Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 86
Текст из файла (страница 86)
При т = т/з оказывается, что напряжение на стенке постоянно; в этом случае эффект увеличения градиента скорости на стенке из-за ускорения внешнего потока в точности уравновешивается противоположным эффектом диффузии, приводящей к утолщению пограничного слоя. Как следует из соотношений (5.9.5) и (5.9.6), в поведении величин б, и то не происходит резких изменений при любых отрицательных значениях т; однако такие изменения имеются в профилях скорости, показанных на рис. 5.9.1. Видно, что профили для замедляющихся внешних течений (и ( О) имеют точку перегиба. Это свойство является общим, как можно убедиться, если взять уравнение движения на границе слоя в виде / дзи т $ др 1 Нб'з ч ( ддз /в=о р дл 2 дс (5.9.7) 398 величина деи/ду' для завтедляющегося внешнего течения положительна на стенке, а так как и — у при у-ь оо, то дзы/дуз должна изменить знак при некотором значении у.
При П = сопзФ (т. е. т = О) точка перегиба расположена на границе. По мере уменьшения т от нуля положительное значение дзи/дуз на стенке возрастает, а это вместе с ограничением и-+ У при у -ь оо приводит к непрерывному уменьшению (ди/ду)е е. При т =- — 0,0904 (это наименьшее значение т, для которого было получено полное численное решение) градиент скорости на стенке обращается в нуль, что приводит к несколько необычному пограничному слою, в котором сила трения на стенке равна нулю при любом х. Важный вывод из рассмотрения семейства решений Фокнера— Скан состоит в том, что для скорости внешнего потока вида хш его наибольшее замедление, при котором еще может быть получено автомодельное решение без обратного течения, соответствует величине т = — 0,0904.
При этом значении и направленная вперед сила трения, которая действует на внешние слои жидкости, 9.9. Эффектм ускореиия и замедления виешиего потока достаточна для предотвращения обратного движения слоя жидкости вблизи границы под действием положительного (или, как иногда говорят, обратного) градиента давления. Примечательно, что это критическое значение т близко к нулю. Автомодельные решения уравнения пограничного слоя можно получить также для скорости внешнего потока в форме (5.9.2) при с ( О; в представлении (5.9.3) У должно быть заменено на — О, и ато приведет к изменению знака члена ~" в уравнении (5.9.4). Внешний поток в этом случае течет к началу отсчета координаты х с ускорением при т ( О. Интересный побочный результат проведенного анализа состоит в том, что при т = — 1 мы легко повторяем решение (5.6.12), найденное раньше для распределения скорости вблизи одной стенки сужающегося канала, в котором при большом числе Рейнольдса всюду существует установившееся радиальное течение.
О расчетах установившегося иограничнвго слоя на движущемся в жидкости теле Теперь мы можем в общем виде рассмотреть, каким образом излтеняется с расстоянием течение в пограничном слое на поверхности тела, движущегося в покоящейся на бесконечности жидкости при большом числе Рейнольдса (число Рейнольдса основано на скорости тела Уо и линейном размере А). Можно считать, что этот пограничный слой «начинается» от точки, в которой разделяющаяся ~) линия тока, приходящая из области вверх по потоку, пересекает поверхность тела, а особенности начального развития слоя зависят от местной формы поверхности тела.
Если в окрестности этой точки поверхность можно считать локально плоской, то начальное развитие пограничного слоя будет подобно течению в окрестности критической точки, изученному в 9 5.5; если же в этой точке поверхность имеет острую кромку, а разделяющаяся линия тока приходит на эту кромку, то пограничный слой будет вначале развиваться подобно одному из семейства решений (5.9.4) при т ) О„'плоской пластине пренебрежимо малой толщнны, расположенной по потоку, соответствует значение т = О. Вниз по потоку от начального участка пограничного слоя скорость внешнего потока изменяется по-разному и это изменение зависит от формы поверхности тела в целом; при атом может происходить как ускорение, так и замедление течения с соответствующим изменением толщины пограничного слоя и распределения скорости в нем.
