Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным условиям прилипания (5.6.3) Р = О при 0 = ~а. Кроме того, должны быть наложены условия, связанные с интен- сивностью течения. Один из способов введения этих условий состоит в задании полного расхода жидкости от источника в начале координат Р = 1 г (0 = ~ Р Г0. (5.6.4) Так как некоторые из получаемых нике решений соответствуют радиально расходящимся течениям, а другие — радиально сходящимся, то непосредственной мерой интенсивности течения может служить величина Р, например значение Ро — — исг — один из локальных максимумов величины ~ Р 1; если существует только одно стационарное значение Р в области — а ( 0 < а, то ~ Ро 1/г представляет собой максимальное значение скорости жидкости на расстоянии г от начала координат.
Величину ~ ~ ~/т можно считать числом Рейнольдса для течения, а поскольку аг определяет ширину канала, то в качестве числа Рейнольдса можно взять а!Ре~/т. Положим Ве = аРе/т, 371 конечно, от конкретных условий вверх по потоку. Может оказаться, что в некоторых условиях приводимые ниже решения являются асимптотическими, справедливыми на достаточно больших расстояниях вниз по потоку от того сечения, где в действительности заданы условия; правда, этот вопрос еще не совсем ясен.
Мы будем использовать полярные координаты (г, О), задавая две плоские стенки условием 0 = ~а; компоненты скорости обозначим соответственно через (и, и). Будем искать решение для чисто радиального течения, тогда в силу уравнения сохранения массы должно быть Гл. З. Течелле прн большом числе Рейяольдсл; зффектм вязкости причем знак числа Ве будет указывать направление течения для выбранного максимального значения ) Ро ). Для дальнейшего удобно ввести безразмерпые перемепкые у) =- 6/а, ~ =- Р/Ре* тогда уравнение (5.6.2) запишется в виде 2а Ве ((' + 7 + 4аз/' = О, (5.6.5) где теперь штрихи означают дифференцирование по у(. Функция / должна удовлетворять граничным условиям 1=0 при у) =~1, (5.6.6) 7'=0 при (=1.
(5.6. 7) Уравнение (5.6.5) можно проинтегрировать один раз в том виде, как ояо записано, и еще один рав после умножения результата ка Г". Тогда ~"=(1 — 7) ~ — аВе()9+~)+4а9+с)~, (5.6.8) ') Более подробное обсуждение иожяо найти и работах Розснхеда (19(е), миалсапса я Псаьсауасна (1953) н Фрснисса (1992). 372 где с — одна из констант интегрирования, а другая должна быть определена условием (5.6.7).
Дальнейшее интегрирование уравиеБия (5.6.8) требует введения зллиптияеских функций, что уже выходит за рамки нашего обсуждениях). Обе константы иятегрироваяия, и с, и получаемая из граничных условий (5.6.6) при дальнейшем интегрировании, зависят от угла а и числа Рейиольдса. Константа с должна быть действительной и неотрицательной, поскольку 7'"=с при 1)= ~1. Вяд решеыия (5.6.8) зависит от расположения нулей мпогочлека, стоящего в фигурных скобках в (5.6.8), который мы обозначим через Р (7). Если Ке д О, то ясяо, что Р ()) пе имеет нулей при положительных значениях 7'.
К этом случае при любом Ве существует локальный максимум функции 7 (у)), равный 1, так что Р ) 0; кроме того, Р = с ) 0 при ) = О. Поскольку для Ке ~ 0 имеем Р -и — оо при 7-~- ~со, то отсюда заключаем, что квадратичяая функция Р ()) ке может обратиться в нуль в интервале 0 ~ 7' ( 1 для Ве «- О. Возможное поведение функции Р Щ показано па рис. 5.6.1, из которого следует, что в интервале между ( = 0 и / = 1 при любых Ке функция ) изменяется монотонно. Это означает, что при любом направлении течения функция ) (п) может иметь только один локальный максимум.
Поскольку в пределах канала функция 7' имеет единственный максимум, то оп достигается при и = 0 в силу симметрии решения относительно этого максимума. З.б. днукеркое течение е суяающемся нлн расширяющемся канале Р не. С С К Схеистичеснсе представление ауинпии РЯ = э/эа Ве Ов+ Гэ+ виэм+ с для ресличных энечення Ве. Попутно имеет смысл заметить, что здесь мы можем получить некоторое подтверждение гипотезы о течении одного направления, введенной в $4.8 в связи с обсуждением течения между почти параллельными границами произвольной формы.
