Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 102
Текст из файла (страница 102)
5.15.1; она содержит систему внутренних границ А1 и внешнюю границу Аа в виде прямоугольной призмы, поперечное сечение которой (показано штриховой линией) достаточно велико, чтобы можно было охватить болъшое число элементов решетки и применить соотношение (3.2.4); мы не будем учитывать член, обусловленный действием силы тяжести, так как его можно включить в модифицированное давление жидкости, Резуль- 464 ЗЛЗ. Примеры иримеиоиия теоремы о количестве диижеиия тирующнй поток количества движения из области, ограниченном поверхностями Аг и Ам равен нулю, и, таким образом, г-компонента полной силы на участке решетки, охватываемом поверхностью Ам равна — 1 оппес)Аг= ~ оггпгдАг, где нормаль и направлена наружу для всех участков границы. Напряжение оы равно нормальному на передней и задней гранях призмы Аг, где скорость течения постоянна, а давление равно р, в области далеко вверх по потоку и Рг — вниз по потоку; зто напряжение равно нормальному и на боковых гранях призмы, исключая окрестность решетки.
Следовательно, если вклад в интеграл от касательного напряжения на боковых гранях приамы сделать относительно малым путем выбора достаточно большого поперечного сечения призмы, то средняя сила, действующая на единицу площади плоскости решетки, равна (5.15.1) Рг — рг. Таким образом, нормальная сила, действующая со стороны жидкости на решетку, может быть определена без какого-либо теоретического или экспервментального научения течения вблизи тел, образующих решетку. Результат (5.15Л) остается, конечно, справедливым и в том случае, когда набегающий поток не перпендикулярен плоскости решетки или когда тела решетки несимметричны, так как и набегающий, и сходящий потоки остаются однородными достаточно далеко от решетки; при этом приведенные вьппе рассуждения остаются в силе для нормальной компоненты скорости течения по обеим сторонам решетки и для нормальной компоненты силы, действующей на тела решетки.
В каждом из этих новых случаев жидкость действует на решетку тел с силой, имеющей компоненту в плоскости решетки, и, следовательно, в окрестности решетки имеется соответствующее отклонение потока. Внезапное расширение трубы Другой пример этого параграфа связан с влиянием внезапного увеличения площади поперечного сечения короткой трубы, через которую течет жидкость с почти постоянной скоростью Уг (рис. 5.15.2). При обычных условиях, когда У,Ы/ч))1, где Ы— характерный линейный размер поперечного сечения трубы, наблюдается следующая картина.
Поток в виде прямой струи втекает в широкий участок трубы (подобно тому, как показано на фото 5.10.2), на боковой поверхности струи развивается нерегулярное вихревое движение, окружающая струю яшдкость постепенно 465 зо-звтг Гв. 3. Течение прп большом числе Реянольдса; оффвпгы вяакостп р и с, бльл. Однородинп пОток в трубе при внезапном увсдиченяи ее поперечного сечения.
захватывается и смешивается со струей и, наконец, поток снова становится приближенно однородным со скоростью, скажем, сг'2. Подробная картина этого процесса неустановившегося перемешивания сложна и не поддается точному расчету; возникает вопрос: можно ли что-либо сказать об условиях далеко вниз по потоку, не зная течения вблизи места внезапного расширения трубы? Скорость Уа определяется законом сохранения массы (снова в предположении постоянной плотности), а следовательно, луы можем найти также и давление рв далеко вниз по потоку, зная давление р, вверх по потоку от места внезапного расширения трубы. Для этой цели можно использовать интегральную теорему о количестве движения, заметив, что модифицированное давление приближенно постоянно поперек трубы при внезапном ее расширении ввиду отсутствия заметной поперечной скорости жидкости в области расширения; этот факт легко подтверждается непосредственным наблюдением.
В качестве контрольной поверхности мы выбираелу поверхность, ограниченную поперечными сечениями, отмеченными на рис. 5А5.2 штриховыми линиями, и стенками трубы между этими сеченияьун; обозначим через Я1 поперечное сечение вверх, а через Яа — вниз по потоку. В области вниз по потоку от места расширения трубы скорость и давление жидкости флуктуируют в результате происходящего талт неустановившегося процесса перемешивания, однако флуктуации происходят относительно установившихся средних значений; поэтому мы можем предположить, что соотношение (3.2.3) осреднено по длительному промежутку времени, и получить соотношение между осредненными величинами, подобное (3.2.4).
