоненты «г«р в каждой точке граянцы связана с минимумом полной кинетической энергии, как показывает результат, полученный Кельвином (1849).
Пусть п (х) н и, (л) — два соленоидальных распределения скоростей в данной области. занятой жидкостью, с одинаковыми значениями их нормальных компонент в каждой точке границы области (еслп жидкость простирается в бесконечность, то там зти значения равны нулю); предположим далее, что и — скорость безвихревого течения с однозначным потенциалом «р. Тогда разность между полными кинетическими энергиями, соответствующими этим двум распределениям скоростей, равна 1 Т« — Т= — —,, р ~ (и; — пе)«««г —.- « = —,р ~ (и,— н)е«)У-'-р ') (и,— п).пЛ'.
Для второго интеграла по объему имеем (и,— п).(««рЛ'= ~ Ч ((и,— и) «р)Л' — ~ «р~г (и,— н)«(У=== =- ~ «р(,— и). «(А, (6.2.10) 478 где интеграл по поверхности берется по всей границе жидкости н поэтому равен нулю (часть этого интеграла по гипотетической бесконечно удаленной границе, если жидкость простирается в бесконечность, равна нулю). Таким образом, имеем (Т« — Т) ) 0 при и«Ф и, откуда и следует, что никакое другое движение с данными нормальными компонентами скоростей на той же границе не Втк Овшое свойства безвихрввого течении может иыеть кинетическую энергию меньше кинетической энергии единственного возмо|кного безвихревого движения. В случае многозначного потенциала с заданныыи в каждой точке границы нормальными компонентами скорости очевидно, что доказанная теорема применима только к однозначной части потенпиала сро введенной в конце з 2.8.
Точны максимума скорости Ч и минимума давления р и, следовательно, и ~рс)А=. — р ~ — ' — Л'(О Г до; д , дтт длт (6.2.12) 479 Покан;ем сначала, что функция Ч не может иыеть локальный ыаксиыум или минимул~ во внутренней точке жидкости. Из уравнения (6.2.2) следует, что ~ и иЧ с)А = О по любой замкнутой поверхности Л, окружающей область, полностью занятую соленондальным безвихревым течением жидкости. Следовательно, подинтегральная функция и ~рЧ не может быть постоянного знака на любой такой поверхности.
н поэтому экстремум функции ср в какой-либо точке с некоторым другим и постоянным значением Ч по малой замкнутой поверхности, окружающей эту точку, невозможен. В этом рассу;кденнн используется только то свойство функции что она удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, такое же заклв>ченне справедливо и для пропзво;шой дЧ дл. о нз этого следует, что вблизи любой внутренней точки Р жидкости можно отыскать другую точку Р', такую.
что ~( — 'л)1»! Ф) ~. Мы можем выбооть направление осп х прямоугольной системы коордлшат параллельно вектору ~ТЧ в точке Р; в таком случае заведомо ('УЧ)е ) (~7Ч)в, пли Че ° о Ч! ° Следовательно., максимум величины скорости Ч мо'кет появиться только в точке на границе. Появление минимума скорости Ч во внутренней точке не исключается; в действительности критические точки, в которых скорость Ч принимает наименьшее возможное значение, иногда возникают внутри жидкости. Аналогичный результат ыожно получить для давления р. Пз соотношения (6.2.5) следует, что (6.2.11) дтт дет ' Гп.
6. Теория безвзхрозого точения в ее зриложозиз для любой замкнутой поверхности А, окружающей область, иолностью занятую жидкостью. Если бы давление р принимало минимальное значение в некоторой внутренней точке жндкости, то произведение и.'~р было бы положительным во всех точках некоторой малой замкнутой поверхности, окружающей эту точку, н аначение интеграла ~ н Чр ИА, взятого по той же самой поверхности, было бы положительным; согласно же равенству (6.2А2), это невозможно. Следовательно, любая точка, в которой давление р принимает минимальное значение, должна лежать на границе, хотя максимум может возникнуть и во внутренней точке.
Положение минимума р в общем случае не совпадает с положением максимума д; такое совпадение имеет место, если течение установившееся и изменение произведения й.х пренебрежимо мало. Эти результаты имеют качественное приложение в тех случаях, когда некоторые физические процессы происходят в том месте ягцдкости, где ее давление минимально нли скорость максимальна. Так, например, кавитация возникает в воде в том случае, когда абсолютное давление падает ниже его критического значения, и мы приходим к выводу, что для данных границ (безвихревого) течеаия, по мере того как давление везде понюкается, кавитация будет начинаться в определенной точке границы. Подобным же образом появление ударных волн, как иавестно, связано с локальными скоростями жндкости, превосходящими скорость звука.
Для заданных гранвц течения максимальная скорость достигается в некоторой точке на границе, когда скорости жидкости всюду достаточно малы, чтобы жидкость можно было считать несжимаемой, и при увеличении скорости ударные волны появятся сначала (в предположении, что сжимаемость среды не иаменяет положение максимума) вблизи гранвцы.
Локвльное иаиенение величины скорости Некоторые простые, но полезные результаты следуют непосредственно из выражения для локальной аавихренности в прямоугольной системе координат с осями, параллельными локальным направлениям скорости н, главной нормали к линии тока (направленной к ее центру кривианы) и бинормали. Если (в, и, Ь) — координаты вдоль этих трех направлений соответственно, а (и, о, и) — соответствующие компоненты вектора скорости, то локально до О ди> д В' д где Я вЂ” локальный радиус кривизны линии тока.
Тогда локальные компоненты завихренности имеют выражения дш до до о до го юп= — го = — — — ° да дЬ' " дЬ1 " В дп' 6.3. Приложения теоремы Бернулли н теоремы о количестве движения Далее, поскольку локально справедливо соотношение то для безвихревого течения дд а да — =О.
дя Л' дь (6.2.13) Первое из равенств (6.2 13) показывает, что, когда линии тока искривлены, скорость д на внутренней стороне изгиба болыпе, чем на внешней. Когда вода, протекающая по прямой длинной трубе с приблиаительно одинаковой скоростью в ее поперечном сечении, встречает на своем пути изгиб, максимум скорости, а следовательно, минимум давления и первое проявление кавитации возникают на внутренней стороне изгиба стенки трубы. Аналогично атому, когда жидкость обтекает выступ, максимальная скорость возникает на его вершине, если только течение вблизи выступа можно считать приближенно безвихревым; поэтому жидкость на границе выступа вниз по потоку замедляется, что приводит к отрыву пограничного слоя (и, следовательно, к образованию нового рея<има течения без максимума скорости на вершине выступа), как уже отмечалось в $5.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
