Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Э.Э.Э. Зависимость между я и мансимальным значсвисм числа Рсйиольдса Ксж —— = (агн,/т(щах, длЯ нстоРого возможно чисто РасходЯщеесЯ течение. В области вйом кривой часто расходящийся лотов ясвоэмсжсн; в областя нажс нрявой возможен. Чисто раеходяи(ееся течение Рассмотрим теперь течение с расходящимися линиями тока при ) 6 )( а, г'о) О, Ке) О. Как и в предыдущем случае, имеется единственное максимальное значение ( е' (, и распределение скорости симметрично относительно осевой линии 6 =- О. Соотношение (5.6.11) должно выполняться и здесь, но получаемые из него следствия совершенно иные.
В фигурных скобках в (5.6.11) все члены теперь положительные и ясно, что при произвольном выборе а и Ке невозможно выполнение этого соотношения. В нашем распоряжении имеется константа с, на которую наложено условие е О; максимальное значение числа Рейнольдса, скажем Ке , при котором может быть выполнено соотношение (5.6.11) для заданного значения а, очевидно, достигается при с = О и определяется условием 1 Р ь((э е 07 з ) ~ (7(1 — 7)(7+1+бидо зЦ((з Этот интеграл сводится к полному эллиптическому интегралу первого рода, и численные значения для заданных а и Ке могут быть найдены по таблицам. На рис. 5.6.3 показана полученная на основе (5.6.14) зависимость между а и Ке, которая дает ограничение на интенсивность чисто расходящегося течения в канале при заданном угле а. Для Ке >) 1 из (5.6.14) следует 376 Гл.
б. Течение ири большом чясле Реймон»лов; вффекты вязкости Р н с. Ь.соь Симметричные провале рвииельяоа снорсстя в рвсмирявжемся ненеле яля рввличных »печении а Ве а'тилт. Положительные значения аВе соответотвумт рвсхоижиемуся течеяим в«ливи осн нвнелв. профиль скорости симметричен относительно плоскости О = О. Все показанные на рис. 5.6.4 решения можно продолжить в область ц ) 1; продолжить можно также и те из них, которые имеют второй нуль производной функции 7', з этом случае функцию 7' можно интерпретировать как решение для комбинированного втекающего и вытекающего течения в канале, ширина которого выбрана в соответствии с положением второго нуля функции у.
Один пример такого комбинированного течения, имеющего широкий сходящийся участок с почти постоянной скоростью, который примыкает к узкому расходящемуся участку, был получен просто продолжением профиля (5.6.12) в область значений О, лежащих за «стенкой» О = а (рис. 5.6.2). Другой пример показан штриховой линией на рис. 5,6.4; это течение получено путем продолжения решения при ссйе = 5,20 в область значений т) ) 1 и путем уменьшения масштаба по оси абсцисс так, чтобы иметь второй нуль функции 7 в точке ц = 1; для определения указанной на рис.
5.6.4 величины айе было использовано соответствующее измененное значение угла п. (Этот способ позволяет выяснить, каким образом можно построить последовательность решений для с»Ве, превышающих критическое значение 10,31.) В области значений ц за вторым нулем функции 7' решения повторяются и соответствуют чередующимся областям вытекающих и втекающих течений; профили всех вытекающих течений идентичны; то же справедливо и для втекающих течений. Каждое из этих вытекающих или втекающих течений в точности совпадает с чисто 378 5.6. Дауморноо талонно н сужающемся нлн расжнряющонсн канале вытекающим или чисто втекающкм течениями для подходящего значения аКе (при ~ Ве ~ )) 1), рассмотренными выше.
Ясно, что возможность найти комбинированное течение с нулевыми значениями 7' в точках ц = ~ 1 возрастает по мере увеличения параметра аВе; поэтому для заданного (большого) значения параметра ссйе существует несколько симметричных решений. Например, при ссйе = 114 было установлено, что существуют три возможных симметричных распределения скоростей с вытекающим течением в центральной части канала: 1) одно вытекающее течение и два втекающих, 2) три вытекающих и два втекающих, 3) три вытекающих и четыре втекающих. Число возможных распределений скорости увеличивается с увеличением айе, правда, по непростому закону.