Тем не менее поперечные сечения АВ и ЕР удобнее выбрать вне области флуктуаций, и, таким образоку, наличие флуктуаций не будет сказываться в рассматриваемом примере. Поток количества движения в направлении слева направо (рис. 5А5.2) через контрольную поверхность равен рсугьв' рч 1Я! — руана (иа Пь) ° На участках АВ и СВ контрольной поверхности напряжения равны нормальным и определяются давлением рт, а на участке ЕР— соответственно рв. На участках ВС и ВЕ стенки трубы форауируют- 466 535. Примеры ~рнмененин теоремы о количестве движении ся пограничные слои; число Рейнольдса течения предполагается настолько большим, что соответствующие касательные компоненты напряжения становятся пренебрежимо малыми, если их представить в безразмерном виде с использованием величин р, И и Уг (это эквивалентно сделанному вьппе предположению о том, что скорость в трубе остается приближенно постоянной до участка ВС). Из уравнения количества движения Р(7гсг (гтг — Уг) =- Рг3г "1 Рг (ог — ог) — Рг3г находится давление однородного течения в области вниз по потоку Рг = Рг + Р(7г % — б~г).
(5.15.2) Это увеличение давления при внезапном расширении трубы можно сравнить с соответствующей величиной при постепенном увеличении площади ее поперечного сечения от Яг до Яг. В последнем случае течение всюду установившееся и вязкость оказывает пренебрежимо малое влияние, исключая тонкий слой на стенках трубы, так что мы моя'ем использовать теорему Бернулли для эффективно несжимаемой жидкости (см.
(3.5.16)) и найти Рг=Рг.— ''~гр(о1 г'г) (5.15.3) где р, и рг — модифицированные давления. Таким образом, окон- чательное давление в трубе при внезапном расширении меньше, чеы при постепенном расширении, на величину —, р(5~, — (7,) —, р5, 1 г г гг о11г з з ( я,) (5.15.4) 467 Иначе говоря, мы можем утверждать, что при постепенном расширении трубы константа Бернулли не изыеняется, в то время как при внезапном расширении происходит вихревое перемешивание течения, сопровождаемое падением константы Бернулли на величину (5.15.4).
11з того факта, что константа Бернулли измеряет полную механическую энергию единицы массы жидкости, мы можем заключить, что вихреобразование за счет появления струйного течения при внезапном расширении трубы связано с диссипацией ыеханической энергии (за счет внутреннего трения в жидкости). Подробный механизм диссипации далеко не очевиден, однако теорема о количестве движения позволяет заключить, что полная потеря энергии за счет диссипации в каждом единичном объеме жидкости определяется общими условиями задачи. Результат (5.15.4) допускает полезное применение к течениям, подобным рассмотренному в первом приыере этого параграфа; дело в том, что некоторые виды решеток твердых тел можно представить как периодически расположенные узкие щели, через которые жидкость должна пройти, прежде чем произойдет внезапное расширение сечения.
Рассмотрюц например, плоскую твердую Гл. 5. Течепяе прп большом чведе Рейлольдоа; аффекты зязкоетв Р я е. 5.15.3. Раечет еопротвелеввя перэорпроаанпоа плаетпнн е однородпоп пешне. пластину, в которой высверлены отверстия диаметра, сравнимого с ее толщиной, расположенные на одинаковых расстояниях друг от друга (рис. 5Л5.3). Если такую пластину поместить под прямым углом к установившемуся потоку со скоростью У, то на тыльной стороне пластины жидкость будет вытекать в виде множества струй; эти струи смешиваются с окружающей жидкостью, вовлекаемой в нерегулярное вихревое движение, а в конечном счете снова образуется однородный поток со скоростью У. Таким образом, здесь применим анализ внезапного расширения трубы,и, следовательно, вытекание жидкости иа отверстий в плоской пластине сопровождается общим уменьшением константы Бернулли на величину — рбт (:), (5.15.5) где а — отношение площади отверстий в пластине к площади пластины.
С другой стороны, течение вверх по потоку от пластнны и в отверстиях таково, что, как мы уже видели в этой главе, вязкость в нем не играет важной роли (если диаметр отверстий не слишком мал) и, как правило, для него применима теорема Бернулли. Следовательно, величина (5Л5.5) равна разности между значением констант Бернулли для областей далеко вверх и далеко вниз по потоку от пластины; но так как скорости потока в обеих этих областях разны У, то величина (5Л5.5) равна также раэности давлений в них. Таким образом, с учетом (5Л5Л) заключаем, что средняя сила сопротивления в расчете на единицу площади пластины также определяется величиной (5.15.5).
Этот теоретический реаультат согласуется с наблюдаемыми перепадами полного давления нл таких пластинах. Упражнения к главе 5 Можно раэработать подобную простую теорию для нахождения силы, действующей на другие вццы перфорированных пластин или на решетку цилиндров, либо других тел. Такие теории будут более точными в тех случаях, когда площадь поперечного сечения каждой струи, вытекающей иэ отверстий в пластине или из решетки, хорошо определена формой границ потока, как это было, например, в рассмотренном выше случае пластины с просверленными отверстиями. Дальнейшие приложения уравнения количества движения в интегральной форме будут описаны в 96,3 и 6.8 при обсуждении течений, для которых влиянием вязкости можно пренебречь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