В случае, когда а (( 1, а ~Ке ) (( 1, приближенное решение (5.6.8), удовлетворяющее граничным условиям, таково: с=4, иlие =~ =1 — пс, т. е. имеем параболическое изменение скорости поперек канала, как и при использовании упомянутой гипотезы. Кроме того, ограничение а(Ке~ (= асс~керт) ((1 в точности совпадает с найденным в 3 4.8, которое вводилось для того, чтобы была справедливой аппроксимация течения одного направления в слабо изменяющемся канале. В данной главе нас особенно будут интересовать течения при больших числах Рейнольдса.
Поскольку ~ имеет порядок единицы, то при ~ Ке ~ ~) 1 уравнение (5.6.5) можно записать приближенно в следующем виде: (5.6.9) 2аКеф'+/" =О, т. е. членом, выражающим диффузию завихренности в направлении течения, можно пренебречь. В соответствии с этим уравнение (5.6.8) принимает приближенную форму ~" = — аКе(1 — /в)+с(1 — ~). (581.16) Таким образом, решение зависит только от единственного параметра а Ке, а не от двух параметров а и Ке. 373 Гл. б. Твчеиие ири большом числе Реаиольхсе; эффекты вявкости Ниже мы обсудим поведение решения уравнения (5.6.8) в каждом из двух случаев — при Ке ~ О и Ве ~ О, уделяя особое внимание течениям при больших значениях ( Ве (.
Чисто сходящееся тяечение Здесь мы имеем течение со сходящимися линиями тока во всем канале, причем и"о ( О и Ве ( О. В канале достигается единственное максимальное значение ! и' (, и распределение скорости симметрично относительно прямой 8 = О. Согласно граничному условию (5.6.6), должно быть с ~ | з ~ ( ~ 3 и (5.6.И) (т — дпз ! — а Не (Р+д+4а9+с) (3 Если теперь считать величину ~ Ве ~ достаточно большой при фиксированном значении а, то мы видим, что (5.6.И) выполняется в том случае, когда один иа нулей выражения в фигурных скобках стремится к ) = 1, т.
е. интеграл будет при этом расходящимся. Следовательно, при Ве-ь — оо необходимо иметь 4 с — ~ — — а Ве. 3 Это асимптотическое значение с мы можем принять в качестве приближения при больших (Ве ( для выражения в фигурных скобках в (5.6.И), и при этом интеграл в (5.6.И) уже не будет расходящимся. Таким образом, если (Ве ( >) 1, то из (5.6.8) получаем соотношение е 2 с-!/2 г щ 1 — дж ( — — аВе) 3 ~ (4 )) ()+3)ыз =( — 3 аВе) (аг(Ь ( 3 ) агй (3) ) и приближенное выражение для скорости в интервале О ( 8 ( а — =- — =~=3(Ь~ (( — — аВе) (1 — — )+аг1Ь(3) ~ — 2. (5.6 12) Отсюда заключаем, что при больших числах Рейнольдса существует чисто сходящееся течение, для которого радиальная скорость приближенно не зависит от угла 8 и равна значению скорости и, во всей области течения в канале, за исключением прилегающих к стенкам слоев, определяемых условием 0(а — (8()=( — — ) =(' ис ) .
(56,13) 374 5.6. дяумерясе течение я сужающемся или расширяющемся кемале Р я с. 5,СЛЬ течение в сужающемся невеле пря больших числам Реаисльдсв. Вне этих слоев течение безвихревое и возникающая на стенках завнхрепность накапливается в них. Поскольку скорость всюду направлена вдоль радиуса, то компонента, нормальная к ближайшей стенке, будет направлена в ее сторону, так что в данном случае эффект конвекции противоположен диффузии завихренности от стенки и его действие достаточно сильно, чтобы вызвать уменьшение толщины слоя с увеличением расстояния в направлении течения. Распределение скорости поперек канала показано на рис. 5.6.2. Параметры с,у, т и Ве связаны между собой: ч ж 2аисг =- 2аГс = 2т Ве.
Следует заметить, что профиль скорости (5.6.12) можно продолжить в область значений О, больших и, соответствующую расходящемуся течению со скоростью, принимающей еще одно нулевое значение при — =1+2 ( — — ссВе) аг1Ь ~ 3) как это показано штриховой линией на рис. 5.6.2. Это второе нулевое значение скорости и соответствует другому возможному положению границы канала при ином значении угла а.
По-видимому, приближенно однородное втекающее течение в широкой центральной части канала может быть ограничено узкой областью потока, вытекающего вдоль любой стенки. Дальнейшее продолжение профиля скорости приведет к новому сходящемуся течению с распределением скорости, в точности соответствующим области 0<Об, а. 375 Гл. б. Течение ири большом число Рвйиольдса; эффекты вивиостя 00 70 0 (0 70 30 Е0 50 Р я с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