На ограниченном участке поверхности тела распределение скорости в пограничном слое приближенно будет подобно распре- Ч течеиие разделяется яа две части, соответствующяе двум раепвчяым огородам тела, только в случае двумерного тела — яавболее простом случае, овисываемом в общем виде. Погравичвые слои ва тредмервы:г телег имеют аяачительяо более слощиую струвтуру. если течеяве яе осесвмметрвчиое. 399 Гл. 5.
Течеиие при большом числе Рейиольдса; аффекты вязкости делению, определяемому уравнением Фокнера — Скан при подходящем выборе значения т в соответствии с локальными условиями; зто не имеет места только при больших замедлениях внешнего потока. Для определения развития пограничного слоя в зависимости от заданного установившегося распределения внешней скорости было разработано много численных методов 1), причем все оки основаны на том факте, что уравнение пограничного слоя (5.7.1) есть уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (в отличие от полного уравнения движения, которое является эллиптическим по х и у) и допускает интегрирование вперед по х; условия при любом значении х определяются в общем случае предысторией пограничного слоя.
Важная практическая цель таких вычислений состоит в нахождении толщины пограничного слоя и касательного напряжения на стенке; знание последнего необходимо при оценке полной силы, действующей на любое тело со стороны жидкости. Из уравнений пограничного слоя в безразмерной форме (5.7.9) и (5.7.11) следует, что для двумерного тела в потоке со скоростью 77о толщина вытеснения пограничного слоя на расстоянии х вдоль поверхности тела от критической точки равна 6,) )-~11 — а)на=.ъа -к'~ () — 'лс)аа', ))98) где в качестве Ь может быть взята длина тела. Аналогичным обра- зом локальное касательное напряжение на стенке равно (5.9.9) Помеченные штрихами величины в (5.9.8) и (5.9.9) безразмерны и не зависят от числа Рейнольдса, а численное интегрирование уравнений пограничного слоя позволяет определить численные значения величин ~ (1 — и с)'е/с)) ссу о и (ди'/ду')и =о ') См.
лримечаиие иа с)р. Эек как функций переменной х'. Хотя мы здесь не приводим описания различных численных методов для вычисления развития пограничного слоя, ыы отметим интегральное соотношение, полученное впервые Карманом (1921), которое легло в основу многочисленных приближенных методов расчета. Это соотношение представляет собой частный случай йкь Эффекты уекореняя н замедления янешаеге потока уравнения количества движения в интегральной форме (9 3.2), и его удобно получить путем интегрирования уравнения пограничного слоя (5.7.1) по у поперек слоя. Некоторые члены этого уравнения не обращаются в нуль на внешней граыице пограничыого слоя, однако мы можем результат интегрирования сделать не зависимым от области интегрирования путем вычитания из уравнения (5.7.1) соотношения (5.7.8), представляющего собой запись уравнения (5.7.1) на внешней границе пограничного слоя.
Таким образом, мы получаем для интегрирования уравнение д (и — У) ди ди дУ дги дг + и — + и — У вЂ” = т —,, (5.9.10) ди дд ди дуе ' а в качестве пределов интегрирования для у можно ваять 0 и оо, поскольку компонента и считается не зависящей от у и равной У на внешней границе пограничного слоя (как можно заметить, это предположение становится все более обоснованным по мере стремления числа Рейнольдса к бесконечности, если использовать при этом преобразованную поперечную координату у' == Веп' у!Ь, введенную в 9 5.7).
В результате интегрирования находим ° ф) = —,', ~(~ — м~ в +~~(~- ) д'.+и'"д "'+и'"д "'~ У=- в ОО (~б'+ ~ ) и д +((~ и) д ( Ыу' (5.9.11) в при получении этого соотношения на последнем этапе было использовано уравнение сохранения массы. Величина У ' ~ и (У вЂ” и) оу в представляет собой длину, аналогичную толщине вытеснения, которая обычно называется толщиной потери импульса и обозначается О. Теперь (5.9.11) можно переписать иначе Один из простых приемов, который часто дает достаточно точные результаты, состоит в предположении, что распределение скорости по у имеет одну и ту же форму для всех нужных значении х; это распределение скорости выбирается так, чтобы 401 гв-ввтг Гл. 5. Течение ири большом числе Рейиольдса; эффекты вязкости где г) =- т/ау/(та)а/а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
