Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Уравнение для завихренности (5.2.$) принимает вид ам Фи -У вЂ” =т —, аз' ' нли после интегрирования У(~>о — ы) =" аы аз (5.5Л) Это уравнение просто выражает тот факт, что часть завихренности, переносимая через единицу площади в плоскости (х, г) за счет 357 Гл. 5.
Течение при большем числе Рейнольдсе; эффекты вязкости конвекции со скоростью — У, в точности уравновешивается вели- чиной завихренности, переносимой за счет вязкой диффузии. Выполнив еще одно интегрирование, получим Ии <» — сое = — — — сое = А е-'т~», еу (5.5.2) мы получим распределение скорости (5.5.3) и = (/ (1 — е гт!»). Для завершения решения заметим, что, согласно уравнению движения, давление во всей рассматриваемой области течения постоянно. Решение (5,5.3) обладает тем примечательным свойством, что его лшжно считать асилептопшческим решением по двум причинам.
Во-первых, оно асимптотическое по времени для различных начальных условий, при которых параметры течения остаются не зависящими от л (в чем можно непосредственно убедиться путем решения линейного уравнения для завихренности ю с учетом члена дш/дг). Во-вторых, оно асимптотическое по х для различных стационарных условий вверх по потоку. Предполагается, что вдали от границы течения аавихренность в обоих случаях равна нулю. Здесь будет уместно рассмотреть случай юе ~ О. После интегрирования уравнения (5.5.2) находим и — ' В шву+ — с-гтдл Ат ~У смысл константы ше можно объяснить, используя уравнение движения, которое в данных условиях принимает следующий 358 где А и юе — константы.
Отсюда видно, что область неоднородной завнхренности простирается на расстояние порядка т/с/ от границы; этот же результат был предсказан при общем обсуждении баланса между переносом завихренности к границе за счет конвекции и от границы за счет вязкой диффузии. Это означает, следовательно, что подходящее решение ожидаемого вида существует. Чтобы представить зто решение в удобной для практического использования форме, мы выберем специальные значения для постоянных ше и А. Константа сое, очевидно, равна постоянной завихренности вдали от границы, и ее можно положить равной нулю, что соответствует безвихревому течению в той области, куда не проникла завихренность за счет диффузии.
При ше - — — О мы должны положить и = (/ = сопз1 в той же области течения. После интегрирования уравнения (5.5.2) с использованием граничных условий и=О при у=О, 5.5. Ограниченые диффузив завихренности зв счет конвенции 1 йр еи взи — — — = ~' — — ч — = ра,. р лх ви выз Заметим, что ненулевой постоянный градиент давления, равный, скажем, — рб, практически реализуется для течения жидкости в трубе или канале. При этом имеем граничные условия и=О при у=-О. и=-О при р=-д. Нормальная составляющая скорости на стенке канала при р = о равна — 1г, так что через эту стенку жидкость нагнетается в канал. С учетом этих граничных условий имеем ,,— гы/» и=..
у ( — У+И ыв~ ). (5.5.4) Уг~ оаг (гео ог) = и о'г ' 359 Если РЫ/ч (( 1, то диффузия завихренности преобладает над конвекцией в направлении оси )/ и распределение скорости (5.5.4) принимает известную параболическую форму. В другом крайнем случае, когда й'о/ч >) Ф, получаем распределение скорости и ж ив 6 (И вЂ” у)/'ы', исключая область вблизи р = О, где скорость и резко падает до нуля.
Большой градиент скорости и вблизи р = О обусловлен тем, что возникающая у границы течения у .= О завихренность концентрируется в тонком слое, а относительно небольшая постоянная завихренность вне этого слоя возникает у границы течения р = И и переносится путем конвекции поперек канала. Рассматривая изменение количества движения жидкости, полученный постоянный градиент скорости в большей части канала можно обьяснить постоянным ускорением элементов жидкости под действием градиента давления при их движении от стенки у = г( до области вблизи у == О, где проявляется действие вязкости. Можно найти решение также и для течения около вращающегося кругового цилиндра, на поверхности которого задана направленная внутрь цилиндра скорость У, соответствующая отсосу через стенку.
