Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 113
Текст из файла (страница 113)
При и ) 1 прямые границы образуют угол, меньший и; при п = 2 получается течение в области, ограниченной прямым углом, с линиями тока в виде равносторонних гипербол, которое, как уже было установлено (в 2 2.7), представляет собой половину области безвихревого течения вблизи критической точки на плоской границе.
Случай и = 1 соответствует однородному потоку, параллельному одной прямолинейной границы Значения и между 1 и т/т дают течения около выступающего угла с особенностью распределения скорости в его вершине. Крайний случай и = г/з представляет особый интерес, так как он соответствует течению около кромки тонной пластины. Необычное свойство безвихревого течения в этом случае заключается в том, что весьма низкое давление вблизи острой кромки пластины вызывает ненулевую полную силу на границе.
Это можно выяснить путем расчета силы на границе, совпадающей с линией тока ф = аре чь 0 (которая представляет собой параболу), и последующего перехода к пределу при фе.-ьО. Полная сила, развиваемая жидкостью на конечной части этой границы, лежащей, например, внутри окружности радиуса г = Я, в силу симметрии параллельна оси л (6 = 0), и ее проекция на эту ось есть е.о.
Испольвоввнис комплексного потенциала в случае двумерного течения кромки не возникают; однако ясное понимание свойств безвихрезого течения при наличии пластин с острой кромкой можно использовать косвенно в связи с возможностью преобразования поля течения, имеющего границу с острой кромкой, в поле течения с границей другой формы.
Все свойства этих частных случаев безвихревого течения н области между двумя прямолинейными пересекающимися границами имеют более общее значение в связи с тем, что они справедливы в окрестности точек пересечения двух прямолинейных границ конечной длины, независимо от формы остальной части течения. Докааательство этого будет приведено в этом параграфе позже. Таким образом, в любом безвихревом течении скорость в точке границы с нулевым потоком в том месте, где имеется разрыв в направлении касательной к границе, равна нулю в том случае, когда угол, занимаемый жидкостью, меньше я, и равна бесконечности, когда этот угол больше я. В первом случае, когда угол меньше я, поверхностная линия тока в реальной жидкости вследствие замедления потока будет отрываться (во всяком случае, в установившемся течении) от твердой гранвцы еще деточки разрыва, создавая внутри угла стационарное вихревое течение; в случае угла, большего я, поверхностная линия тока оторвется в вернсине улла, если изменение в направлении касательной не слишком мало.
Когда т/в ) п ) — т/ю угол между двумя прямолинейными пересекающимися линиями тока, на которых тр = О, больше 2я, и уже теперь нельзя считать, что обе эти линии тока представляют собой непроницаемые границы в поле течения; когда же и ( О, как потенциал скорости ~р, так и функция тока тр становятся бесконечными при г — ~ О. Для указанных значений к возможность нахождения интересных полей течения путем выделения определенных линий тока в качестве границ меньше. При подобном косвенном исследовании полей течения можно применить также тригонометрические функции.
Предположим, например, что выбрано выражение комплексного потенциала гл (з) = А з(п йз, (6.5.5) где А и й — действительные постоянные; соответствующие выражения для <р и ф имеют вид ~р = А згп/пссЬйу, ф = — А созклзЫсу (6.5.6) и определяют поле течения, периодическое в направлении оси л. Неограниченное возрастание скорости при у -+ -р оо препятствует практическому использованню этого выражения ю (г).
Однако можно получить поле течения, в котором скорость в одном направлении стремится к нулю; для этого надо сложить дна аналогичных выражения; так, при гн(л) = А(зш йс -1- в соа /сз) 513 вз — свтз Гл. б. Теория безвихревого течения н ее приложения имеем <р = Ае"в з1п йх, ~Р = Аеан соз йх. (6.5.7) Как известно, эти выражения применяются в теории поверхностных волн, чтобы описать мгновенное движение полубесконечной жидкости со свободной поверхностью, которая в равновесном состоянии занимает положение у = О и по которой в результате действия сил тяжести или сил поверхностного натяжения (илв их обеих вместе) распространяется синусоидальная волна малой амплитуды с длиной волны 2н/й.
Конформное преобразование плоскости течения Если комплексная переменная ь =- $ + и) является аналитической функцией от г = х+ еу, заданной в явном виде ь = = Р (х), то существует связь между формой кривой в плоскости х и формой кривой, определяемой соответствующим множеством точек в плоскости Ь. Эта связь есть следствие того свойства аналитической функции от г, что значение производной Кш (бь/бг) ее е не зависит от способа, по которому приращения бх и бу стремятся к нулю по отдельности.
