Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 103
Текст из файла (страница 103)
В этих случаях теорема о количестве движения позволяет получить полезные результаты наиболее коротким и точным путем; что же касается случаев, подобных рассмотренным в настоящем параграфе, то эффекты вяэкости играют в них существенную роль (правда, они могут не появиться в явном виде при испольаовании теоремы о количестве движения — в этом и состоит ее главное достоинство); непосредственное вычисление поля течения с учетом эффектов вязкости обычно невыполнимо, а применение теоремы о количестве движения, если оно позволяет получить результаты, оказывается весьма ценным.
Очевидно, что иногда можно использовать интегральные соотношения не для количества движения, а для других величин, таких, например, как энергия или момент количества движения; последний особенно удобен при изучении действия насосов, турбин идругих машин, имеющих вращающиеся части. Литература к главе 5 Прандтль Л., Титьенс О., Гидро- н аэромеханика, М.— Л., т.
1, 1933, т. 2, 1935. Гольдштейн С. (ред.), Современное состоянве гидроазродинамики вязкой жидкоств, т. 1, П, ИЛ, М., 1948. Праядтль Л., Гидроаэромехаяика, ИЛ, М., 1951. Воеев)тем) 1. (еб.), Ьавпваг Воовйагу Ьауеге, Ох(огй Пштегеыу Ргеае, 1963. Упражнения к главе 5 1. Длинный твердый цилиндр помещен в установившийся однородный поток жидкости таким обраэом, что его обрааующяе составляют со скоростью потока угол и (элемент стреловвдвого крыла).
Линви тока охватывают поперечное сечение цилиндра в отрыва пограничного слоя не происходит. Покажяте, что компоневта скороств в в плоскости, нормальной к обрааующим цилвндра, имеет одно и то же распределение при любых углах к (кроме аваченвв вблизи 0 и я); это касается как области вне пограничного слоя, так и внутри вето. Покажите также, что а погравячвом слое уравнение для компоненты скорости ы, параллельной обрааующям цилиндра, имеет вид в Чы = таЫауе, где у — расстояние по нормали от боковой поаерхностя цилиндра.
469 Гл. 5. Течение ири большом числе Рейиольдса; эффекты вязкости 2. Тоыкая установившаяся двумерная струя жидкости ыабегает на плоскую твердую степку: вдали от степки жидкость покоится. 11спольэуя уравнения пограничного слоя, покажите, что величина Ф 1" Ц "т "1 "=-' о не зависит от расстояния х вдоль стенки. Покажите, что автомодельпая форма распределения скорости, которая зависит только от Р и т, дается соотно- шениями ф = (Ртх))~ау(т)), т) = (Р(тзхэ)'~'у 4(" + Д" + 2)" = О. Кроые того, покажите, что в аналогичном осесимметричном случае скорость радиального расширения струи и ее толщина изменяются каи х т и х — 3( 6/ а распределение скорости в струе то же самое, что и в плоском случае (Глауэрт (1956)).
и= — — е В э 4лрх лн й „, рв ду 4я)и ' дз ' где (уз+за) у пт= ф= — — (1 — е Ч), ы 8ярх ~)э Выясните, что в следе за телоы имеется компоыеита аавилренвости вдоль направления потока и безвиэревое движение в плоскости (э, э) вве следа то же самое, что и движение от точечного вихревого диполя напряженности ЮРУ, параллельного оси з и помещенного в начало координат плоскости (у, з).
3. Трехмерное тело неподвижно в потоке, имеющеы иостояыиую скорость У в направлении оси х; иа тело действует сила сопротиваения О, а также подъемная сила А в направлении оси у. Покажите, что далеко вниз по потоку компоненты скорости приближенно выражаются следующим образом: ТЕОРИЯ БЕЗВИйаРЕВОГО ТЕЧЕНИЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 6,1, Роль теории течения невязкой жидкости Изучение основных аффектов вязкости жидкости мы закончили, и теперь можно воспользоваться тем, что коэффициенты вязкости наиболее распространенных жидкостей — воздуха и воды— весьма малы.
Обычно число Рейнольдса рЬУ/р (в обозначениях, принятых в $4.7) представляет собой меру отношении характерных величин сил инерции и сил вязкости; если зто число велико по сравнению с единицей, то силы вязкости часто играют малую роль в уравнении движения почти во всем поле течения. Во многих случаях, в которых отрыва пограничного слоя от твердой границы не происходит. поле течения стремится к предельной форме, соответствующей течению невязкой жидкости при р(,бг/р — са во всей области, занимаемой жидкостью; тот факт, что силы вязкости остаются значительными в некоторых тонких слоях жидкости, каким бы большим ни было число Рейнольдса, во многих отношениях почти не имеет значения. Однако в тех случаях, когда пограничный слой отрывается от твердой границы, стремление к предельной форме становится сингулярным и.
