Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 83
Текст из файла (страница 83)
утверждению, что р/р + + с/2Г/2 постоянно вдоль линии тока на внешней границе пограничного слоя. Третье граничное условие необходимо для описания того, каким образом происходит конвекция взвихренности внутри пограничного слоя от удаленных участков его вверх по потоку; это означает, что функция и (у) должна быть задана при некотором значении х. И наконец, если двшкение неустановившееся, то в момент С = О должна быть задана и (х, у). Асимптотическая зависимость (5.7.4) для бе может быть использована для преобразования уравнений пограничного слоя таким образом, чтобы исключить из них число Рейкольдса (или коэффициент вязкости).
Для перехода к более удобной системе координат, в которой горизонтальные размеры и скорости измеряются в относительных единицах, а толщина пограничного слоя принимается в качестве единицы измерения, мы определим следующие безразмерные величины: / ' 5.7. Пограввчвме слов сохранения массы принимают ди', ди',, ди' дя да' ду' / дс', дс',, де' ~ Не ( дп дс' ду'! ди' да' Внд д* Не а * дус др' 1 дсе' 1 дее' — — + — — + —— ду' Нее дс'е Неду'е' + — ', =О.
де' ду' (5.7.10) Если мы теперь предположим, что Ве велико и что безразмерные величины и', и'. р' вместе с их производными по л', у', 1' остаются конечными и ненулевыми для рассматриваемых значений х', у', г' при Ве-и ао (это соответствует гипотезе пограничного слоя), то получим систему приближенных уравнений ди', ди', ди' др' деи' дя д*' ду ' дл' ду'а ' др' О= — —,, ду' ' ди' де' —,+ —,=О, дл' ду' (5.7 11) 385 25-ЕЕ 72 которые становятся точными в пределе при Ве -э. оо. Эти уравнения представляют собой просто преобразованные уравнения (5.7.1), (5.7.5) и (5.7,2). Уравнения (5.7.11) не содержат в явном виде число Рейнольдса; оно не будет содержаться также и в граничных условиях, выраженных с использованием введенных выше безразмерных величин, а следовательно, и в решении уравнений.
Роль числа Рейнольдса сводится лишь к определению толщины пограничного слоя, поэтому пограничные слои, соответствующие различным числам Рейнольдса, но одины и тем же граничным условиям (в безраамерной форме), будут идентичными в масштабе толщины бо. Для простоты рассуждений мы считали пограничный слой двумерным, прилегающим к твердой плоской стенке. В действительности нн одно нз этих ограничений не является существенным. Если основное течение трехмерное, то пограничные слои обраауются вблизи твердых стенок, и в общем случае в таких пограничных слоях вектор скорости при перемещении вдоль нормали к стенке будет изменять свое направление, оставаясь почти параллельным стенке.
И снова уравнения, описывасощие течение в пограничном слое, можно будет преобразовать так, чтобы исключить из них число Рейнольдса. Если пограничный слой формируется яа искривленной стенке, то в атом случае естественно заменить систему прямолинейных координат системой криволинейных ортогональкых координат х, у, так, чтобы координатная линия у = О совпадала с криволннейной границей.
При атом кривизна стенки Гл. Ь. Течение прп большом числе Рейпольдсе; еффепты влзпостп войдет в полное уравнение движения, однако можно показать (и зто совершенно очевидно), что влияние кривизны стенки х в приближенных уравнениях для двумерного течения приведет лишь к небольшому изменению уравнения (5.7.5), которое запишется в виде — ~ =- рхи».
дд (5.7Л2) Если кривизна х конечна, то полное изменение давления поперек пограничного слоя имеет порядок бе и им можно пренебречь, так что уравнение (5.7.8), связывающее давление в пограничном слое и скорость (У на внешней его границе, остается справедливым. Более того, для существования пограничного слоя излишне требовать, чтобы стенка была твердой, поскольку в приведенных выше рассуждениях влияние твердой стенки проявляется лишь в виде граничного условия (5.7.6) (правда,. наличие твердой стенки — одна из наиболее общих причин формирования пограничного слоя; высказывая гипотезу пограничного слоя, Прандтль имел в виду это обстоятельство).
В общем случае пограничный слой будет возникать на любой границе, граничные условия ка которой не соответствуют в точности распределению скорости, получаемому из уравнений движения невязкой жидкости. Так, например, пограничный слой может существовать на «свободной» поверхности, на которой касательные напряжения обращаются в нуль ($5.14). В области между двумя приближенно невязкими движущимися жцдкостямк может также существовать тонкий слой, в котором значительны эффекты вязкости и для обеих границ которого применимы граничные условия, подобные (5.7.7).
Переходный слой между двумя однородными параллельными потоками с разными скоростями (т 4.3) оказывается таким же разделяющим или свободным «пограничным» слоем, хотя для него нет надобности прибегать к аппроксимации, поскольку те члены, которыми пренебрегают в уравнениях пограничного слоя, оказываютсн здесь тождественно равными нулю. При определенных условиях, сводящихся в основном к требованию, чтобы были велики соответствующие числа Рейнольдса, к свободным «пограничным» слоям можно отнести также струи и следы.
