Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(2.7ЛЗ)) ЙО Йю яа их — 1ич = И(, аа еЬ ' (6.5.8) Между прочим, это равенство покааывает, что модуль скорости изменяется при преобразовании из плоскости г в плоскость с множителем, обратным тому, с которым изменяются линейные раамеры малых фигур; таким образом, кинетическая энергия жидкости, содержащейся внутри замкнутой кривой (как малых, так и конечных линейных размеров) в плоскости г, равна кинетической энергии соответствующего течения в области, окруженной преобразованной кривой в плоскости В некоторых полях движение жидкости свяаано с наличием особенностей тина источника и вихря, описанных в гл. 2.
Можно сказать, что особенности вполне определенного типа и интенсивности располагаются (одновременно) в некоторых точках плоскости з, и задача состоит в том, чтобы определить безвихревое течение, которое совмествмо с этвми особенностями и границей данной формы. Поэтому нужно рассмотреть соотношение между течением вблизи особенности в плоскости з и течением вблизи соответствующей точки в плоскости ь. Вблизи особенности типа источника или вихря функции ~р и ф првнимают очень большие значения и в основном определяются вкладом от этой особенности. Таким образом, если в точке з = зе расположена особенность типа источника интенсивности т и одновременно особенность типа вихря интенсивности к (другие особенности более сложного вида можно построить на основании простого источника и простого вихря способом, описанным в $2.5, 2.6), то в окрестности этой точки 6.5.
Испопьеоеанне комплексного потенннала н случае двумерного теченнн в точечный источник в плоскости Ь; аналогичное утверждение справедливо и для точечного вихря. Соответствующие результаты можно получить для более сложных точечных особенностей, отмечая способ, которым они составляются из источников или вихрей. Два источника, которые вместе образуют диполь, из плоскости з преобразуются в идентичные источники в соответствующих близких точках плоскости и поскольку при отображении бесконечно малое расстояние между двумя точками изменяется в ~ И~АЬ~ раз, то в результате отображения интенсивность двполя из источников умножается на ту же величину (кроме того, конечно, может измениться направление двполя).
Очевидно, что мультиполь, составленный из 2" простых источников или вихрей, преобразуется в особенность того же самого вида в соответствующей точке плоскости Ь с интенсивностью, измененной в ! И~АЙ!" раз. Тот результат, что источнику или вихрю из плоскости з соответствует идентичный источник илв вихрь в плоскости Ь, иначе можно рассматрввать как следствие того, что если функция и многозначна в плоскости з (это возможно, когда наличие внешних границ или особенностей делает область безвихревого течения многосвязной), то функция и в соответствующих точках в плоскости ь также должна быть многозначной.
Если через точку в плоскости г провести нестягиваемую замкнутую кривую (например, в двусвязной области безвихревого течения в плоскости з), то при движении вдоль этой кривой значение функции у иаменяется и, когда точка возвратится в свое исходное положение, оно становится больше на величнну циклической постоянной к; подобным же образом значение ф возрастает на величину, равную результирующему объемному потоку т через замкнутую кривую. Точно такие же изменения, по мере того как соответствующая кривая вычерчивается в плоскости ~, должны происходить в значениях функций ~р и ф (если, конечно, существует взаимно однозначное соответствие между точками в соответствующих областях плоскостей к и ь).
Полеаность конформного отображения как метода в теории безвихревого течения состоит в воаможности преобразования данного поля течения неизвестной формы в поле течения, которое можно легче определить. Трудность нахождения функций <р и $ данного поля течения зависит главным образом от геометрической формы гранвц, на которых должны удовлетворяться определенные условия. Если граница представляет собой бесконечную прямую линию илн окружность, то имеется много стандартных методов для определения ~р и ф; в случае границы более сложной геометрической формы может оказаться, что нет никакого прямого метода решения (кроме численного метода с использованием вычислительной машины).
517 Гл. 6. Теория беввилревого течения и ее приложения Конформное преобразование может сделать задачу о безвихревом обтекании легче поддающейся решению путем превращения границы неудобной геометрической формы з более простую гранвцу. Метод до некоторой степени зависит от характера данного поля течения, и позже мы рассмотрим два основных вида преобразования.
Преобразование может оказать влияние на граничные условия, а также на форму границы. Во многих обычных случаях граничное условие в исходном (данном) поле течения состоит в том, что нормальная скорость всюду на границе равна нулю, т. е. на ней функция ф постоянна. Другая возможность заключается в том, что твердое тело, погруженное в жидкость в исходном поле течения, имеет заданный в данный момент времени закон движения, например угловую скорость И и компоненты скорости (П, 'г') центра объема тела, который в данный момент расположен в точке (хо, уо). В атом случае на границе (см. (6,4.7)) имеем условие и Ч~р= —,=пгП+лвУ+П((х — хо) и,— (у — уе) и), (65.10) дф где г — расстояние вдоль граничной кривой (в направлении против часовой стрелки), а (л„пт) — компоненты единичной внешней нормали к границе.
