Дж. Бэтчелор - Введение в динамику жидкости (1123857), страница 73
Текст из файла (страница 73)
С этими фактами в упрощенном виде мы столкнулись при обсуждении в 2 4.5 течения с круговыми линиями тока, для которого молекулярная диффузия завихренности в радиальном направлении в точности соответствует угловому ускорению жидких колец жидкости под действием пары сил, к которой сводятся силы вязкости. При более общих условиях процесс диффузии завихренности, по-видимому, должен быть более сложным вследствие того, что ш — вектор.
Однако каждая компонента вектора м (относительно прямоугольной системы координат) диффундирует как скалярная величина, подобная, например, температуре, и сложность процесса диффузии в значительной степени является кажущейся. В случае изменений потока завихренности через элемент жидкой поверхности, описываемых соотношением (5.2.5), мы видим, что только диффузия компоненты вектора м, в данный момент параллельной элементу 6Я, изменяет величнну потока.
В случае же изменений циркуляции по замкнутому жидкому контуру, описываемых соотношением (5.2.7), мы можем наблюдать процесс диффузии более детально, выбрав в некоторой точке замкнутого контура в качестве оси х, прямоугольной системы координат ось, параллельную линейному элементу 61 в этой точке.
Тогда вклад в правую часть соотношения (5.2.7) от этого линейного элемента явно состонт из вклада от диффузии компоненты ав, определяемого градиентом в направлении оси хв (при движении в этом направлении компонента а переносится поперек линейного элемента), и вклада от диффузия компоненты аз, определяемого градиентом в направлении оси нв", знаки этих вкладов определяются потоком занихренности через поверхность, охватываемую контуром. 341 Гя. б.
Тсчоккв крк большом числе Рвйкояьлсв; аффекты вязкости Наконец, небезынтересно напомнить, что оба соотношения (5.2.1) и (5.2.7) были получены в предположении, что ясидкость имеет постоянную плотность. Если жидкость неоднородна, хотя и остается несжимаемой, то выражения для величин Рш/РГ и с/С/ае должны содержать члены, вызванные неодинаковым действием градиентов силы тяжести и давления на элементы жидкости различной плотности. Возникновение завихренности и циркуляции под действием силы тяжести на неоднородную жидкость — один из важных процессов, происходящих в атмосфере, где изменения плотности обусловлены тепловыми эффектами.
Интенеи4инация еаеихренности при растяжении вихревых линий Тот факт, что завихренность жидкого элемента возрастает при растяжении его в направлении вихревой линии (мы ограничиваемся невязкой жидкостью), укааывает на возможность увеличения суммарной завихренности в некотором объеме жидкости, Удобной мерой суммарной величвны завихренности в жидкоы объеме т служит интеграл ) — в~с)т; согласно (5.2.2), имеем — ) — ю с(т= ) ю — с(т= ~ ю.(ю.зрн+чЧ ю)йт. ЫФ,) 2,) си Это соотношение становится более понятным, если его переписать в тензорной форме и использовать формулу Остроградского— Гаусса: д Г 1 Г да~ Г дои д — ~ — взяв~с)т= ~ ш~оз1 — ат — ч ) — — ат+ Ш ~ 2 дв1 двг дв/ + 1 ~ д(ы~ы~) (5.2.8) дзе где Я вЂ” жидкая поверхность, ограничивающая объем т.
Как и ожидалось, влияние вязкости может привести только к уменьшенню суммарной величины завихренности (второй член в правой части (5.2.8)), если не учитывать изменения за счет диффузии потока завихренности юв через граничную поверхность (последний член в (5.2.8)). Кроме того, отметим, что величина со~оз~ди~/дхГ положительна там, где скорость растяжения элементов жидкости в направлении ю положительна. В общем случае в произвольный момент времени некоторые элементы жидкой линии подвергаются растяжению, а некоторые — сжатию, поэтому ясно, что при надлежащем расположении вихревых линий (только не в двумерном течении) величина ~ оз,оз~(ди~/дх~)с)т может стать положительной, а вместе с ней станет положительной и вся правая часть соотношения (5.2.8).
342 5.2. дивамика ваввхреквоств Существуют многочисленные поля течений, в которых суммарная величина завихренности возрастает и продолжает расти кекоторым удивительным образом до тех пор, пока изменение распределения завихренностн за счет уменыпения под действием сил вязкости не уравновесит ее прирост за счет растяжения вихревых линий. В этом состоит одно из самых замечательных свойств турбулентного течения, в котором величина интеграла от юв на единицу объема жидкости достигает большого значения (пропорционального положительной степени числа Рейнольдса) прежде, чем потеря завихренности под действием вязкости скомпенсирует или превысит упомянутый прирост завихренности. Общее обсуждение интенсификации завихренности не входит в план данной книги, и мы ограничимся лишь рассмотрением простого примера установившегося течения, в котором вихревые линии подвергаются растяжению.