Очевидно, что должен существовать по крайней мере один отделившийся слой завихренности, который распространяется вниз по потоку от двинсущегося в жидкости твердого тела; действительно, возникшая на границе тела завихренность сносится вниз по потоку и в конечном счете срывается с кормовой части тела; если поперечный градиент завихренности в прилегающем к границе слое достаточно велик, он будет больши»« и в отделившемся вниз по потоку слое или следе, так что там будет важна вязкая диффузия завихренности; во всяком случае, на некотором расстоянии вниз по потоку от тела она будет существенна до тех 386 8.8. Пограничный слой на плоской пластино пор, пока не произойдет значительное расширение отделившегося вихревого слоя. В остальных разделах данной главы будут кратко описаны свойства пограничных слоев, а также будут продемонстрированы основные черты пограничных слоев при больших числах Рейнольдса для некоторых частных случаев течения.
Исследования пограничных слоев столь же обширны, сколь и важны. Однако мы можем дать здесь лишь некоторое введение в них. Для простоты обсуждения ограничимся лишь двумерными или осесимметричными течениями; для зтнх течений вращение вихревых линий не происходит, а растяжение вихревых линий в случае осесимметричного течения особенно простое.
Сказанное выше не должно оставить у читателя впечатление, что упомянутые течения наиболее интересны и что только они поддаются аналитическому решению. 5.8. Пограничный слой на плоской пластине Одно из простых течений в установившемся двумерном пограничном слое наблюдается в случае, когда плоская пластина очень малой толщины, имеющая длину 1 и значительно большую чем Г ширину, помещена в установившийся однородный поток жидкости (имеется в виду поток, скорость которого была бы постоянной в отсутствие пластины); поток направлен параллельно длине пластины и перпендикулярно ее кромке.
Это течение особенно важно потому, что оно позволяет проводить стандартное сравнение величины поверхностного трения на плоских тонких телах, таких, как крылья самолетов, расположенные по потоку. В качестве удобной идеализации реальных условий будем считать толщину плоской пластины равной нулю. Таким образом, при отсутствии каких-либо эффектов вязкости пластина не будет вносить возмущений в поток и скорость жидкости будет постоянной, равной, скажем, У. Для реальной жидкости, в которой должно выполняться условие прилипания на пластине, жидкость вблизи пластины замедляется, или, что равносильно, происходит диффузия завихренности от пластины, а в результате этого формируется пограничный слой на пластине, в котором скорость жидкости отличается от У, а завихренность не равна нулю. В результирующем установившемся состоянии толщина пограничного слоя будет мала по сравнению с 1 при 1У/и )) 1.
Вследствие замедления жидкости вблизи пластины линии тока вне пограничного слоя отклоняются в поперечном направлении; если рассматривать область невязкого течения, то картина будет такой, как если бы пластина имела некоторую толщину. Однако при условии, что толщина пограничного слоя всюду мала, будут малы и воамущения в распределении скорости в области невязкого течения и ими можно пренебречь в первом приближении Гл. б. Течекке прк большом числе Рейкольдсе; эффекты еяэкостк В этом приближении скорость на внешней границе пограничного слоя постоянна и равна П.
Аналогичным образом давление на внешней границе пограничного слоя будет постоянным, и, следовательно, оно будет приближенно постоянным во всем пограничном слое; таким образом, уравнения пограничного слоя (5.7.1) и (5.7.2) с учетом предположения об установившемся характере течения приводятся к виду дл дл дти и — +р — =т —, дл ду дуе ' (5.8.1) (5.8.2) Если положить и = дф/ду, р = — дф/дх, то второе из этих уравнений будет выполняться тождественно и тогда уравнение (5.8.1) будет содержать только одну зависимую переменную (ф).
Поместим начало координат на передней кромке пластины, так что задней кромке пластины будет соответствовать х = 1, у = О; граничные условия на обеих сторонах слоя и=у=О при у=О, для О(х<1, и-~У пРи У/бе-+.оо 1 а граничное условие для набегающего потока и= У при х=О для всех у. Итак, получена полная система уравнений и граничных условий. Местная толщина пограничного слоя, скажем 6, вновь определяемая некоторым подходящим способом, зависит здесь от х. Очевидно, что толщина 6 должна увеличиваться с расстоянием х от передней кромки пластины, так как сила трения, порождаемая каждым дополнительным участком поверхности пластины, вносит вклад в потерю количества движения жидкости, проходящей над этим участком поверхности.
Поскольку время, в течение которого жидкая частица проходит пластину при движении с постоянной скоростью с/, равно х/с/, то из обычных соображений о диффузии завихренности приходим я заключению, что локальная толщина пограничного слоя увеличивается по х как (тх/с/)'/э. Имеется и другой способ получения этого важного вывода. Для этого следует заметить, что 6(х) не может аавнсеть от длины 1, поскольку распределение скорости в погранлчном слое в точке х определяется лишь вязкой диффузией в направлении у и конвенцией завихренности от лежащей вверх по потоку области течения и не может зависеть от существования твердой границы вниз по потоку (еслн не учитывать влияние ее на распределение скорости по внешней границе пограничного слон; в данном случае такого влияния нет). Кроме того, из (5.7.4) следует, что величина бс, характеризующая Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