Аналогичные замечания справедливы и для несимметричных распределений скорости с нечетным числом нулей функции 7'. Интересно выяснить следующий практически важный вопрос: что произойдет, если жидкость течет в канале таким образом, что угол между (криволинейными) стенками увеличивается постепенно от некоторого малого начального значения на входе, удовлетворяющего условию аКе (( 17 Во входном участке канала развивается параболический профиль скорости, и можно ожидать, что по мере увеличения эффективного значения ач, а следовательно и ссйе, с расстоянием вниз по потоку профиль скорости будет последовательно принимать конфигурации, подобные приведенным на рис.
5.6.4 для интервала 0 ( айе ~ 10,31. Когда локальное значение параметра айе достигает и превосходит величину 10,31, чисто расходящееся течение становится невозможным и можно он<идать появления области возвратного (втекающего) течения вблизи одной или обеих стенок. Как показывают имеющиеся эксперименты, подобная этой картина действительно наблюдается, хотя расходящееся течение в канале приобретает неустойчивый характер и выявить установившееся течение с возвратными участками вблизи стенок становится трудно.
Имея в виду основную цель данной главы, важно подчеркнуть следующие свойства полученных выше семейств автомодельных решений. Вполне ясно, что существует значительное различие между чисто сходящимся и чисто расходящимся течениями в канале, или, что равносильно, между почти параллельным течением вблизи твердой стенки с непрерывным ускорением всех жидких элементов и соответственно с их замедлскислс. В течении с непрерывным ускорением аавихренность из потока переносится к стенке, а завихренность, возникающая у стенки, локализуется в слое, примыкающем к стенке, толщина которого стремится к нулю при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности. В обширной области течения вне этого слоя распределение ско- 379 Гл. Ь. Течеиие при большом числе Рейкольдсв; эффекты вязкости рости имеет форму, которую можно было бы предсказать из анализа невязкой жидкости.
Однако в случае течения с непрерывным замедлением имеется критическое число Рейнольдса, при превышении которого уже не существует автомодельного решения, для которого скорость жидкости была бы всюду направлена от источника; действительно, мы нашли автоыодельные решения, в которых имеются области возвратного течения. В этом состоит типичное и практически важное свойство всех течений с расходящимися линиями тока; характерно также (это подтверждается при численном исследовании трехмерных течений в расходящихся каналах), что условие отсутствия возвратного движения жидкости в расходящемся течении имеет форму неравенства гс Ве ( 0(10), где число Рейнольдса основано на локальном максимуме скорости и локальной ширине рассматриваемого сечения канала. Если интенсивность источника достаточно велика, то возможные решения будут содержать большое число идентичных областей вытекающих и втекающих течений.
Ширина каждой области авто- модельного течения настолько мала, что эффекты вязкости имеют большое значение. Таким образом, в этом случае распределение скорости никак нельзя предсказать на основе анализа течения невязкой жидкости. 5.7, Пограничные слои В предыдущих разделах было введено понятие тонкого слоя, прилегающего к твердой границе, внутри которого происходит быстрое изменение завихренности в результате комбинированного действия вязкой диффузии и конвенции и вне которого завихренность равна нулю (или отлична от нуля и изменяется весьма медленно). Теперь мы можем приступить к обсуждению более общей идеи пограничного слоя, представляющего собой тонкий слой, внутри которого важно влияние вязкости, если даже число Рейнольдса течения велико.
Мы проанализировали развитие течения из состояния покоя в результате движения тела в бесконечной жидкости со скоростью, которая становится постоянной; при этом было отмечено, что твердая граница действует на жидкость как источник завихренности, которая диффундирует затем от стенки за счет вязкоств и переносится путем конвекции вместе с жидкостью вниз по потоку (и общем случае завихренность изменяется также из-за вращения и растяжения вихревых линий, однако для наших целей этимв изменениями завихренности можно пренебречь). По мере увеличения числа Рейнольдса в таком течении влияние конвекции в любов 5.7. Пограличиме слои точке течения становится более значительным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