В этом примере вектор завихренности имеет неизменное направление; в цилиндрической системе координат (х, о, ~р) его компоненты суть (ю, О, О), причем е зависит только от радиуса и и времени ь Распределение скорости течения напоминает осесимметричное и характеризуется компонентами (и, ио, и„). Действительно, направление завихренности будет оставаться неизменным лишь в том случае, когда вектор ю Чн параллелен оси х, так что и и и должны по предположению не зависеть от х. Таким образом, движение в осевой плоскости описывается уравнениями и,=ах, и представляет собой осесимметричное безвихревое течение в окрестности критической точки (2 2.7), на которое наложено азимутальное движение с завихренностью в. Здесь а — произвольная положительная постоянная.
Уравнение для завихренности (5.2.1) теперь сводится к единственному скалярному уравнению де а д(вов) 1 два 1 да 1 — = — — + — + — — ° д1 2о до 1 доз о до ) Нас главным образом интересует возможность существования стационарного течения рассматриваемого вида, для которого е зависит только от о и, очевидно, удовлетворяет уравнению 2 — аею +то — =сопз1 1 з да до ю(о) =ю1ехр ( — — ) . (5.2Лт) Если положить константу равной нулю, чтобы устранить особенность функции в при о = О, то решение этого уравнения примет следующий вид: Гл. б. Течение при большом числе Рейкольдса; эффекты еязкости Можно показать, что (5.2.11) в действительности есть предельное распределение завихренности ш, к которому она стремится при г — оо, причем произвольное начальное распределение завихренности о> в зависимости от а должно удовлетворять только условию, что ш стремится к нулю быстрее, чем и ' при о - оо, СО и что интеграл со2яспйт конечен и отличен от нуля.
Этот интеграл выражает поток завихренности через плоскость, нормальную оси х, н является инвариантом, вследствие чего он определяет константу ш, из начальных условий. Решение (5.2.11) представляет установившееся течение, в котором завихренность концентрируется в области, ограниченной расстоянием порядка (т/сс)'Й от оси симметрии, и в котором интенсификация завихренности, обусловленная растяжением вихревых линий, в конце концов уравновешивается уменьшением завихренности из-за распространения ее в боковых направлениях под действием вязкой диффузии. Это установившееся распределение завихренности в точности совпадает с мгновенным распределением завихренности ш = ш(п) в задаче о расширении (диффузии) вихревой нити (см.
(4.5.13)), а соответствующие распределения азимутальной скорости в зависимости от и имеют, следовательно, вид (4.5.14) (см. также рис. 4.5.1). Интересное свойство решения (5,2.11) состоит в том, что, несмотря на возможность существования любого начального распределения завихренности, она концентрируется в конечном счете внутри области, ограниченной некоторым расстоянием от оси симметрии, которое может быть очень малым.
Если начальную завихренность ш приближенно можно считать постоянной, равной шо внутри области, ограниченной расстоянием и от оси симметрии, и равной нулю вне этой области, то условие постоянства потока завихренности через плоскость, нормальную оси х, дает пою шо —. 4е (5.2.12) Условия, используемые при получении решения (5.2.11), а именно неизменность направления вектора вихря вдоль оси симметрии и наложенное деформационное движение, приводящее к однородному растяжению вихревых линий, кажутся весьма специальными, однако можно ожидать, что близкие к этим условия встречаются локальным образом довольно часто. Если упомянутые условия выполняются в значительном объеме жидкости, то это может привести к неожиданным результатам.
Примером установившегося течения такого вида приближенно можно считать торнадо, в котором растяжение вихревых линий возникает в результате восходящих потоков теплого воздуха. Другой пример: с.й. Теорема Кельаииа в заковы распростраиеиия завихреииости когда струя газа выбрасывается из реактивного двигателя неподвижного самолета, часто наблюдается появление интенсивного вихря в области между поверхностью аемли и воадухозаборником двигателя. Более житейский пример свяаан с известным вихрем, возникающвм при вытекании воды из ванны. Это установившееся концентрированное распределение аавихренности вызывается вытекающим потоком воды в реаультате растяжения вихревых линий исходного случайного движения воды в ванне.
Во всех этих примерах растяжение вихревых линий порождается, грубо говоря, осесимметричным движением жидкости вдали от плоской границы. Для случая, когда сжатие в плоскости (у, х), перпендикулярной к вихревым линиям, происходит только в одном направлении, скажем вдоль оси р, можно найти решение, аналогичное решению (5.2.$1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