Как было установлено в $4.5, течение, возникающее из состояния покоя при стационарном вращении твердого цилиндра (без отсоса), в пределе становится безвихревым, поскольку вся порождаемая у твердой поверхности аавихренность диффундирует в бесконечность. При отсосе жидкости можно ожидать, что он будет препятствовать диффуаии завихренности на бесконечность и около цилиндра образуется установившееся течение с ненулевой завихренностью. Считая, что указанное течение существует, мы получим вместо (5.5.1) следующее уравнение: Гл. б. Течение прк большом числе Реэлельлса; аффекты аяакостн где теперь в — осевая компонента аавихренности, г1 — радиус цилиндра. Решение имеет вид (5.5.5) где Ке = г,р/ч — число Рейнольдса; константу сое снова можно положить равной нулю в соответствии с тем, что установившееся течение возникло при некоторых начальных условиях с ш = О для достаточно больших значений г.
Полученное решение, как и ожидалось, дает максимальное значение завихренности на поверхности цилиндра, однако следует заметвть, что ш лишь неаначительно уменьшается с увеличением радиуса г при малых числах Рейнольдса. Последующее интегрирование (5.5.5) с учетом ше = О дает Аса1 с1 не-2 го = г',Й~ — — „', ~ — ') (5.5.6) (б) Течение в окреппности критической точки на твердой границе Займемся теперь изучением стационарного распределения завихренности в непосредственной окрестности расположенной на твердой поверхности точки, течение наале которой характеризуется тем, что притекающая к поверхности жидкость разделяется на потоки, направленные в различные стороны от этой точки.
Без учета условия прилипания эта разделяющая точка отличалась бы тем, что скорость жидкости относительно тела была бы равна в ней нулю; на практике течение в ее окрестности обычно нааывают течением у критической точки, хотя в действительности для реальной жидкости на всей твердой границе относительная скорость где ьс1 — константа; решение (5.5.6) показывает, что касательная к окружности скорость о имеет конечное значение на бесконечности только при Ке>1, а циркуляция 2яго имеет конечное значение только при Ке ) 2, если А ~ О.
Если бы это стационарное решение было получено как асимптотическая форма решения нестационарной задачи с начальными условиями при постоянной (или, возможно, нулевой) циркуляции на бесконечности, то мы заключилн бы, что циркуляция остается конечной и что, следовательно, А = О, когда Ке ( 2. Таким образом, при Ке ~ 2 стационарное состояние будет безвихревым точно так же, как и в случае без отсоса жидкости; это означает, что конвекция не будет препятствовать завихренности, воаникшей у поверхности цилиндра, распространяться в бесконечность за счет диффузии. Это становится воаможным из-за того, что радиальная скорость конвекции уг,!г уменьшается с увеличением расстояния от цилиндра. Ь.Ь. Огранвчеаие диффуаки зезкхреввоств за счет копземаен равна нулю. Концентрируя внимание на достаточно малой окрестности разделяющей точки, мы можем считать твердую поверхность плоской (если, конечно, она не имеет излома).
Очевидно, что если нормальная к границе компонента скорости направлена всюду в сторону к границе в рассматриваемой области, то возникающая у границы завихренность будет переноситься к границе в противоположность вязкой диффузии, действующей в сторону от границы. Мы можеы, следовательно, предположить, что порожденная у границы завихренность в стационарных условиях будет локализоваться в прилегающем к границе слое, толщина которого тем меньше, чем сильнее влияние конвекции; что касается завихренности вне этого слоя, то ее величина определяется условиями течения вдали от гранвцы; эту величину можно положить равной нулю, как, например, для критической точки на передней части твердого тела, обтекаемого установившимся потоком с постоянной скоростью на бесконечности.
Рассмотрим сначала двумерное течение вблизи критической точки на твердой поверхности. Для решения этой задачи удобно будет определить прежде всего течение во внешней безвихревой области (что обычно легче из-за предположения об отсутствии вихрей); затем это течение используется с целью определения внешнего граничного условия для течения в слое жидкости с ненулевой завихренностью. Если теперь толщину вихревого слоя считать малой по сравнению с линейными размераыи рассматриваемой области, то наличие этого слоя будет вносить небольшие изменения во внешнее беавихревое течение. Следовательно, мы можем искать безвихревое течение в приближенной форме, не учитывая вихревой слой вовсе (и, конечно, не учитывая условие прилипания, приводящее к возникновению этого слоя).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