Поскольку же др дл пг= — лг= —— дт ' де ' то условие на границе можно представить в виде ф — фе —— Уу — Ух — — П ((х — хо)'+ (у — уо)') (6 5.11) т Это условие можно превратить в соотношение между функцией тока тр и координатами $ и ц на границе в плоскости ь, когда известно преобразование з в ь. Завершим наше изложение двумя замечаниями общего характера. Первое из них заключается в том, что метод конформного отображения оказывает помощь в построении безвихревых течений, связанных с простыми границами, такими, например, как окружность и аллино, и эти течения оказываются потенциально полезными и в другом отношении.
Одно безвихревое поле течения может быть преобразовано в другое посредством аналитического соотношения между двумя комплексными координатами з и и, хотя может случиться, что появление отрыва потока мешает реализовать на практике первое поле течения, второе поле течения может быть вполне реальным; следовательно, несоответствующее действительности первое течение можетбытьполезным в качестве вспомогательного математического средства для достижения цели в безвихревых полях течения, представляющих непосредственный физический интерес. Второе замечание состоит в том, что исполь- 518 6.5. Использование комплексного потенциала в случае двумерного течения зование конформного отображения в качестве рабочего средства имеет свои тонкости и трудности и требует практики на большем числе примеров, чем будет здесь описано ').
ххреобраеование границы в бесконечную прямую Е случаях безвихревого течения с непроницаемой внешней или вяутренней границей и с неподвижной в бесконечности жящкостью часто бывает удобно преобразовать поле течения таким образом, чтобы граница преобразовалась в бесконечную прямую, а область течения — в полуплоскость. Предположим, например, что нужно определить безвихревое течение в области плоскости г, ограниченной двумя прямыми стенками, пересекающимися под углом н/н; кроме того, могут быть еще какая-нибудь граница и какое-нибудь движение на большом расстоянии от вершины угла, которые сейчас нет необходимости точно определять.
Преобразование ~ = г" «раскрываетз область в виде угла О ( ( 6 ( пlп между двумя пересекающимися стенками плоскости г в верхнюю полуплоскость т) ) О плоскости ь (отметим особенность преобразования в точке пересечения сторон угла я/н, преобразуемого в угол и), после чего сразу определяется соответствующее течение в плоскости ь. Единственным возможным беавихревым течением в верхней полуплоскости ь, обусловленным действием удаленного источника двюкения, в том смысле, что любая неоднородность течения вблизи точки ~ = О вызывается исключительно неоднородностью границы, является равномерный поток, параллельный границе з) = О, с комплексным потенциалом ю=Аь, где А — действительная постоянная; тогда искомое безвихревое течение в плоскости г имеет потенциал цу = 4гя (6.5.12) что уже было установлено обратным способом.
Случаи безвихревого течения в области, ограниченной извне замкнутым многоугольником, у которого одна или несколько вершин могут быть расположены на бесконечности, всегда можно изучить с помощью теоремы Кристоффеля †Швар, которая гласит, что граница в виде многоугольника в плоскости г с внутренними углами а, р, у, ... отображается на действительную ось т) = О плоскости ~ с помощью преобразования — ь=-Кд — а)Я 'и~и»К — Ь)~ ~а~и»(~ — с)Я Ят~и»... (6.5.13 ез Ч Балыков число реженнмх преверов можно найти в книгах, пссвяженнмх глазным образом незязким жидкостям, см., например: мвлн-томсон л.
м., 'Георетическая гядродинамика, «мир», м., 199« яа также: седов л. и., плоские аадачн гидродинамики и азродийамини, Фвнзнвтти, М., !9ВВ.— Р»дя. 519 Гл. 6. Теория ее«вихревого течеиия и ее ярилежеяия где К вЂ” постоянная, а параметры а, Ь, с — (действительные) значения ь = «), соответствующие вершинам многоугольника. Получающаяся область течения в плоскости ~ представляет собой верхшою полуплоскость «) ~ О, и снова можно цри известных причинах движения записать выражение для комплексного потенциала через ~. Если одна вершина многоугольника находится в бесконечности, то связанный с ней внешний угол, например а, равен нулю; в таком случае без потери общности можно считать, что соответствующая точка ~ = л также расположена в бесконечности, так что сомножитель (~ — а) в (6.5ЛЗ) по существу постоянен и его можно включвть в новую постоянную К'.
Например, полу- бесконечная полоса в плоскости г (а = О, (1 = и/2, у = я/2) отображается на верхнюю полуплоскость плоскости ь с помощью преобрааования или ~ = — (Ь+ с) + — (Ь вЂ” с) сй (К'(г — ге)) (6.5Л 4) Точки ь = Ь и ь = с соответствуют вершинам «треугольника» г = ге и г = ге+ 1я/К' в плоскости г, причем постоянные ге и К' можно определить по положению и ширине заданной полу- бесконечной полосы; постоянные Ь и с определяют положение действительной оси и линейный масштаб в плоскости ь и могут быть выбраны произвольными.
Общий случай с двумя вершинами многоугольника в плоскости г, расположенными на бесконечности, более труден„хотя, если эти вершины единственные, что дает бесконечную полосу, требуемое преобразование следует либо непосредственно из выражения (6.5.13) при а = (1 = О и (~— — а)/а-е — 1, Ка — — К', либо косвенно, принимая, что в (6.5.14) Я(К'ге)-ь — со, Ь вЂ” с-е О, «/«(Ь вЂ” с)е к'*е-~.е ж'е. Так или иначе получаем ~=Ь+екчх *Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