хотя размер области жидкости, в которой силы вязкости оказываются значительными, стремится к нулю, по мере того как (рЬ(//р) -е со, предельная форма поля течения не совпадает с полем течения, полностью соответствующим, с математической точки зрения, невязкой жидкости. Такое сингулярное предельное поведение течения возможно из-за того, что величина вязкости входит в уравнение движения как козффициент при производной высшего порядка и что вязкая жидкость должна удовлетворять дополнительному условию прилипания на твердой границе, какой бы малой нн была сама вязкость. Таким образом, теоретические результаты для течений невязкой жидкости можно непосредственно применить к классу течений вязкой жидкости, в которых не происходит отрыва пограничного слоя з); в данном случае теория невязкой жидкости дает хорошее приближение к течению реальной жидкости при большом числе Рейнольдса (при одних и тех же начальных и граничных условиях) Ч Отсутствие отрыва пограничного слоя является необходииын, но, возможно, еще не вполне достаточным условием для того, чтобы предетьная йорма поля течения бмлв такой же, кан н для невязкой жнлкостп.
Трудно сделать общие выводы, которые были бы одновреыенно полезными и надежнмып, 471 Гл. 6. Теория беаввхревого течеввя в ее врвложеввя во всей области течения, за исключением тонких слоев, толщина которых стремится к нулю прн АУ/р - оо и положение которых известно из решения для невязкой жидкости. Анализ течения невязкой жидкости математически намного проще, чем анализ течения вязкой жидкости, н поэтому крайне кап<но знать, применима ли теория невязкого течения; мы должны уметь это предсказать ка основании наблюдения нли с помощью общих результатов, а не путем проведения подробного расчета.
Точнее говоря,мы должны уметь сказать на основании наблюдения, будет ли течение реальной жидкости при заданных начальных н граничных условиях сопровождаться отрывом пограничного слоя. Если отрыв не возникает, то мо;кно применить многочисленные результаты теории невязкой жидкости. Такая необходимость в предварительном знании того, как повела бы себя жидкость с ненулевой вязкостью в данных условиях, требует глубокого понимания свойств течения вязкой жидкости, прежде чем можно будет выяснить уместность и полезность теории невязкой жидкости; по этой причине теория невязкой жидкости, несмотря на ее простоту, расположена в книге после изучения течения вязкой жидкости.
Даже в тех течениях реальной ясидкости, в которых возникает отрыв пограничного слоя, в потоке существуют большие области, в которых вязкость жидкости локально не оказывает болыкого влияния и к которым может быть применена теория невязкой жидкости. Однако в этих случаях существует трудность, заключающаяся в том, что положение и форма оторвавшегося пограничного слоя в течении реальной жидкости, как правило, неизвестны, так что, хотя локально влияние вязкости всюду пренебрежимо мало, за исключением окрестности некоторых сингулярных поверхностей (часть из которых расположена внутри жидкости), форма границы области эффективно невязкого течения неизвестна и вообще не может быть определена исходя из рассмотрения полностью невязкой жидкости.
Поэтому возможности приложения теории невязкой жидкости в этих случаях ограничены. Более того, как уже упоминалось ранее, оторвавшиеся пограничные слои всегда неустойчивы по отношению к малым возмущениям и в течении появляются турбулентные пульсации. Влияние турбулентных пульсаций скорости может и не распространяться непосредственно на все течение (так, например, течение вблизи передней критической точки на плохообтекаемоы теле, движущемся с постоянной скоростью через жидкость и образующеы за собой турбулентный след, может быть вполне установившимся), хотя именно ненулевой средний поток количества двюкения, обусловленный турбулентностью, влияет на конфигурацию течения в целом; при этом остается справедливым замечание о том, что определенные области течения стацнонарны и в ннх вязкость я<идкости локально не оказывает никакого влияния, хотя посредством строгого расче- 472 6Л.
Роль теории течения яенязкой жидкости та невозможно определить форму границ ни одной из этих областей и условия на этих границах, и часто приходится прибегать к различным предположениям и накопленному опыту. В этой и следующей главах будут изучаться различные свойства течения жидкости в предположении, что она является полностью невязкой х) (и несжимаемой). Получаемые при этом результаты имеют аначение только в связи с тем, что они представляют собой некоторое приближение к свойствам течения реальной жидкости при больших числах Рейнольдса, и ограничения, налагаемые на каждый результат, следует рассматривать как такую же важную информацию, как и сам результат. Эта глава посвящена частному случаю безвихревого течения.
Хотя может показаться, что свойство течения быть безвихревым весьма специфично, оно приобретает болыпое практическое значение благодаря следствию из теоремы Кельвина о циркуляции (т 5.3), состоящему в том, что элементы однородной жидкости, приведенные в движение из состояния покоя, движутся далее без вращения до тех пор, пока они не попадут в область, где силы вязкости оказываются существенными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