Если бх' и бх" — два различных малых приращения переменной г, а бь' и бь" — соответствующие приращения переменной ь, то ь + бь' = Р(х + бг'), ь + б~" = Р (г + бг'). Два коротких отрезка прямой, соединяющих( точки г + бг' и х + бг" с точкой г в комплексной плоскости г, имеют длины, отношение которых равно (бх'/бг" ~, и пересекаются друг с другом под углом агя бг' — агя бх" = агя (бг'/бг") (как обычно принято в теории функций комплексного переменного, через агу г обозначается угол, тангенс которого равен отношению мнимой и действительной частей г).
Два коротких отрезка, соединяющие соответствующие точки ь+ бь' и ь -1- бь" с точкой в плоскости Ь, имеют длины, отношение которых определяется модулем (6~'/б~ч(. и они пересекаются под углом агд (6~'/6~"). Однако б~" = бг" — + 0 (бх"'), бь' = бг' — + 0 (бг"), так что с точностью до величин первого порядка малости будут равны как величины ~бх'/бг" ~ и 1бь'/бь" ~, так и углы агя (бх'/бх") и ага (б~'/бь"). Таким образом, некоторой замкнутой кривой малых линейных размеров из плоскости г соответствует замкнутая кривая малых линейных размеров такой аее формы (с точностью до линейных 514 6.5. Использование ноиплонсного потенциала в случае двумерного течения размеров первого порядка малости) в плоскости ь.
Соответственно две бесконечно малые фигуры имеют вообще различные ориентации и различные размеры, но подобны. Преобразование такого вида из плоскости х в плоскость ~ посредством аналитической функции двух комплексных переменных называется конформнаьк отобралсениелс. Конечно, формы двух соответствующих фигур конечных линейных размеров в плоскостях г и Ь могут различаться, но если мысленно представить эти фигуры разделенными на большое число элементов малых линейных размеров, то соответствующее множество приближенно подобных элементов в другой плоскости будет составлять соответствующую фигуру конечного размера. Соотношение между размерами двух малых соответствующих фигур в плоскостях г и ь зависит от вида функции Р.
Любой короткий отрезок прямой при преобразовании иа плоскости х в отрезок плоскости ь имеет длину в фей~ раз больше исходного, и, следовательно, площадь малой фигуры при преобразовании из плоскости х в плоскость ь увеличивается в фь/бх(в раз. В любой точке плоскости г, где производная с(ь/<й равна нулю или бесконечности, сделанные аамечакия, очевидно, неприменимы; такие точки представляют собой сингулярные (особые) точки преобразования, в которых конформность отображения нарушается. Указанные свойства конфорыного отображения имеют прямое отношение к теории безвихревого течения в двух измерениях. Если и (г) — комплексный потенциал безвихревого течения в некоторой области плоскости х и если г представляет собой аналитическую функцию х = /(Ь) другой комплексной переменной, то тогда и также можно рассматривать как аналитическую функцию от Ь; действительно, отношение приращений, из которого получается производная в по Ь, можно записать в виде 6в 6в 6в Ь~=6* Ц' и оба сомножителя в правой части равенства стремится к единственному пределу при бх и бу, а также 6$ и 6г~, стремящихся к нулю независимо друг от друга.
Таким образом, функция и (/(ь)) представляет собой комплексный потенциал безвихревого течения в некоторой области плоскости ь; при этом говорят, что течение из плоскости х отображено на течение в плоскости ь. Семейства эквипотенциальных линий и линий тока из плоскости г, определяемые равенствами гр (х, у) = попас и гр (х, у) = сопзФ, преобразуются в семейства кривых в плоскости Ь, ка которых потенциал скорости гр и функция тока ф также постоянны и которые являются эквипотенциальнымк линиями н линиями тока течения в плоскости ь, причем, как и в плоскости х„оба семейства ортогональны в плоскости ь, исключая особые точки преобразования.
Компоненты скорости в каждой точке течения в плоскости Ь определяются 5(5 33* Гл, б. Теория беааихреаето течения и ее приложения аа — $Х и> (г) — — 1п (з — ге) зп (6.5.9) независимо от характера остального течения. В то же время если точка з = зе не является особой точкой преобразования ~ = Р(г), то вблизи нее имеем — (г — г,) ( — 1 т И~а 1за) так что приблвженное выражение для и вбливи точки ~ = ~е (6.5.9) можно переписать в виде (1) - ", '" 1п (1 — ~е). Следовательно, безвихревое течение в плоскости ~ имеет аналогичную особенность, расположенную в соответствующей точке ~е и с той же самой юггенсивностью источника и вихря; можно сказать, что точечный источник в плоскости з преобраауется 516 равенством (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
